高中数学函数定义域的求法.doc

函数定义域的求法
函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。
求函数的定义域的基本方法有以下几种：
1、 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：
l 整式表达式是任意实数；
l 分式中的分母不为零；
l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
l 奇次方根下的数（或式）是任意实数；
l 零指数幂的底数不等于零；
l 指数式的底数大于零且不等于一；
l 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
例1 函数的定义域为

3、 求函数y＝＋的定义域
1、分析：对数式的真数大于零。
解：依题意知：

即
解之，得
∴函数的定义域为
点评：对数式的真数为，本来需要考虑分母，但由于已包含的情况，因此不再列出。
2、抽象函数的定义域的求法。
已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。
例2 （1）已知f(x)的定义域为[-1，1]，求f(2x-1)的定义域。
（2）已知f(2x-1)的定义域为（-1，5］，求函数f(x)的定义域。
（3）已知f(2x-5)的定义域为（-1，5］，求函数f(2-5x)的定义域。
分析：
⑴f(2x-1)要有意义，-1≤2x-1≤1,0≤x≤1，
∴f(x)的定义域为[0，1]
（2）由题知 -1＜x≤5，得-3＜2x-1≤9,
所以，原函数的定义域为｛Xｌ-3＜2x-1≤9｝.
(3)由题意知 -1＜x≤5，所以-3＜2x-1≤9，
则-3＜2-5x≤9，所以-≤x＜1
原函数定义域为｛xｌ-≤x＜1｝
评注：已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域，实质是解不等式g(x)∈D；而已知f[g(x)]定义域为D，求f(x)定义域，是根据x∈D，求g(x)的取值范围。此时，一定要注意题目中给的条件，不要被它造成的假象所迷惑，尤其分清说的是x还是别的。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例3、已知函数的定义域为求实数的取值范围。
分析：函数的定义域为，表明，使一切都成立，由项的系数是，所以应分或进行讨论。
解：当时，函数的定义域为；
当时，是二次不等式，其对一切实数都成立的充要条件是
综上可知。
评注：不少学生容易忽略的情况，希望通过此例解决问题。
练习：已知函数的定义域是，求实数的取值范围。
巩固练习
1、函数的定义域为 。
2、函数y＝的定义域是＿＿＿＿。
3、若函数的定义域为，则的定义域为 。
4、若函数的定义域为，则的定义域为 。