八年级初二数学下学期二次根式单元测试题试题.doc

八年级初二数学下学期二次根式单元测试题试题

一、选择题
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
3．下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．（3xy）2÷（xy）=3xy
C． D．2x•3x5=6x6
5．若有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
6．化简的结果为（　　）
A． B．30 C． D．30
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
8．已知a为实数，则代数式的最小值为(　　)
A．0 B．3 C．3 D．9
9．若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1 C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1
10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
11．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = __________________________.
14．已知，求_____．
15．设，，，设，则S=________________ (用含有n的代数式表示，其中n为正整数)．
16．若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ________．
17．若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________
18．观察下列等式：，，，根据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．
19．计算： =_________．
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积．在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则面积是_______．
三、解答题
21．计算及解方程组：
（1）
（2）
（3）解方程组：
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；
（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可；
（3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
【详解】
（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
=
（3）
由②得： ③
②-③得：
把x=10代入①得：y=2
∴原方程组的解是：
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．

22．若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．
【答案】
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x=，此时y=．即可代入求解．
【详解】
解：要使y有意义，必须，即 ∴　x＝．当x＝时，y＝．
又∵　－＝－
＝||－||
∵x＝，y＝，∴　＜．
∴　原式＝－＝2
当x＝，y＝时，原式＝2＝．
【点睛】
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

23．计算：
（1） （2） ．
【答案】(1) (2)0
【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）
=
=
（2）
=
=5-4-3+2
=0

24．先阅读材料，再回答问题：
因为，所以；因为，所以；因为，所以．
（1）以此类推 ， ；
（2）请用你发现的规律计算式子的值．
【答案】（1），；（2）9
【分析】
（1）仿照例子，由可得的值；由可得的值；
（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案．
【详解】
解：（1）因为，所以=；
因为，所以=；
故答案为：；；
（2）

．
【点睛】
本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．

25．先观察下列等式，再回答问题：
① =1+1=2；
②=2+ =2 ；
③=3+=3；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立．
【详解】
（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的数字分别为1、2、3，
∴④ ．
（2）观察，发现规律：1+1=2，223344，…，∴ ．
证明：等式左边=n右边．
故n成立．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．

26．（1）发现．①；②；③；……写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；
（3）证明这个猜想．
【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果；
(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题.
【详解】
解：（1）由例子可得，
④为：==，⑤=，
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：= ，
（3）证明：∵n是正整数，
∴==．
即= ．
故答案为(1)==，=；(2)= ；(3)证明见解析.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

27．观察下列各式：

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）_____________
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______________；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【答案】（1）；（2）；（3），过程见解析
【分析】
（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】
解：（1）；
故答案为：；
（2）；
故答案为：；
（3）
【点睛】
此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．

28．（1）计算：
（2）已知，是正数，，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；
（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）原式

；
（2）原式

，为正数，
原式
把，代入，则
原式；
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．

29．已知 x=2-,y=2+，求代数式x²+2xy+y²的值.
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算．
本题解析：
∵x² +2xy+y² =(x+y)²，
∴当x=2−，y=2+时，
∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−+2+)²=16.

30．计算：．
【答案】
【分析】
本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可．
【详解】
原式．
【点睛】
本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．

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一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
可以根据最简二次根式的定义进行判断．
【详解】
A、=2，原根式不是最简二次根式；
B、在中，被开方式不能再被开方，原根式是最简二次根式；
C、=，原根式不是最简二次根式；
D、=，原根式不是最简二次根式．
故选B．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．
2．C
解析：C
【解析】
解：原式==．故选C．
3．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
A、，故选项A正确；
B、不能合并，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
4．D
解析：D
【分析】
依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果．
【详解】
A. ，故选项A错误；
B. （3xy）2÷（xy）=9xy，故选项B错误；
C. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项C错误；
D. 2x•3x5=6x6，正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
解：若有意义，则，
解得，
所以，m能取的最小整数值是1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
6．C
解析：C
【解析】
先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==，
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.
7．A
解析：A
【详解】
根据最简二次根式的意义，可知是最简二次根式，=，，=x，不是最简二次根式.
故选A.
8．B
解析：B
【解析】
根据题意，由==，可知当（a﹣3）2=0，即a=3时，代数式的值最小，为=3.
故选B．
9．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
由题意可知：，
∴m≥﹣2且m≠1，
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.
10．B
解析：B
【分析】
先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B、化简得：和是同类二次根式；
C、化简得：和，不是同类二次根式；
D、化简得：和不是同类二次根式．
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．
11．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项正确；
D、，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
12．B
解析：B
【分析】
根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可．
【详解】
解：A、被开方数含分母，故A不符合题意；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故B符合题意；
C、=3被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件．
二、填空题

13．【分析】
根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解.
【详解】
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查无理
解析：
【分析】
根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解.
【详解】
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.
14．13
【解析】
【分析】
由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找
解析：13
【解析】
【分析】
由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系.
15．【分析】
先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．
【详解】
解：∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；
……
∵，
∴；
∴

．

故答案为：
【点睛】
本题
解析：
【分析】
先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．
【详解】
解：∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；
……
∵，
∴；
∴

．

故答案为：
【点睛】
本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子的理解．
16．3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3
解析：3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
17．【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b＞0时，=；
当b＜0时，=.
故答案为：.
解析：
【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b＞0时，=；
当b＜0时，=.
故答案为：.
18．【解析】
上述各式反映的规律是
(n⩾1的整数),
得到第5个等式为： (n⩾1的整数).
故答案是： (n⩾1的整数).
点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;
解析：
【解析】
上述各式反映的规律是
(n⩾1的整数),
得到第5个等式为： (n⩾1的整数).
故答案是： (n⩾1的整数).
点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n个等式.
19．【解析】原式==
20．【分析】
根据a，b，c的值求得p＝，然后将其代入三角形的面积S＝求值即可．
【详解】
解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p＝＝＝8．
所以三角形的面积S＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主
解析：
【分析】
根据a，b，c的值求得p＝，然后将其代入三角形的面积S＝求值即可．
【详解】
解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p＝＝＝8．
所以三角形的面积S＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．
三、解答题

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无