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三、 立体几何初步
宜昌市第二中学 曹 超

一、考情透视：
通过对2013年新课标高考题的统计分析可以看到，绝大多数省市对立体几何初步的考查题型主要是一个选填题和一个解答题为主，个别省市出现了两个选填题和一个解答题.从难度上看，以容易题、中档题为主，解答题基本出现在前三道大题.主要以考查空间图形的三视图、空间几何体结构特征及表面积与体积、线面之间的位置关系（主要为平行和垂直）和数量关系（角和距离）为主，其中线、面平行和垂直的判定与性质可以说无处不在，这两种特殊的位置关系渗透到几乎所有的考点中，备考中要引起充分重视，在考查空间角的题目中理科主要考查线面角和二面角，而文科除个别省市外基本没有考查空间角的题目（全部省市都没有考查二面角），文科试题中求空间几何体体积的题型出现频率较高.
二、考点梳理
考点1：空间几何体
1、考核要求
（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
　　（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.
　　（3）会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
　 2、考核方式
（1）考查由空间几何体的三视图想象出立体模型，并求出空间几何体的表面积和体积；
（2）考查根据空间几何体直观图的结构想象实物的形象，并求出表面积和体积；
（3）考查学生的空间想象能力．
3、知识归纳
（1）基本知识
①由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体；由两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱；有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥；用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱；以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥；与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台；以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
②平行投影的投影线是平行的 ，而中心投影的投影线交于一点；从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形；
③空间几何体的三视图是用平行投影得到的,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图和俯视图；
图1

④在斜二测画法中，平行于X轴的线段平行性不变，长度不变；平行于Y轴的线段平行性不变，长度减半；平行于Z轴的线段平行性不变，长度不变；
⑤空间几何体的侧面积和体积公式

圆锥的表面积：
圆台的表面积 ：
球的表面积
柱体的体积
图4
锥体的体积
台体的体积
球体的体积
（2）思想方法与规律
①用斜二测画法中画直观图时，要确定关键点及关键线段；
②在绘制三视图时,要做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”；
③由三视图想象空间几何体的结构特征时要根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则；
④对于直观图,除了了解斜二测画法的规则外,还要了解原图形面积与其直观图面积之间的
关系 能进行相关问题的计算.

4、误区警示
（1）在画三视图中，重叠的线只画一条，被挡住的平面的交线要画成虚线；
（2）在计算比较复杂的几何体时，如无法直接运用公式计算，可以考虑用“割”、“补”的方法将复杂的几何体转化为简单几何体，再进行计算.
5、矫正练习
练习1：若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________.

练习2：已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________
图3

练习3：如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积
为,则_________.
考点2：空间点、直线、平面之间的位置关系
1、 考核要求
理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解以下可以作为推理依据的公理和定理.
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
　　◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
　　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
　　◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
2、考核方式
考查公理1—4及定理的内容，并能根据公理判断直线、平面的位置关系及相关命题的真假.
3、知识归纳
（1）基本知识
①不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
②空间两条直线的位置关系有且只有三种：
③直线与平面的位置关系有且只有三种：
直线在平面内 — 有无数个公共点；
直线与平面相交 — 有且只有一个公共点；
直线与平面平行 — 没有公共点
④两个平面之间的位置关系有且只有两种：
两个平面平行 — 没有公共点；
两个平面相交 — 有一条公共直线.
（2） 思想、方法与规律
①刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题时进行逻辑推理的基础，必须牢固掌握；
图6
②判断直线、平面位置关系时，要抓住公共点的个数这一关键；
③在画两个平面的交线和证明线共面、线共点、点共线等问题时，要充分运用公理解决问题；
④在证明两条直线是异面直线时，可以考虑利用反证法.
4、拓展引申
公理2的三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
5、误区警示
在判断两直线是否异面时，一定要注意“不同在某一平面内”与“不同在任何一个平面内”的区别.
6、矫正练习
练习4：在下列命题中,不是公理的是( ) （　　）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线
练习5：如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,那么( )
图5
（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
练习6：如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
①当时,为四边形;②当时,为等腰梯形;③当时,与的交点满足;④当时,为六边形;⑤当时,的面积为.
考点3：直线、平面平行与垂直的判定及其性质
1、考核要求
（1）以考点2中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定；
　（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
2、考核方式
（1）判断直线、平面平行与垂直的相关命题的真假；
（2）利用直线、平面平行与垂直的判定及性质定理证明相关命题.
3、知识归纳
（1）基本知识
① 线线平行、线面平行、面面平行三者之间的转化；
▲线线平行 线面平行（线面平行的判定定理）：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
▲线面平行 线线平行（线面平行的性质定理）：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
▲线面平行 面面平行（面面平行的判定定理）：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
▲面面平行 线面平行（面面平行的性质定理1）：若两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
▲面面平行 线线平行（面面平行的性质定理2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
②线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化；
图7
▲线线垂直 线面垂直（线面垂直的判定定理）：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直.
▲线面垂直 线线垂直（线面垂直的性质定理）：直线垂直于平面，则垂直于平面内任意一条直线.
▲线面垂直 面面垂直（面面垂直的判定定理）：一个平面过另一个平面的垂线 ，则这两个平面垂直.
▲面面垂直 线面垂直（面面垂直的性质定理）：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
③其它相关定理及推论；
▲如果在两条平行直线中,一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
▲垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
▲垂直于同一直线的两平面互相平行.
（2） 思想、方法与规律
①在处理空间位置关系的相关问题时，要牢牢抓住立体几何“空间问题平面化”这一基本思想，将线面、面面的平行与垂直（空间问题）转化为直线的平行与垂直关系（平面问题）来解决；
②在证明线、面的垂直关系时，线面垂直是核心和纽带，特别是线线垂直和线面垂直相互转化的模型，在此类题目中应用非常广泛.
4、误区警示
在由线面平行、面面平行向线线平行转化时，一定要做出辅助平面，将空间的平行关系转化为平面内的线线平行.
5、 矫正练习
练习7：设是三个互不重合的平面，
是两条不重合的直线，则下列命题中正确的
是（ ） （ ）
A．
B．
C．
D．
练习8：在四棱锥中，底面是菱形，.
（1）若，求证：；
（2）若平面，求证：；

（3）在棱上是否存在点（异于点）使得//平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

考点4：空间中的角与距离
1、 考核要求
（1）理解异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角的定义，并会根据定义求简单的三种角问题（文科对二面角的求法基本不作要求）；
（2）会求点到平面的距离（线面距和面面距均可转化为点面距）.
2、考核方式
（1）考查空间三种角的定义及求法；
（2）考查点面距的求法，设问主要以求空间几何体的体积为主要方式（文科）.
3、知识归纳
（1）基本知识
①异面直线所成的角
设是两条异面直线，过空间任一点作直线则所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（或夹角）;
两异面直线所成角的取值范围是；
求异面直线所成角的步骤可分为三步：
第一步：选点、平移.选择恰当的点，通过平移一条直线（或面）后，将异面直线所成的角转化为相交相交直线所成的锐角或直角；平移，利用平行线或中位线的性质；补形，得用正方体或其他几何体的性质.
第二步：求角.将相交直线所成的角放在一个三角形中，利用三角形中的三角函数或余弦定理来求这个角的大小或其三角函数值.
第三步：结论.因为异面直线所成的角的范围是，若求得的相交直线所成角为钝角，应取其补角作为异面直线所成的角.
②直线和平面所成的角
图8
如图8所示，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
图10
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角；直线和平面所成角的范围是.
③二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱；这两个半平面叫做二面角的面.
图9
如图9，在二面角的棱上任取一点,以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角；二面角的取值范围是.
④过平面外一点作平面的垂线，垂足为,线段的长度即为点到平面的距离.
（3） 思想、方法与规律
①处理空间的三种角问题的基本思想是将空间的角转化为平面的角来度量；
②在求线面角时，关键是要作出（找到）平面的垂线，这样才能作出斜线的射影，进而作出线面角来求解；
③在求点到平面的距离时，往往垂线段并不容易作出（找到），此时经常利用等体积法在不作出垂线段的情况下求出点面距.
4、误区警示
在求异面直线所成的角时，一定要注意异面直线所成角的范围是，当求出的角是钝角时，应该取它的补角.
5、矫正练习
练习9：已知为正方形，点为平面外一点，，，二面角为，则点C到平面的距离为

练习10：如图10，在棱长为的正方体中，是的中点，是上任意一点，、是上任意两点，且的长为定值，现有如下结论：
①异面直线与所成的角为定值；
②点到平面的距离为定值；
③直线与平面定所成的角为定值；
④三棱锥的体积为定值；
⑤二面角的大小为定值.
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
练习11：如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2．
(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小；
A
E
F
D
B
C
图11
(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．

参考答案：
练习1：24 练习2： 练习3：
练习4：A 练习5：A 练习6：①②③⑤
练习7：B 练习8：(1)、（2）略（3）不存在
练习9： 练习10：D 练习11（1）（2）