直线与圆的位置关系教学设计.doc

《直线与圆的位置关系》教学设计
对教材内容的理解分析：
1、本节内容在全书及章节的地位：
直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课。
2、本节课的复习内容：
本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一。
3、教材的地位与作用：
本节课时平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚刚学习过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础，它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学目标
知识目标：了解代数法和几何法解决直线与圆的位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题。
能力目标：让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力。
情感态度价值观目标：培养学生合作交流，善于思考的良好品质，激发学生学习数学的积极性。
重点难点
重点：几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用。
难点：通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力。
教学方法：启发式、自主探究相结合
教具资料：三角板、圆规、多媒体课件
教学过程：
一、考点梳理
1．直线与圆的位置关系：
位置关系有三种：________、________、________；
2．直线（A、B不全为0）与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法和几何法．
①代数法：由消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
d<r____________________________，
d＝r___________________________，
d>r____________________________.
3．圆的切线方程
(1)若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为______________________．
注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．
(2)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过P的切线方程可设为：_______________，利用待定系数法求解．
注意：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
4．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算,即弦长．
(2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
AB＝|xA－xB|＝.
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．

二、热身练习：
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
解析　圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－＝k(x－1)，
即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案　x－y＋2＝0
2．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a＝________.
解析　由已知得圆的圆心为(－1,2)，则3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案　1
3．已知直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则AB＝________.
解析　

如图，取AB中点C，连接OC、OA.则OC⊥AB，|OA|＝2，OC＝＝，
∴AC＝＝，∴AB＝2AC＝2.
答案　2
4．(2012·泰州模拟)过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的两切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．
解析　由对称性知所求距离即为圆C到直线2x－y＝0的距离，即为d＝＝3.
答案　3
5．(2012·泰州期末考试)过点C(3,4)且与x轴、y轴都相切的两个不同圆的半径分别为r1、r2，则r1r2＝________.
解析　由题意，可设圆的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(其中|m|＝|n|＝r)，则有(3－m)2＋(4－n)2＝r2，整理得r2－6m－8n＋25＝0，即r2±14r＋25＝0或r2±2r＋25＝0，由此得r1r2＝25.
答案　25

三、例题选讲
考点一　直线与圆的位置关系
例1.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
法一　(1)证明　由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长AB＝|x1－x2|＝
2 ＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时AB最小为2.
法二　(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d<R，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　由平面几何知识，
知AB＝2＝2，下同法一．
法三　(1)证明　因为不论k为何实数，直线l总过点A(0,1)，而AC＝<2＝R，所以点A(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点A.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　由平面几何知识知过圆内定点A(0,1)的弦，只有和AC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点A(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知AB＝2＝2 ，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2 .
[方法总结] (1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；
(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法；
(3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率k1·k2＝－1
考点二　圆的切线问题
例2.(2013·南京金陵中学月考)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
解　(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，故＝1，得k＝.
∴方程为y－5＝(x－3)，即3x－4y＋11＝0.
综上，所求直线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.
(2)AO＝＝，lAO：5x－3y＝0，
点C到直线OA的距离d＝，S＝d·AO＝.
[方法总结] 如果所求切线过某已知点，务必弄清该点在圆上还是在圆外．(1)点M在圆上，那么圆心和M点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程．(2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的直线只有一条，这是因为有一条过这点的切线斜率不存在．
变式练习：已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
解　依题意，点P的坐标为(0，m)．∵MP⊥l，
∴×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．
从而圆的半径r＝|MP|＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
考点三　直线与圆的综合问题
例3.(2013·淮安模拟)如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程；
(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
解　(1)设圆A的半径为R.
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.
由|AQ|＝＝1，得k＝.
∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
(3)∵AQ⊥BP，∴·＝0.
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝·.
当直线l与x轴垂直时，得P.
则＝，又＝(1,2)，
∴·＝·＝－5.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
由解得P.
∴＝.
∴·＝·＝－＝－5.
综上所述，·是定值，且·＝－5.
[方法总结] 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．
变式练习：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1,0)．
(1)若l1与圆相切，求l1的方程；
(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．
解　(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.
又直线CM与l1垂直，由
得M.
所以AM·AN＝ ·
＝·＝6为定值，故AM·AN是定值，且为6.
四、巩固练习
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是________．
2．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于________．
3．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
4. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
5.若圆C：(x－h)2＋(y－1)2＝1在不等式x＋y＋1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为________．
五、课堂小结：

六、作业：
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.则圆C的圆心到直线l的距离为________；
2. (2011·广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．
3.(2012·济南调研(二))已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是________________．
4.由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
5.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
6.(2012·扬州中学最后冲刺)将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．
7.若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________．
8.已知直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________．
二、解答题(每小题15分，共30分)
9．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．

10. (2013·苏北四市调研)如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)当t＝1时，求出直线l的方程；
(3)求直线OM的斜率k的取值范围．

11．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.
(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；
(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；
(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程.

12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程；
(3)设点Q在圆P上，试问使△QAB的面积等于8的点Q共有几个，并证明你的结论．