高二数学假期作业.doc

高二数学清明节假期作业
一、填空题
1．采用系统抽样从含有2000个个体的总体（编号为0000，0001，…，1999）中抽取一容量为50的样本，若第一段中的编号为0013，则入样的第三段中的编号是 ▲ ．0093
2．为了了解参加一次知识竞赛的名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取
一个容量为的样本，那么应从总体中随机剔除个体的数目是 ▲ ．3
3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是____▲____个．650

4．如上图是一个算法的流程图，最后输出的 25

5．已知，…，这10个数的和为，则当函数取得最小值时，此时的值为 ▲ ．

6．现有5根竹竿，它们的长度分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次性随机抽取两根竹竿，则它们长度恰好相差0.3的概率为 0.2

7．若的方差是2，则…的方差是 ▲ ．18

8.若f’(a)=2,则当h无限趋近于0时，无限趋近于 。-1

9.设函数，（、、 是两两不等的常数），则 ．0

10.右边图象中，有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(-1)等于 。-

11．曲线过点处的切线方程是__________ _；

12．点为正三角形的变的中点，从点发出的光线到边上的每一点的概率相同，则由点发出的光线，先后经边，边反射后仍落在边上的概率为

13.关于的方程有三个不等的实根,则实数的取值范围是(-2,2).

14.已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是.

二、解答题
15. 口袋里有分别标有数字1、2、3、4的4只白球和分别标有数字5、6的2只红球，这些球大小相同.某人从中随机取出一球，然后放回，再随机取出一球.
(Ⅰ)求两次取出的球上的数字之和大于8的概率；
(Ⅱ)求两次取出的球颜色不同的概率；
解：从口袋里任意取一球，放回后再随机取出一球，共有36个基本事件,-----2分
(Ⅰ) 设：“两次取出的球上的数字之和大于8”为事件A
则事件A中包含两次取出的球上的号码为(3,6),(4,5,),(4,6),(5,4),(5,5,),(5,6),(6,3),(6,4),
(6,5),(6,6)共10个基本事件，
------------7分
(Ⅱ) 设：“两次取出的球颜色不同”为事件B，则事件B包含两次取出的球上的号码为(1,5,),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(64)共16个基本事件，
------------12分
答：次取出的球上的数字之和大于8的概率是两次取出的球颜色不同的概率是
------------14分

16. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：
组号
分组
频数
频率
第一组

8
0.16
第二组

①
0.24
第三组

15
②
第四组

10
0.20
第五组

5
0.10
合 计
50
1.00
(1)写出表中①②位置的数据；
(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

解：(1) ①②位置的数据分别为12、0.3；
(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；
(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．
记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．

17. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5＋4×3＋6×4.5＝66.5）

解：（1）

（2） 　　　　　　
代入公式：

得

所求的线性回归方程：
（3）当x=100时，y=70.35,则90-70.35=19.65 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65 吨标准煤.

18. 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：（1）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有， 又由已知条件，，于是有，
所以．
（2）根据（1），我们有．

2

12

0

0

减
极小
增
极大
减
故时，达到极大值．因为，，
所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

19. 已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：．
当时，．
令，解得，，．
当变化时，，的变化情况如下表：

0

2

－
0
＋
0
－
0
＋

↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数．
（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式，得．这时，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．
所以，因此满足条件的的取值范围是
20. 设，函数 .(Ⅰ)求函数 的单调区间；(Ⅱ)当时，函数取得极值，证明：对于任意的 .
解：(Ⅰ)
⑴ 当时，恒成立，在上是增函数；
⑵ 当时，令，即，解得.
因此，函数在区间 内单调递增，在区间 内也单调递增.
令，解得.
因此，函数在区间 内单调递减.
（Ⅱ）当时，函数取得极值，即 ，
由(Ⅰ)在单调递增，在单调递减，单调递增.
在时取得极大值；在时取得极小值，
故在上，的最大值是，最小值是；
对于任意的