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初一数学专题讲义一 有理数及其运算
一、 有理数的基本概念：
（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误
1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数
2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x|=||，则x=______；若|x|=|－4|，则x=____；
若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
4.互为相反数的两个数的平方相等。如果　　　　，那么a=____；若x2=(－2)2，则x=_______.
5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n为正整数，则（－1）2n=_ __, (－1) 2n+1=_ __。计算：
（1）  = ； （2）  = ； （3）   = ；（4）  = （5） =
6.a的相反数是 ；a+b的相反数是 ；a-b的相反数是 ；-a+b-c的相反数是 ；
变式训练：若a＜b，则∣a-b∣= ，-∣a-b∣=
（二）绝对值的化简：
7.绝对值即距离，则
8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）
（a＞0）
|a| = （a＝0 ）
（a＜0 ）
9.绝对值的非负性：
（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a，则a ； （3）若|a|＝—a，则a ；
（4） ， 则；（5），则；（6）若|a|+|b|=0，则a 且b
小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。
例1． 已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？

例2.若ab<0，求++的值．

例3.（1）如果x＜－2，那么|1－|1+ x||= ； 若|m－1|=m－1,则m___1. ； 若|m－1|=1－m,则m___1.
（2）已知，且，则___________．
例4.（数形结合） 有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C
B
0
A

即时练习：1已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c—b|—|a—c|+|b-a|
a
0
c
b

2.数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||
a
0
b

例5. 若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

2. 若a<0，试化简 3. 若abc≠0，则的所有可能值为

例6.（难题，整体思想）若与互为相反数，求的值

（三）分类讨论的思想：
例7. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且x的绝对值是5，
试求x－（a+b－cd）+│（a+b）－4│+│3－cd│的值．

即时练习：
1. 已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？ 2.解方程：|x-5|=8

（四）两个重要的非负数：①；②a2≥0；③
例8.

例9．已知与互为相反数，求代数式

二、 突破有理数的计算
（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。
例10.计算：（过关训练）
（1） （2）

（3） （4） （5）

（6） （7）

（二） 利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：
例11.计算：（巧算）
（1） （2）+++++．

例12.（逆向思维）计算：（－）×－（－）×（－）－×（－1）

例13.（裂项求和）

例14.（1）（分组求和）1-2+3-4+…[phone] （2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99

（三） 利用幂的性质巧算：
例15.计算：（1）    （2）

（四） 整体代入求值初步：
例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= .

例17.已知，试求代数式的值

课后练习：
一、耐心填一填：
1、的绝对值是 ，的相反数是 ，的倒数是 ．
2、某水库的水位下降1米，记作 －1米，那么 ＋1.2米表示 　　　 ．
3、数轴上表示有理数－3.5与4.5两点的距离是　　　　　．
4、已知|a－3|＋=0，则＝　　　　．
5、已知p是数轴上的一点，把p点向左移动个单位后再向右移个单位长度，那么p点表示的数是______________。
6、最大的负整数与最小的正整数的和是_________ 。
7、+= 。
8、若x、y是两个负数，且x＜y，那么|x|　　　　|y|
9、若|a|＋a＝0，则a的取值范围是　　　　　
10、若|a|＋|b|＝0，则a＝　　　　，b＝　　　　
二、精心选一选：
1、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ）
A 0 B －1 C 1 D 0或1
2、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ）
A 8 B 7 C 6 D 5
3、计算：(－2)100+(－2)101的是（ ）
A 2100 B －1 C －2 D －2100
4、两个负数的和一定是（ ）A 负 B 非正数 C 非负数 D 正数
5、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A，B，那么A，B两点间的距离等于（　　　）
A 99　　　　B 100　　　　C 102　　　　　D 103
6、的相反数是（　　　）A －3　　　　　B 3　　　　 　C 　　　　　 D
7、若x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，则x＋y一定是（　　　）
A 负数　　　　B 正数 　　　　C 0　　　　　D 无法确定符号
8、一个数的绝对值是，则这个数可以是（ ）
A B C 或 D
9、等于（ ）A B C D
10、则是（ ）
A 或 B C D 或
三、计算题（每小题4分，共32分）
1、+++ 2、+

3、 4、

5 6、8+

7、 8、100

四、（5分）=，=，求m+n的值

五、（5分）已知、互为相反数，、互为负倒数（即），是最小的正整数。试求的值

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