八年级数学期中复习(一)平移与旋转、平行四边形华东师大版知识精讲.doc

初二数学期中复习（一）平移与旋转、平行四边形华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
期中复习（一）平移与旋转、平行四边形

［教学目标］
1. 理解平移、旋转的基本概念，掌握平移旋转的基本特征，并能利用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，以及应用图形的基本变换于实际生活中。
2. 认识平行四边形，掌握平行四边形特征及识别方法，并能根据图形特征及识别方法解决简单的推理与计算等问题，学会合情推理与数学说理。

二. 重点、难点：
教学重点：
1. 图形的平移变换、旋转变换、中心对称的基本特征。
2. 平行四边形的特征和识别方法。
教学难点：
1. 能按要求作出简单的平面图形的平移后的图形，旋转后的图形，理解中心对称图形。
2. 综合利用平行四边形的特征和识别方法来解决实际问题。

［知识网络］

【典型例题】
例1. 如图所示，请你先观察，然后确定第四张图形为（ ）

分析：首先观察图形，从（1）到（2）再到（3）是怎么变换得到的，按照规律确定（4）的图状。
解：C

例2. 如图，这是两张大小、形状完全相同的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面的图案绕O点顺时针旋转，至少旋转____________度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形。

分析：提示两点：1. 把图形抽象成线段；2. 目前图形是轴对称图形，要构造成旋转180°与自身重合的中心对称图形，该图应作何种变换→旋转→怎么转→至少多少度。
解：60

例3. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，D为AE上一点。

①试说明：AD＝BE；
②如果将△CDE绕点C沿顺时针方向旋转θ°，AD＝BE还成立吗？
分析：①要说明AD＝BE，应首先找到AD、BE所在的两个三角形，从图中很容易看出是△ADC、△BEC，若这两个三角形通过某种变换重合，则对应边相等。
解：∵△ABC为等边三角形
∴BC＝AC，∠ACB＝60°
∵△DEC为等边三角形
∴DC＝EC，∠DCE＝60°
∴∠ACB＝∠DCE
∴∠ACB－∠1＝∠DCE－∠1
即∠2＝∠3
由于AC＝BC，∠2＝∠3，DC＝EC
所以△ADC绕点C逆时针旋转60°与△BCE重合。
∴BE＝AD。
分析：②若将△CDE绕点C顺时针方向旋转θ°，看AD＝BE是否成立实质是看在△CDE绕点C顺时针方向旋转θ°后，△ADC还能否与△BCE重合，若可以，则AD＝BE成立，否则不成立。
解：AD＝BE仍然成立。

例4. 在△ACD中，已知∠ACD＝120°，把△ACD绕顶点C逆时针旋转60°得到△BCE。
（1）画出旋转后的图形。
（2）连结AB、DE，试判定△ABC和△CDE的形状。
（3）若AD交EC于N，BE交AC于M，试判断△ACN与△BCM，线段MN与BD有何关系。
分析：（1）画旋转后的图形，只须画出其关键点旋转后的图形，可先画出旋转角，再根据旋转变换前后图形的对应线段相等确定旋转后的图形的对应点。
（2）根据旋转的性质，得∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD，从而可以判定△ABC、△CDE的形状。
（3）将△ACN绕顶点C逆时针旋转60°，你会发现什么结论？此时△MCN是什么形状的三角形？由此定会得出MN与BD的位置关系。
解：（1）如图，作∠ACB＝60°，∠DCE＝60°

在CB、CE上取点B和E，使CB＝CA，CE＝CD，连BE，则△BCE是旋转后的图形，如图所示。
（2）△ABC和△CDE都是等边三角形且B、C、D三点在一条直线上。
∵△BCE是△ACD绕顶点C逆时针旋转60°得到的，且∠ACD＝120°
∴∠ACB＝∠ACE＝∠ECD＝60°，AC＝BC，CE＝CD（旋转三角形的旋转角相等，对应线段相等）
∴△ABC和△CDE都是等边三角形。
（3）在前面的旋转中，N与M是对应点，△BCM是由△ACN绕顶点C逆时针旋转60°而得到的，则△ACN≌△BCM
所以CM＝CN，又∠MCN＝120°－60°＝60°
∴△MCN是等边三角形
∴∠MNC＝60°＝∠DCE
所以，MN∥BD。

例5. 我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图1）

探索下列问题：
（1）在图2给出的四个正方形中，各画一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；

图2
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为。
①请在图3中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“＝”，“＞”连接）；

图3
②请在图4中分别画出反映三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写的数量关系式（用“＜”，“＝”，“＞”连接）。

图4
③是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图5）分割成面积相等的两部分？请简略说出理由。（图5）

图5
分析：（1）由图1得到经过圆心任一条直线均可将圆面积两等分；由图2正方形及探索问题（1）提示在水平方向、竖直方向，与水平方向成45°角的方向，可探索出经过正方形中心的任一条直线均可将正方形面积分成两部分。
（2）通过图3、图4可发现规律，在直线m或n平移过程中S1与S2呈现，的变化趋势，所以在图5中一定有一时刻一条直线可将图形分成两个面积相等的部分。
答：（2）①；
②

（3）存在一条直线，将平面图形分成面积相等的两部分，因为由①②的规律可以看出，一条直线分割平面图形的面积从左至右的变化趋势是小于、等于、大于，所以图5中一定有一个时刻是面积相等的。

例6. 如图（1），六边形ABCDEF中，AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，AB＝DE，BC＝FE，对角线FD⊥BD，FD＝24cm，BD＝18cm，你能求出六边形ABCDEF的面积吗？

图（1）
分析：本题初看似乎无法求解，但仔细观察，题中有彼此平行且相等的三组线段：AB∥DE、AF∥CD、BC∥FE，又知AB＝DE，BC＝FE，FD⊥BD，于是可以大胆设想：如图（2），将六边形ABCDEF剪成△BCD、△DEF和四边形AFDB，并将△DEF平移到△BAG的位置；将△BCD平移到△GAF的位置，则拼成的图形是一个长方形BDFG。因此六边形ABCDEF的面积等于长方形BDFG的面积。

图（2）
解：我们可运用平移的知识进行如下操作：
如图2，将△DEF平移到△BAG的位置；
将△BCD平移到△GAF的位置。
于是六边形ABCDEF的面积就转化为求矩形BDFG的面积。
∴六边形ABCDEF的面积为24×18＝432cm2。

例7. 如图（1），在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，判断DE与BC的关系？

图（1）
分析：要判断DE与BC在长度和位置上的关系，由于条件分散，必须将这些分散的条件集中起来，注意到E是AC的中点，若将△ADE绕E点旋转180°，看发生了什么变化，能得到什么图形。再利用这种图形的性质解决问题。
解：如图（2），将△ADE绕E点旋转180°

图（2）
∵E是AC的中点
∴A旋转到了C点
∵旋转角是180°
∴D点的对应点F在DE的延长线上，
△CEF是旋转后的三角形
∴CF∥AD，CF＝AD，
EF＝DE（中心对称图形的性质）
∵AD＝BD
∴CF＝BD
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
∴DE∥BC，

例8. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，交CB的延长线于E，BF平分∠ABC，交AD延长线于F，求证：四边形BFDE为平行四边形。

分析：若证四边形BFDE为平行四边形，发现DF与AD共线，BE与BC共线，所以DF∥BE，只须再证DF＝BE或DE∥BF即可。
由于已知DE、BF分别为∠ADC、∠ABC的平分线，可证出DE∥BF。
于是推出四边形BFDE为平行四边形，理由是两组对边分别平行的四边形为平行四边形。
证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，DC∥AB
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
∴
∴∠1＝∠2
∵DC∥AB
∴∠2＝∠3
∴∠1＝∠3
∴BF∥DE
∵DF∥BE
∴四边形FDEB为平行四边形。

例9. 如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE。

（1）猜想：DF与AE间的关系是____________
（2）证明你的猜想。
分析：两线段关系，通常指位置关系及数量关系两种。
证明：连结AF、DE，

∵EF∥AB，DF∥BE
∴四边形DBEF为平行四边形
∴EF＝BD
∵D是AB中点
∴AD＝BD
∴AD＝EF
∵EF∥AD
∴四边形ADEF为平行四边形
∴AE、DF互相平分

例10. 在等边△ABC中任取一点P，过P做PE∥BC，PG∥AC，PM∥AB，请同学们探索PE＋PG＋PM与等边三角形边长之间的关系？
分析：（1）准确画出图形。

（2）由已知给出的三个平行关系，联想到构造平行四边形。
（3）利用平行四边形的边之间关系，借用等边△ABC中每个角60°，即可构造出三个小等边三角形。
结论很容易得出。
证明：延长EP、GP、MP分别交AC、AB、BC于F、H、N

∵PM∥AB，PG∥AC
∴四边形AHPM为平行四边形，
∴PM＝AH，PH＝AM，
同理：PN＝BE，PE＝BN，PG＝FC，PF＝GC
∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°
∵PM∥AB，∴∠1＝∠A＝60°
同理∠2＝60°，∴△PMF为等边三角形。
∴PF＝PM＝MF
∴AH＝PM＝PF＝FM＝GC
同理可证：AM＝PH＝PE＝EH＝BN，BE＝PN＝PG＝NG＝FC，
∴PE＋PG＋PM与△ABC边长相等。

例11. 已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以哪两条线段为对角线，其余一条为一边，可以画出平行四边形。
分析：四边形作图问题，通常转化为三角形作图问题来解决。
本题可先利用平行四边形对角线互相平分的特征和三角形三边关系确定平行四边形对角线与边的关系，从而进行判断。
解：如图，四边形ABCD为平行四边形，在△AOB中

即
∴
∴以22cm，16cm长的线段为对角线，18cm长的线段为边可以画出平行四边形。
同理可验证出以22cm、18cm长的线段为对角线，以16cm长的线段为边也可画出平行四边形。

例12. 如图，是101中学内一个不规则湖的平面图，在A、B、C、D四角上各有一盏路灯，现决定将此湖修整，使修整后的湖的面积为现在面积的2倍，且成平行四边形状，其中四盏路灯要保留，请你帮助学校设想方案？

分析：想一想：（1）要保留的四盏灯在什么位置，才能保留下来？（2）如何将面积扩大一倍；（3）做什么变换出平行四边形。
解：（1）要想保留四盏灯A、B、C、D应在平行四边形的边上。
（2）∵平行四边形的一边的两端点和对边上任意一点构成的三角形的面积均是平行四边形面积的。
∴过A作EH∥BD，过C做FG∥BD，过B做EF∥AC，过D做GH∥AC。
（3）四边形EFGH即为所求作的平面图。

【模拟试题】
一、选择题
1. 观察图1中的四个平面图形，是中心对称图形的有（ ）

图1
A. 2个 B. 1个 C. 4个 D. 3个
2. 下列旋转对称图形中，旋转10°，20°，30°，…，180°后都能与自身重合的图形是（ ）
A. 正方形 B. 正十边形
C. 正二十边形 D. 正三十六边形
3. 下列图形中，△ABC经过旋转之后不能得到△A'B'C'的是（ ）

4. 如图2，若△ABC可以看作是由△DEF经平移得到的，已知AB＝3，BE＝2，则BD＝（ ）

图2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
5. 在平行四边形、矩形、菱形、等腰三角形四个图形中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝20cm，BD＝30cm，BC＝24cm，则△OBC的周长是（ ）
A. 37cm B. 49cm C. 39cm D. 45cm
7. 在平行四边形ABCD中，∠B－∠A＝30°，则∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别是（ ）
A. 95°，85°，95°，85°
B. 85°，95°，85°，95°
C. 105°，75°，105°，75°
D. 75°，105°，75°，105°

二、填空题
1. 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝270°，则∠B＝__________，∠C＝__________。
2. 如图3所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，。回答下列问题：

图3
（1）可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪种方法使△ABE变到△ADF的位置？要具体叙述。
答：_______________________________________________。
（2）指出线段BE与DF之间的关系。
答：_______________________________________________。
3. 如图4，平行四边形ABCD中，AE⊥DC于E，AF⊥BC于F，∠B＝60°，则∠FAE＝_________度。

图4

三、作图题：
画出图5中△ABO绕O顺时针旋转60°后的图形。

图5

四、说明题：（第19、20小题每小题5分，第21小题10分，共20分）
1. 如图6，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，说明四边形EBFD是平行四边形。

图6
2. 如图7，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AE＝CF，试说明四边形BFDE是平行四边形。

图7
3. 在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，作PE∥AC，交AB于E，PF∥AB交AC于F，则四边形AEPF周长与AB之间有何关系？说明理由。

图8
4. 在△ABC中，，D是BC中点，说明AD与AB、AC间有何关系？说明理由。

图9

【试题答案】
一、选择题
1. D 2. D 3. D 4. A
5. B 6. B 7. D

二、填空题
1. 45°；135°
2. （1）△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF。
（2）BE⊥DF，BE＝DF
3. 60

三、作图题

四、说明题：（第19、20小题每小题5分，第21小题10分，共20分）
1. 证明：∵平行四边形ABCD
∴CD
∵AE＝CF
∴
∴四边形EBFD为平行四边形。
2. 证明：∵平行四边形ABCD
∴OA＝OC，OB＝OD
∵AE＝CF
∴OE＝OF，OB＝OD
∴四边形EBFD为平行四边形。
3. 答：四边形AEPF周长是AB长度的2倍。

证明：∵AE∥PF，PE∥AF，
∴四边形AEPF为平行四边形
∴PF＝AE，AF＝PE
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵PE∥AC
∴∠1＝∠C
∴∠1＝∠B
∴PE＝BE
∴AF＝BE
∴C平行四边形＝AE＋PE＋PF＋AF＝AE＋BE＋AE＋BE
＝2(AE＋BE)＝2AB
4.
证明：延长AD至E，使DE=AD

∵D是BC中点
∴DC=BD
∵AD=DE，∠1=∠2
∴△ADC绕点D旋转180°得△BDE
∴AC=BE
在△ABE中，
∴
∴