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浅谈函数定义域的求法
新疆北屯高级中学 董晶晶
【摘要】：函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之关键，正确求出函数的定义域是一项非常基本的数学能力.函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途.数学中有许多有关函数的题目,求解的思路很容易想到,入手并不困难,但不少同学求解时,往往由于忽视了函数的定义域而导致错解.在解函数题时,应透彻理解函数定义域与函数其他性质之间的关系和相互作用,强调定义域对解题结论的作用与影响。
【关键词】： 数学教学 函数定义域 解析式
一、含分式的函数
例 求函数y＝X-2/X+1的定义域．
解：要使函数有意义，则x+1≠0，即x≠-1.故该函数的定义域为{x|x≠-1}.
【点评】在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；绝对不能先化简后求函数定义域，如本题，若先约分后求函数的定义域，则会使定义域的范围扩大，变为所有实数.
二、含偶次根式的函数
例 求函数y＝（a为不等于0的常数）的定义域.
解：要使函数有意义，则ax-3≥0，所以当a＞0时，原函数的定义域为[3/a，＋∞）；
当a＜0时，原函数的定义域为（－∞，3/a].
【点评】（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.
三、复合型函数
函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.
四、基本初等函数(如指数函数、对数函数、三角函数等),掌握其函数定义域。
五、对于实际问题中函数的定义域
    函数的解析式包括定义域和对应法则,所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域,还要考虑实际问题中定义域受到实际意义的制约,否则所求函数关系式可能是错误。
例5 某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？
解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：
S=x(50-x)
故函数关系式为：S=x(50-x)
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0<x<50
即：函数关系式为：S=x(50-x) （0<x<50）
【点评】在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
六、抽象函数
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况
   例6 (1)已知的定义域,求的定义域。（1）已知函数f(x)的定义域为（0，1），求f(2x-1)的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为（0，1），求f(x)的定义域．
解：（1）令t=2x-1，因为f(x)的定义域为（0，1），所以0<t<1，即 0<2x-1<1 .解得<x<1．
所以f(2x-1)的定义域为.
2x
（2）令t=2x-1，因为0<x<1，所以-1<2x-1<1 .所以f(x)的定义域为（-1，1）．
【点评】本题容易被函数f(x)中的x和f(2x-1)中的x所迷惑，它们的意义是不同的：（1）问相当于已知x∈(0，1)，求出2x-1的范围就是f(x) 的定义域；（2）问中函数f（2x-1）的定义域是（0，1），意思是指x的取值范围是(0，1)，欲求f（x）的定义域只要看2x-1在什么范围就行了．

  （3）:已知函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],
    求y=f(2x-1)的定义域。
    解:∵函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],
    ∴ -2 ≤x ≤3 ,
    ∴-1≤x+1≤4,
    ∴定义域[-1,4]。
    再由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤5/2
    故y=f(2x-1)的定义域是[0, 5/2]。
七 逆向思维型
    给出函数的解析式可以求出其定义域,有时我们也会遇到给出函数式并给出其定义域,要求其函数式中参数的取值范围。
    例 7 已知函数y=mxx-6mx+m+80的定义域是R 时y>0,求实数m的取值范围。
解: 函数的定义域是R,即要求对任意实数x, mxx-6mx+m+80>0恒成立。
(1)当m=0时, ,其定义域为R; (2) 当m≠0时,要使mxx-6mx+m+80>0恒成立。只需△=36mm-4m(m+8) < 0 ，0<m<1 综上所述,m的取值范围是0≤m<1   
   八 隐蔽型
    有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐蔽在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。
例8  指出函数的单调区间．
解：先求定义域：
∵ ∴
∴ 函数定义域为．
令，知在上时，u为减函数，
在上时， u为增函数。
又∵．
∴函数在上是减函数，在上是增函数。
即函数的单调递增区间，单调递减区间是。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

 九、参数型
    对于含有参数的函数,求其定义域时,必须对分母进行分类讨论,要注意讨论字母的方法。
    例9:已知函数的定义域为(-1,a),求函数g(x)=f(ax)+f(x)(a>0)的定义域。
    解:由已知,有 -1<ax<a, -1<x<a,

    (1) 当a=1时, 定义域为{x∣-1<x<a};
    (2) 当0<a<1时, 定义域为{x∣-1<x<a};
    (3)当a>1时,    定义域为{x∣-1<x<1};
    故当a>1时,定义域为{x∣-1<x<1};
    当0<a≤1时,定义域为{x∣-1<x<a}。
    本文介绍求函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域,在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,树立起“定义域优先”的观点, 拓展思路,增强创新意识,提高分析问题解决问题的能力。对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。