八年级数学期中复习(一)平移与旋转、平行四边形华东师大版知识精讲.doc

初二数学期中复习（一）平移与旋转、平行四边形华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 期中复习（一）平移与旋转、平行四边形教学目标 1. 理解平移、旋转的基本概念，掌握平移旋转的基本特征，并能利用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，以及应用图形的基本变换于实际生活中。 2. 认识平行四边形，掌握平行四边形特征及识别方法，并能根据图形特征及识别方法解决简单的推理与计算等问题，学会合情推理与数学说理。二. 重点、难点： 教学重点： 1. 图形的平移变换、旋转变换、中心对称的基本特征。 2. 平行四边形的特征和识别方法。 教学难点： 1. 能按要求作出简单的平面图形的平移后的图形，旋转后的图形，理解中心对称图形。 2. 综合利用平行四边形的特征和识别方法来解决实际问题。知识网络 【典型例题】 例1. 如图所示，请你先观察，然后确定第四张图形为（ ） 分析：首先观察图形，从（1）到（2）再到（3）是怎么变换得到的，按照规律确定（4）的图状。 解：C 例2. 如图，这是两张大小、形状完全相同的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面的图案绕O点顺时针旋转，至少旋转_度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形。 分析：提示两点：1. 把图形抽象成线段；2. 目前图形是轴对称图形，要构造成旋转180与自身重合的中心对称图形，该图应作何种变换旋转怎么转至少多少度。 解60 例3. 如图，ABC与CDE都是等边三角形，D为AE上一点。 试说明：ADBE； 如果将CDE绕点C沿顺时针方向旋转，ADBE还成立吗？ 分析：要说明ADBE，应首先找到AD、BE所在的两个三角形，从图中很容易看出是ADC、BEC，若这两个三角形通过某种变换重合，则对应边相等。 解：ABC为等边三角形 BCAC，ACB60 DEC为等边三角形 DCEC，DCE60 ACBDCE ACB1DCE1 即23 由于ACBC，23，DCEC 所以ADC绕点C逆时针旋转60与BCE重合。 BEAD。 分析：若将CDE绕点C顺时针方向旋转，看ADBE是否成立实质是看在CDE绕点C顺时针方向旋转后，ADC还能否与BCE重合，若可以，则ADBE成立，否则不成立。 解：ADBE仍然成立。 例4. 在ACD中，已知ACD120，把ACD绕顶点C逆时针旋转60得到BCE。 （1）画出旋转后的图形。 （2）连结AB、DE，试判定ABC和CDE的形状。 （3）若AD交EC于N，BE交AC于M，试判断ACN与BCM，线段MN与BD有何关系。 分析：（1）画旋转后的图形，只须画出其关键点旋转后的图形，可先画出旋转角，再根据旋转变换前后图形的对应线段相等确定旋转后的图形的对应点。 （2）根据旋转的性质，得ACBDCE60，ACBC，CECD，从而可以判定ABC、CDE的形状。 （3）将ACN绕顶点C逆时针旋转60，你会发现什么结论？此时MCN是什么形状的三角形？由此定会得出MN与BD的位置关系。 解：（1）如图，作ACB60，DCE60 在CB、CE上取点B和E，使CBCA，CECD，连BE，则BCE是旋转后的图形，如图所示。 （2）ABC和CDE都是等边三角形且B、C、D三点在一条直线上。 BCE是ACD绕顶点C逆时针旋转60得到的，且ACD120 ACBACEECD60，ACBC，CECD（旋转三角形的旋转角相等，对应线段相等） ABC和CDE都是等边三角形。 （3）在前面的旋转中，N与M是对应点，BCM是由ACN绕顶点C逆时针旋转60而得到的，则ACNBCM 所以CMCN，又MCN1206060 MCN是等边三角形 MNC60DCE 所以，MNBD。 例5. 我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图1） 探索下列问题： （1）在图2给出的四个正方形中，各画一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；图2 （2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为。 请在图3中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“”，“”，“”连接）；图3 请在图4中分别画出反映三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写的数量关系式（用“”，“”，“”连接）。图4 是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图5）分割成面积相等的两部分？请简略说出理由。（图5）图5 分析：（1）由图1得到经过圆心任一条直线均可将圆面积两等分；由图2正方形及探索问题（1）提示在水平方向、竖直方向，与水平方向成45角的方向，可探索出经过正方形中心的任一条直线均可将正方形面积分成两部分。 （2）通过图3、图4可发现规律，在直线m或n平移过程中S1与S2呈现，的变化趋势，所以在图5中一定有一时刻一条直线可将图形分成两个面积相等的部分。 答：（2）； （3）存在一条直线，将平面图形分成面积相等的两部分，因为由的规律可以看出，一条直线分割平面图形的面积从左至右的变化趋势是小于、等于、大于，所以图5中一定有一个时刻是面积相等的。 例6. 如图（1），六边形ABCDEF中，ABDE，AFCD，BCEF，ABDE，BCFE，对角线FDBD，FD24cm，BD18cm，你能求出六边形ABCDEF的面积吗？图（1） 分析：本题初看似乎无法求解，但仔细观察，题中有彼此平行且相等的三组线段：ABDE、AFCD、BCFE，又知ABDE，BCFE，FDBD，于是可以大胆设想：如图（2），将六边形ABCDEF剪成BCD、DEF和四边形AFDB，并将DEF平移到BAG的位置；将BCD平移到GAF的位置，则拼成的图形是一个长方形BDFG。因此六边形ABCDEF的面积等于长方形BDFG的面积。图（2） 解：我们可运用平移的知识进行如下操作： 如图2，将DEF平移到BAG的位置； 将BCD平移到GAF的位置。 于是六边形ABCDEF的面积就转化为求矩形BDFG的面积。 六边形ABCDEF的面积为2418432cm2。 例7. 如图（1），在ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，判断DE与BC的关系？图（1） 分析：要判断DE与BC在长度和位置上的关系，由于条件分散，必须将这些分散的条件集中起来，注意到E是AC的中点，若将ADE绕E点旋转180，看发生了什么变化，能得到什么图形。再利用这种图形的性质解决问题。 解：如图（2），将ADE绕E点旋转180图（2） E是AC的中点 A旋转到了C点 旋转角是180 D点的对应点F在DE的延长线上， CEF是旋转后的三角形 CFAD，CFAD， EFDE（中心对称图形的性质） ADBD CFBD 四边形BCFD是平行四边形 DFBC，DFBC DEBC， 例8. 如图，在平行四边形ABCD中，DE平分ADC，交CB的延长线于E，BF平分ABC，交AD延长线于F，求证：四边形BFDE为平行四边形。 分析：若证四边形BFDE为平行四边形，发现DF与AD共线，BE与BC共线，所以DFBE，只须再证DFBE或DEBF即可。 由于已知DE、BF分别为ADC、ABC的平分线，可证出DEBF。 于是推出四边形BFDE为平行四边形，理由是两组对边分别平行的四边形为平行四边形。 证明：平行四边形ABCD， ADBC，ADCABC，DCAB DE平分ADC，BF平分ABC 12 DCAB 23 13 BFDE DFBE 四边形FDEB为平行四边形。 例9. 如图，ABC中，D是AB中点，E是AC上一点，EFAB，DFBE。 （1）猜想：DF与AE间的关系是_ （2）证明你的猜想。 分析：两线段关系，通常指位置关系及数量关系两种。 证明：连结AF、DE， EFAB，DFBE 四边形DBEF为平行四边形 EFBD D是AB中点 ADBD ADEF EFAD 四边形ADEF为平行四边形 AE、DF互相平分 例10. 在等边ABC中任取一点P，过P做PEBC，PGAC，PMAB，请同学们探索PEPGPM与等边三角形边长之间的关系？ 分析：（1）准确画出图形。 （2）由已知给出的三个平行关系，联想到构造平行四边形。 （3）利用平行四边形的边之间关系，借用等边ABC中每个角60，即可构造出三个小等边三角形。 结论很容易得出。 证明：延长EP、GP、MP分别交AC、AB、BC于F、H、N PMAB，PGAC 四边形AHPM为平行四边形， PMAH，PHAM， 同理：PNBE，PEBN，PGFC，PFGC ABC为等边三角形，A60 PMAB，1A60 同理260，PMF为等边三角形。 PFPMMF AHPMPFFMGC 同理可证：AMPHPEEHBN，BEPNPGNGFC， PEPGPM与ABC边长相等。 例11. 已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以哪两条线段为对角线，其余一条为一边，可以画出平行四边形。 分析：四边形作图问题，通常转化为三角形作图问题来解决。 本题可先利用平行四边形对角线互相平分的特征和三角形三边关系确定平行四边形对角线与边的关系，从而进行判断。 解：如图，四边形ABCD为平行四边形，在AOB中 即 以22cm，16cm长的线段为对角线，18cm长的线段为边可以画出平行四边形。 同理可验证出以22cm、18cm长的线段为对角线，以16cm长的线段为边也可画出平行四边形。 例12. 如图，是101中学内一个不规则湖的平面图，在A、B、C、D四角上各有一盏路灯，现决定将此湖修整，使修整后的湖的面积为现在面积的2倍，且成平行四边形状，其中四盏路灯要保留，请你帮助学校设想方案？ 分析：想一想：（1）要保留的四盏灯在什么位置，才能保留下来？（2）如何将面积扩大一倍；（3）做什么变换出平行四边形。 解：（1）要想保留四盏灯A、B、C、D应在平行四边形的边上。 （2）平行四边形的一边的两端点和对边上任意一点构成的三角形的面积均是平行四边形面积的。 过A作EHBD，过C做FGBD，过B做EFAC，过D做GHAC。 （3）四边形EFGH即为所求作的平面图。【模拟试题】一、选择题 1. 观察图1中的四个平面图形，是中心对称图形的有（ ）图1 A. 2个B. 1个C. 4个D. 3个 2. 下列旋转对称图形中，旋转10，20，30，180后都能与自身重合的图形是（ ） A. 正方形B. 正十边形 C. 正二十边形D. 正三十六边形 3. 下列图形中，ABC经过旋转之后不能得到ABC的是（ ） 4. 如图2，若ABC可以看作是由DEF经平移得到的，已知AB3，BE2，则BD（ ）图2 A. 1B. 2C. 3D. 5 5. 在平行四边形、矩形、菱形、等腰三角形四个图形中，既是中心对称又是轴对称图形的有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 6. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC20cm，BD30cm，BC24cm，则OBC的周长是（ ） A. 37cmB. 49cmC. 39cmD. 45cm 7. 在平行四边形ABCD中，BA30，则A，B，C，D的度数分别是（ ） A. 95，85，95，85 B. 85，95，85，95 C. 105，75，105，75 D. 75，105，75，105二、填空题 1. 在平行四边形ABCD中，AC270，则B_，C_。 2. 如图3所示，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，。回答下列问题：图3 （1）可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪种方法使ABE变到ADF的位置？要具体叙述。 答：_。 （2）指出线段BE与DF之间的关系。 答：_。 3. 如图4，平行四边形ABCD中，AEDC于E，AFBC于F，B60，则FAE_度。图4三、作图题： 画出图5中ABO绕O顺时针旋转60后的图形。图5四、说明题：（第19、20小题每小题5分，第21小题10分，共20分） 1. 如图6，在平行四边形ABCD中，AECF，说明四边形EBFD是平行四边形。图6 2. 如图7，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AECF，试说明四边形BFDE是平行四边形。图7 3. 在ABC中，ABAC，P是BC边上任意一点，作PEAC，交AB于E，PFAB交AC于F，则四边形AEPF周长与AB之间有何关系？说明理由。图8 4. 在ABC中，D是BC中点，说明AD与AB、AC间有何关系？说明理由。图9【试题答案】一、选择题 1. D2. D3. D4. A 5. B6. B7. D二、填空题 1. 45；135 2. （1）ABE绕点A逆时针旋转90得到ADF。 （2）BEDF，BEDF 3. 60三、作图题四、说明题：（第19、20小题每小题5分，第21小题10分，共20分） 1. 证明：平行四边形ABCD CD AECF 四边形EBFD为平行四边形。 2. 证明：平行四边形ABCD OAOC，OBOD AECF OEOF，OBOD 四边形EBFD为平行四边形。 3. 答：四边形AEPF周长是AB长度的2倍。 证明：AEPF，PEAF， 四边形AEPF为平行四边形 PFAE，AFPE ABAC BC PEAC 1C 1B PEBE AFBE C平行四边形AEPEPFAFAEBEAEBE 2(AEBE)2AB 4. 证明：延长AD至E，使DE=AD D是BC中点 DC=BD AD=DE，1=2 ADC绕点D旋转180得BDE AC=BE 在ABE中，