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专题一 解决集合与常用逻辑用语问题
考试说明要求：
1. 集合及其表示(A级)；子集（B级），交集、并集、补集（B级），命题的四种形式（A级），充分
条件、必要条件、充分必要条件（B级），简单的逻辑联结词（A级），全称量词与存在量词（A
级）；
2. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关
系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合；
3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，理解必要条件、充分条
件和充要条件，会判断这三种关系，了解全称量词的意义，能正确的对带有一个量词的命题进行
否定；
4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质，学会
判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力．
高考命题方式：
近年来对集合与常用逻辑用语问题问题的考查常以填空题的形式出现，题量1~2题，分值5~10.
高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.另外集合新定义信息题在近几年的命题中也有出现．
答题方法提示：
概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题．
一、能力展示
1. 设集合，，则________．
2. 命题“若，则”的否命题为________．若,则
3. 已知函数，给定条件：，条件：，
若是的充分条件，则实数的取值范围为________．
4. 对集合、，定义，．
设,,则________．
5. 下列命题：
①设命题:函数的最小正周期为;命题:函数的图象关于直线
对称.则命题为假；
②命题“” 是真命题；
③“”是“”的充分条件；
④命题“若实数a满足，则”的否命题是真命题.
其中正确命题的序号是 . ①③④
6.若命题：“，”是真命题，则实数a的取值范围为 .
二、能力培养
例1. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）已知全集，集合，{指数函数
是上的增函数}，求．
解：（1）=，

时，.
（2），
，
{指数函数是上的增函数}

.
.
例2. 已知函数上是增函数，．对命题：“若，则”．
（1）写出逆命题，判断真假，并证明你的结论；
（2）写出逆否命题，判断真假，并证明你的结论；
（3）解关于的不等式．
解:（1）逆命题：已知函数在上是增函数，．若，则.是真命题；
证明: 假设,则
由条件得 ,,+.与条件矛盾.
命题是真命题；
(2) 逆否命题：已知函数在上是增函数，．若，则.真命题；
证明:假设 ,则,,由条件得 ,,
.与条件矛盾.
命题是真命题；
(3) 原不等式变形为:,
由(1)得,,即 ，解之得.
原不等式的解集为.
例3. 已知,；是的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
解：由得，
由，得，
由是的必要不充分条件，知，即.
设，，
则有，故且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，
解得，此即为“是的必要不充分条件”时实数的取值范围.
例4. 设函数，．试探求“，”成立的充要条件，并证明你的结论．
解:，的充要条件为.证明如下:
(1).必要性.若,,
即, (*),
令,则,又,;
令,则,,,
,;
(2).充分性.若，
当或时, (*)式成立.
当时,令,则,
时,,
时,,
时,,在上单调递减.
,,，,从而(*)式成立.
由(1),(2)知,结论成立.
例5. 已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于的正整数m，
使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质.
（1）当时，试判断集合是否具有性质P？并说明理由；
（2）若集合具有性质，试判断集合 )是否一定具有性质？
并说明理由.
解：（1）当时，集合，不具有性质.
因为对任意不大于10的正整数，都可以找到集合中两个元素与，使得成立；
（2）若集合S具有性质，那么集合一定具有性质.
首先因为，任取 其中，
因为，所以，
从而，即,所以.
由具有性质，可知存在不大于的正整数，
使得对中的任意一对元素，都有 ，
对上述取定的不大于的正整数，
从集合中任取元素，
其中， 都有 ；
因为，所以有，即
所以集合具有性质．
三、能力测评
1. 已知全集，集合，则 ．
2. 设命题:函数在上单调递增.如果“”是真命题，那么实数的取值范围
是________．
3. 下列命题：
①若命题:“”，则“”；
②，；
③ “”是“”的充分不必要条件；
④ 设，则函数是奇函数.
其中正确命题的序号是________．①④
4. 设函数，区间，集合，则使成立的
实数对的集合为________．
5. 设全集，，．
（1）设集合，．若，求的值；
（2）设集合，求.
解：（1），
当时，，此时，∴适合，
当时，，由得，
综上：或2；
（2）由题意：，=，∴=.
6. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
（2）求证：恒成立的充要条件是；
（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围．
解：(1),又在处的切线方程为,
.
(2)充分性:恒有;
当时,,,
在单调递减,单调递增,所以;
必要性:恒成立.
.
当时,恒成立,在单调递增,而,
时,与恒成立矛盾,所以不合题意;
当时,在单调递减,单调递增,
.
综上:恒成立的充要条件是;
(3)由(2)知,时,在单调递增,又函数在单调递减,
不妨设,则,.
.
令,,
则原不等式在单调递减,
,时恒有成立,
即,令,在单调递增,
,,
又,为所求.
能力提升:
1. 设集合，，，则实数________．1
2. 在中，角所对的边分别为．设命题，命题是
等边三角形，那么命题是命题的________条件．（填“充分不必要、必要而不充分、充要、
既不充分也不必要”之一）充要
3. 下列命题：① 若，则；②若锐角、满足，则;
③在中，“”是“”成立的充要条件;④要得到函数的图
象, 只需将的图象向右平移个单位．其中真命题的序号是 . ①②③
4. 下列4个命题：
； ；
； ．
其中的真命题是________．
5. 集合存在实数使得函数满足，下列函数都是常
数）:（1）；（2）；（3）；（4）．其中属于的函数有________．(只须填序号) （1）（4）
6. 设集合, ,
若，则实数的取值范围是________．
7. 已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的
两个条件作为、构造命题：“若则”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假
命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
解：已知条件即或，∴或，
已知条件即，∴或；
令，则即或，此时必有成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是，为，为，对应的命题是若则.
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
8. 己知，函数．
（1）当时，若对任意都有，证明：；
（2）当时，证明：对任意，的充要条件是：．
证明：（1）依题意，对任意，都有,,
,,,;
（2）充分性：若，则，对任意，可推出：
，即，
又，对任意，可知
,即,
，即;
必要性：对任意,,,,
即,;又,,由知,
即,,故.
综上，对任意，的充要条件是．

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