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数列（高考）
1．（2015新课标Ⅱ16）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an+1＝SnSn+1，则Sn＝_____．
【解析】由已知得an+1＝Sn+1－Sn＝SnSn+1，两边同时除以SnSn+1，得
－＝－1，故数列{}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝．
2．（新课标Ⅱ9）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝ ．
解：由题意可得a3a5＝a42＝4(a4－1)，解得a4＝2，公比q＝＝8，∴q＝2．故a2＝a1q＝．
考点：等比数列.
（2015江苏11）数列{an}满足a1＝1，且an+1－an＝n+1（nÎN*），则数列{}的前10项和为 ．
试题分析：由题意得：
所以．
【山东】19. （本小题满分12分）
已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
【答案】（I） (II)
【解析】
试题分析：（I）设数列的公差为，
令得，得到 .
令得，得到 .
解得即得解.
（II）由（I）知得到
从而利用“错位相减法”求和.
试题解析：（I）设数列的公差为，
令得，所以.
令得，所以.
解得，所以
（II）由（I）知所以
所以
两式相减，得

所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.
【北京】6.设是等差数列. 下列结论中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法
【浙江文】10、已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题可得，，故有，又因为，即，所以.
考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.
【浙江文】17. （本题满分15分）已知数列和满足，
.
（1）求与;
（2）记数列的前n项和为，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】
试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.

考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.
【浙江】20.（本题满分15分）
已知数列满足=且=-（n）
（1）证明：1（n）；
（2）设数列的前n项和为,证明（n）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

考点：数列与不等式结合综合题.
【北京】20.（本小题13分）
已知数列满足：，，且．
记集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8
【解析】
①试题分析：（Ⅰ）由，可知则；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.第二步集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数；第三步由于中的元素都不超过36，中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，和除以9的余数一样，分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况，研究集合M中的元素个数，最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.
试题解析：（Ⅰ）由已知可知：

（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.
（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，
考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.

【福建】16．若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．
【答案】9

考点：等差中项和等比中项．
【福建】17．(本小题满分12分)
等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得，进而求的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，故可采取分组求和法求其前10项和．
试题解析：（I）设等差数列的公差为．
由已知得，
解得．
所以．

考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
【天津】18. （本小题满分13分）已知数列满足，且
成等差数列.
(I)求q的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前n项和.
【答案】(I) ; (II) .
【解析】
试题分析：(I)由得 先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.
试题解析：(I) 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为

考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前项和公式.3.错位相减法.
【湖北】18．（本小题满分12分）
设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

. ②
①-②可得，
故.
考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前项和.
【湖北】22．（本小题满分14分）
已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：.
【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为. ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，即.
令，得，即. ①
（Ⅱ）；；
.
由此推测： ②
下面用数学归纳法证明②.
（1）当时，左边右边，②成立.
（2）假设当时，②成立，即.
当时，，由归纳假设可得
.
所以当时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.
（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得

.
即.
考点：1.导数的应，2.数列的概念，3.数学归纳法，4.基本不等式
（2015新课标Ⅰ7）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，且S8＝4S4则a10＝ ．
解析： ，，，．
【上海】22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.
【答案】（1）（2）详见解析（3）

因为，，所以，即.
故的第项是最大项.
解：（3）因为，所以，
当时，

.
当时，，符合上式.
所以.
因为，所以，.
①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；
②当时，的最大值为，最小值为，而；
③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.
综上，的取值范围是.
【考点定位】等差数列，数列单调性

16．【2015四川16】
设数列{an}（n＝1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，求Tn．
【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.
（1）由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），即an＝2an－1（n≥2），
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1．
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2．
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n．
（2）由（1）得＝，{}是首项为、公比为的等比数列，
所以Tn＝＝．