[教学设计]直线和圆的位置关系.doc

直线和圆的位置关系
[内容]

教学目标
(一)使学生掌握直线和圆的三种位置关系的定义及其判定方法和性质；
(二)通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养
学生观察、分析和发现问题的能力；
(三)使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯
物主义观点.
教学重点和难点
直线与圆的三种位置关系是重点；直线和圆的三种位置关系的性质和判定的正确运用是
难点.
教学过程设计
一、类比联想，提出问题
1.前面已经研究了点和圆的位置关系，请学生回忆，点和圆有几种位置关系?它们的数
量特征分别是什么?
在学生回答的基础上，教师投影打出点和圆的三种位置关系：点在圆内、在圆上、在圆
外.
数量特征：点在圆内 d＜r；点在圆上 d＝r；点在圆外 d＞r.
2.如果把点换成一条直线，直线和圆又有哪几种位置关系呢?(板书课题)
二、根据图形运动变化，发现规律、传授新知
1.尝试活动
让学生在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，任意移动直尺，观察有几种位置关
系.
2.电脑演示
在学生尝试活动的基础上，教师电脑演示图7-98：一个已知圆O与一条直线l发生相对运
动的情况.
将圆向上逐步运动，让学生观察，把观察到的情况说出来.
教师引导学生答出：在图7-98中，直线和圆由有两个交点逐渐缩至一个点最后完全消失
.
在学生回答的基础上，教师指出：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三
种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.
(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯
一的公共点叫做切点.
(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
给出以上定义后，教师强调：
(1)直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同.
(2)直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否
多于两个?为什么?
对于问题(2)可让学生展开讨论，后教师指出：由于同一直线上的三点不可能作圆，因
而直线不可能与圆有三个交点，故直线与圆不可能有第四种位置关系.
3.直线与圆的位置关系的数量特征.
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样进行数量分析呢?
提出问题，让学生思考，教师引导学生观察图7-98，发现：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系.
图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与
圆心的距离大于半径.
学生回答后，教师总结并板书：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
(1)直线l和⊙O相交 d＜r；
(2)直线l和⊙O相切 d＝r；
(3)直线l和⊙O相离 d＞r.
在讲点与圆的位置关系时若引用了符号“”，可再巩固一下；若没有引用，这里应解
释符号“”的意义.
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是
直线与圆的位置关系的判定.
以上三个命题的正确性是通过观察得到的，可鼓励程度好的学生课后对它们加以证明.
现以(3)为例证明如下.
证明：判定定理.
过O作OA⊥l于A，则OA＝d.
在直线l上任取另一点B，并连结OB.
则在Rt△OAB中，OB＞OA＞r.
所以l上任意一点均在⊙O的外部.
即直线l与⊙O没有公共点，l与⊙O相离.
证明：性质定理.
假设d不大于r,则d＝r或d＜r.
由判定定理可知，当d＝r时，l与⊙O相切；当d＜r时，l与⊙O相交，都与已知直线l与⊙O相离矛盾，因此d＞r.
三、例题分析，课堂练习
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，BC＝4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB
有怎样的位置关系?为什么?
(1)r＝2厘米；(2)r＝2.4厘米；(3)r＝3厘米.
分析：因为题目给出了⊙O的半径，所以解题关键是求圆心C到直线AB的距离，也就是要求出Rt△ABC斜边AB上的高.为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行
比较，确定⊙C与AB的关系.
让学生自己作出回答，教师板书解题过程，并画出相应的图形.(图7-100)

练习1 填空(投影打出)
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，若以C为圆心，r为半径和圆，那么：
(1)当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是 ；
(2)当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是 ；
(3)当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是 ；
练习2 如图7-101，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5厘米，以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?

(1)r＝2厘米；
(2)r＝4厘米；
(3)r＝2.51厘米；
四、课堂小结
问：这节课学习了哪些具体内容?用到了哪些数学思想方法?应注意什么问题?
在学生回答的基础上教师归纳；
1.投影打出直线与圆的位置关系表.
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
圆心到直线距离d与半径r的关系 d＜r　　　d＝r d＞r
公共点名称 交点 切点 无
直线名称 割线 切线 无

2.本节课类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；利
用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类来讨论；用了数形结合的思想，通过d的r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系.
3.学习时应注意弄清直线与圆的位置关系的性质与判定使用的区别与联系.
五、布置作业
课本p.115.习题7.3.A组.1(1)，2，3.
板书设计

课堂教学设计说明
这份教案为1课时，对于定理的证明不必向学生讲，可作为程度好的学生的课外作业.