浅谈函数定义域的求法.doc

浅谈函数定义域的求法新疆北屯高级中学 董晶晶【摘要】：函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之关键，正确求出函数的定义域是一项非常基本的数学能力.函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途.数学中有许多有关函数的题目,求解的思路很容易想到,入手并不困难,但不少同学求解时,往往由于忽视了函数的定义域而导致错解.在解函数题时,应透彻理解函数定义域与函数其他性质之间的关系和相互作用,强调定义域对解题结论的作用与影响。 【关键词】： 数学教学 函数定义域 解析式一、含分式的函数例 求函数yX-2/X+1的定义域解：要使函数有意义，则x+10，即x-1.故该函数的定义域为x|x-1. 【点评】在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；绝对不能先化简后求函数定义域，如本题，若先约分后求函数的定义域，则会使定义域的范围扩大，变为所有实数. 二、含偶次根式的函数 例 求函数y（a为不等于0的常数）的定义域. 解：要使函数有意义，则ax-30，所以当a0时，原函数的定义域为3/a，）； 当a0时，原函数的定义域为（，3/a.【点评】（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况. 三、复合型函数函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现. 四、基本初等函数(如指数函数、对数函数、三角函数等),掌握其函数定义域。五、对于实际问题中函数的定义域 函数的解析式包括定义域和对应法则,所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域,还要考虑实际问题中定义域受到实际意义的制约,否则所求函数关系式可能是错误。例5 某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？ 解：设矩形的长为x米，则宽为(50x)米，由题意得： S=x(50-x) 故函数关系式为：S=x(50-x)如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0x50 即：函数关系式为：S=x(50-x) （0x50）【点评】在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。 六、抽象函数 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况例6 (1)已知的定义域,求的定义域。（1）已知函数f(x)的定义域为（0，1），求f(2x-1)的定义域；（2）已知函数f(2x-1)的定义域为（0，1），求f(x)的定义域 解：（1）令t=2x-1，因为f(x)的定义域为（0，1），所以0t1，即 02x-11 .解得x1所以f(2x-1)的定义域为.2x（2）令t=2x-1，因为0x1，所以-12x-10,求实数m的取值范围。 解: 函数的定义域是R,即要求对任意实数x, mxx-6mx+m+800恒成立。 (1)当m=0时, ,其定义域为R; (2) 当m0时,要使mxx-6mx+m+800恒成立。只需=36mm-4m(m+8) 0 ，0m1 综上所述,m的取值范围是0m0)的定义域。 解:由已知,有 -1axa, -1xa, (1) 当a=1时, 定义域为x-1xa; (2) 当0a1时, 定义域为x-1x1时, 定义域为x-1x1时,定义域为x-1x1; 当0a1时,定义域为x-1xa。 本文介绍求函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域,在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,树立起“定义域优先”的观点, 拓展思路,增强创新意识,提高分析问题解决问题的能力。对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。