立体几何初步总结(必修2).doc

立体几何初步总结 （人教A版必修2）
立体几何初步总结
一、知识结构
二、基础知识精要Ⅰ
（一)空间几何体的结构
2、
3、定理：平行棱锥底面的截面将棱锥截得的上下两个棱锥的
（1);(2）
两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的三部分的侧面积之比、三部分的体积之比。
4、

5、柱锥台之间的关系
（二）、三视图和直观图
1．中心投影：光由一点向外散射形成的投影.其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
2．平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影。
3．三视图：正视图（前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
4．直观图：（表示空间图形的平面图)观察者站在某一点观察几何体,画出的图形。把空间图形画在平面内,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形

定理：平面图形的
题型：（1）已知直观图画出三视图
（2）已知三视图画出直观图
（三）、表面积与体积
侧面展开图扇形中心角为
侧面展开图扇环中心角为
V= ; S=4R2. （R为球的半径）
基础知识精要Ⅱ（点、直线、平面之间的位置关系）
1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；
会求简单的异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法或用判定定理(补充)
3.直线与平面
①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明
④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是［00。900]
⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量。如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.
4。平面与平面
（1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）
(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
（3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
*（4）两平面间的距离问题→点到面的距离问题→
(5）二面角。二面角的平面角的作法及求法:
①定义法：一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形；
②三垂线法：一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法： S′=Scosθ
三．主要思想与方法：
1．计算问题：计算步骤：一作、二证、三算
（1)空间角
异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法;②补形法。
直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线,找射影。
二面角——方法：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；④射影面积法：
（2)空间距离——①两点之间的距离.②点到直线的距离.③点到平面的距离. ④两条平行线间的距离。⑤两条异面直线间的距离.⑥直线与平面之间的距离。⑦平行平面间距离
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离。七种距离之间有密切联系,有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离。
2．平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变
3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：
①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.
②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.
③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.
④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高。
4．证明问题——求证找判定;已知用性质
平行转化—-思路图：
垂直转化-—思路图：
平行的判定方法（请自己配图）

直线与直线
直线与平面
平面与平面
1

定义：
定义：
2

3

4

5

垂直的判定方法(请自己配图）

直线与直线
直线与平面
平面与平面
1
定义：

定义：

定义：α与β成90°的二面角
2

3

4
三垂线定理：

5

6

5．
6．中点问题-—找中点构造三角形中位线、平行四边形等
7． “字图"结构——
如:最小角定理（三余弦）
在三棱锥P—ABC中，
则：（1)；(2）
（3)
注:模型7是其典型应用
三．基本结论（存在性、唯一性问题和常用结论）
1、 四边形中有四个角是直角则此四边形为矩形。
2、 两条异面直线的公垂线有且只有一条。
3、 过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条。
4、 过空间一点与该直线垂直的直线有无数条.
5、 过直线外一点与该直线平行的平面有无数多个。
6、 过空间一点与该直线垂直的平面有且只有一个。
7、 过平面外一点与该平面平行的直线有无数条.
8、 过平面外一点与该平面平行的平面有且只有一个.
9、 过空间一点与该平面垂直的直线有且只有一条。
10、 过空间一点与该平面垂直的直线有且只有一条.
11、线在平面内的射影有且只有一条（射影是斜线上所有的点到平面内的射影的点集）
平面的斜线与其射影所确定的平面与该平面的垂直。
12、长方体的对角线与相邻三棱成角的余弦平方和等于1;与相邻三面成角的余弦平方和等于2
13、四面体ABCD中最多有四个直角三角形。
14、过两条异面直线中的一条能作且只能做一个平面与另一条直线平行，那么异面直线间的距离等于线面距离.
15、平移不改变所成的角（夹角），但平移改变距离。
16、夹在两个平行平面间的平行线段相等。
17、如果四面体中有两组对棱互相垂直,那么第三组对棱也互相垂直且任一顶点在对面的射影是垂心。
四．数学模型题
A
B
P
C
l

模型1 ，求作的交线。
,设P为ABC上一点，
模型2 已知,求证P、Q、R三点共线.

A
B
C
R
Q
P
证明：
同理 ∴P、Q、R三点共线
模型3 (1） 三个平面两两相交有三条交线，其中两条交线交于一点，求证第三条交线必过此点；(2) 或这三点交线互相平行。
已知，
(2) a // b时

求证：,，或 a∥b∥c
证明：（1）
模型4 最小角定理：公式：
该四面体的四个面都是Rt△
模型5 （证明平行思路图的典型例题)
A
B
c
a
b

如果一条直线与两相交平面平行，则此直线与它们的交线平行.
已知,求证：a // l
证明：过a作使
过a作使，同理a // c
S
A
B
N
H
M

模型6 过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一异面直线平行。
证明:在A上任取一点A，过A作
可确定一个平面
∵a、b异面 ∴ ∴
模型7 （证明垂直思路图的典型例题)平面内有一个半圆，直径AB，过A作，在半圆上任取一点M，连SM,SB且N、H分别是A在SM、SB上射影，求证:，
并思考:（1)互相垂直直线的对数？Rt△个数？面面垂直对数？
联想与拓展：你能自编自导新的问题吗?
模型8 如图PA是平面的斜线，以下三个条件：
（1) ∠APC=∠APB；(2) A到PB、PC边的距离相等；
（3） PA在内的射影是∠BPC垂线,
则三个有一个成立可推出另两个成立。
模型9 若，O为P在面上的射影
(1) 若PA=PB=PC,则O为△ABC 外 心
(2) 若P到△ABC三边等距，则O为△ABC 内或旁 心
(3) 若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC 垂 心
(4) 若△ABC为正三角形，PA=PB=PC,则O为△ABC 中 心
(6）若△ABC为直角三角形，PA=PB=PC，则O为△ABC 外 心
A
B
l

A
B
C
l
a

模型10 (1） 找点在面上的射影 ：
已知，
则A在上的射影
（2) 找斜线的射影 ：已知，则l在内射影为a，则l与所成的角为∠ACB
结论：平面的斜线与其射影所构成的平面与垂直
(3) 求点到平面的距离--转化思想
1º 已知，则过A可作，则A到的距离就是a到的距离。
2º 已知,过A可作,则A到的距离就是到的距离.
3º 已知线段AB中点，，则AB到距离相等.
4º 两条异面直线的距离转化为两平行平面。
A

a
B’

A
A’
B
B’
O
A
A’
B
O
5º
A
B
C
D
E
F
O

模型11 四面体ABCD中，AB=AC，BD=DC(同底等腰的两个三角形)
(1) ∠AEB是二面角A-BC—D的平面角
(2) 平面AED面BCD，AEDABC
(3) BCAD，BC面ADE
(4) 过E作EFAD，EF为BC与AD的距离
(5) A到平面BCD距离,作AODE交于O，AO为此距离
(6) AC与BCD所成角,连OC，为所求
注:二面角的平面角所在平面与两个半平面均垂直
六．经典30题
1、 三个平面可将空间分成几部分：
2、 与同一条直线相交的所有平行线在同一平面内。
3、 已知异面直线a与b所成50。,P为空间一点，则过点P且与a、b所成的角都是θ，讨论θ取不同值时，该直线有且仅有多少条？
4、 若一条直线分别平行于两个相交平面，则该直线平行于这两个相交平面的交线（用两种方法证明）。
5、 若两个相交平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线也垂直于这个平面(用三种方法证明)。
6、 正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，M，N分别为对角线BD与AE上的点,且DM=AN，求证：MN∥平面BEC
7、 在空间四边形PABC中,PA⊥面ABC，AC⊥BC,若A在PB、PC上的射影分别为E、F，求证：EF⊥PB.
8、 已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a,PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,求a的值.
9、 空间一点到二面角α-L-β的两个面的距离分别是1和，到棱的距离是2,求这二面角的大小。
（答案：75。,15。，105.,165.）
10、 如果两个平面分别垂直于两条异面直线中的一条，那么这两个平面的交线平行于两条异面直线的公垂线。
11、 △ABC，E、E是AB、AC边上的一点，则
（拓展到三维空间,四面体ABCD中,E、F、G分别是AB、AC、AD上的点)
则
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积。
2。 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1,求截面的半径. （变式：r、R；比为p：q)
3。 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的表面积.
*4。 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.
5。 面积为2的菱形,绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？
*4．一个正方体的内切球的体积为V,求正方体的棱长.若球与正方体的各棱相切，则正方体的棱长是多少?
5。 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比.
6。 已知球的一个截面的面积为9π,且此截面到球心的距离为4， 求此球的表面积和体积.
公理1:
记写：平面ABC。
公理3：
小结：平面概念;三条公理的文字语言、图形语言、符号语言.
第 6 页 共 6 页