高中数学分段函数与值域的求法导学案苏教版必修1.doc

江苏省响水中学高中数学 第二章《分段函数与值域的求法》导学案 苏教版必修1

1.根据函数图象或基本函数的性质计算函数的值域.
2.通过具体实例,了解分段函数的概念和意义,会求分段函数的值,绘制分段函数的图象和求分段函数的值域.
3.掌握一些基本函数图象的变换、培养分析问题和解决问题的能力.

从A地到B地首先经过一段路程为5 km的下坡路,再经过一段路程为4 km的上坡路,最后经过一段路程为10 km的平路,某同学骑自行车从A地到B地,下坡路的骑车速度为30 km/h,上坡路的骑车速度12 km/h,平路的骑车速度为20 km/h,则该同学骑车从A地到B地的行驶时间t(h)关于行驶的路程S(km)的函数关系式为S=S(t).

问题1:(1)该同学下坡路的行驶时间为　　　　h,上坡路的行驶时间为　　　　h,平路的行驶时间为　　　　h,从A地到B地总共所用的时间为　　　　h. 
(2)当0≤t≤时,S(t)=　　　　;当<t≤时,S(t)=　　　　;当<t≤1时,S(t)=　　　　;所以S(t)=图象如下: 

问题2:分段函数如何定义?
分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的　　　　不同,这种函数称为分段函数.分段函数是　　　　函数,其定义域是各段自变量取值集合的　　　　,其值域是各段函数值集合的　　　　. 
问题3:函数图象一般有平移变换、对称变换与翻折变换三种形式,它们的变换规则是怎样的?
(1)平移变换
①将函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位可得函数　　　　的图象; 
②将函数y=f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位可得函数　　　　的图象; 
③将函数y=f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位可得函数　　　　的图象; 
④将函数y=f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位可得函数　　　　的图象. 
简记为“　　　　　　　　　　”. 
(2)对称变换
①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于　　　　对称; 
②函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于　　　　对称; 
③函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于　　　　对称. 
(3)翻折变换
①函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　; 
②函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

1.已知函数f(x)=4x2-3,x∈{-1,0,1},则它的值域为　　　　. 
2.下列函数中的f(x)与g(x)是相等函数的序号是　　　　. 
①f(x)=x,g(x)=()2 ;
②f(x)=x2,g(x)=;
③f(x)=1,g(x)=x0 ;
④f(x)=|x|,g(x)=
3.设函数f(x)=则f(-4)=　　　　,又知f(x0)=8,则x0=　　　　. 

4.作出函数y=2x2-4x-3(0≤x<3)的图象,并根据图象求出函数的值域.

分段函数的求值问题
已知函数f(x)=
(1)求f(1-),f(f(f(-2)))的值;
(2)求f(3x-1)的解析式;
(3)若f(a)=,求a的值.

求函数的值域
(1)求函数y=2x+1(x∈{1,2,3,4,5})的值域.
(2)求函数y=的值域.
(3)求函数y=的最大值.

分段函数的应用
某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案相应获得第二次优惠:
消费金额
(元)的范围
[200,400)
[400,500)
[500,700)
[700,900)
…
第二次优
惠金额(元)
30
60
100
150
…

　　根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如:购买标价为600元的商品,则消费金额为480元,480∈[400,500),所以获得第二次优惠金额为60元,获得的优惠总额为:600×0.2+60=180(元).设购买商品的优惠率=.
试问:(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率为多少?
(2)设顾客购买标价为x元(x∈[250,1000])的商品获得的优惠总额为y元,试建立y关于x的函数关系式.

设函数f(x)=若f(a)=4,则实数a=　　　　. 

求下列函数的值域.
(1)y=+3;
(2)y=.

某汽车以52 km/h的速度从A地运行到260 km远处的B地,在B地停留1.5 h后,再以65 km/h的速度返回A地,试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数.

1.已知函数f(x)=则f(f(-7))=　　　　. 
2.关于函数f(x)=:①f(x)在定义域内单调递减;②f(x)在x∈(-1,0)上有最大值为-1;③当x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)时,f(x)的值域为[-1,0)∪(0,1],其中说法正确的是　　　　. 
3.函数y=的定义域为　　　　. 
4.作出函数y=的图象,并求其值域.

(2012年·江西卷)设函数f(x)=则f(f(3))等于(　　).
A.　　　　　 B.3　　　　　 C.　　　　　 D.
　　考题变式(我来改编):

第3课时　分段函数与值域的求法

知识体系梳理
问题1:(1)　　　1
(2)30t　12t+3　20t-1
　　问题2:解析式　一个　并集　并集
　　问题3:(1)①y=f(x+a)　②y=f(x-a)　③y=f(x)+b　④y=f(x)-b　左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)
(2)①y轴　②x轴　③原点
(3)①保留y轴右边的图象,并复制右边部分翻折到y轴左边(去掉y轴左边部分)得到　②位于x轴下方的图象翻折到x轴的上方,并保留x轴上方的部分得到
基础学习交流
1.{1,-3}　因为f(-1)=1,f(0)=-3,f(1)=1,所以函数的值域为{1,-3}.
2.④　①②③选项中f(x)的定义域为R,而①选项中g(x)的定义域为[0,+∞),②③选项中g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).只有④选项相同.
3.18　-或4　由于-4<2,所以f(-4)=(-4)2+2=18.
若f(x0)=8,则+2=8(x0≤2)或2x0=8(x0>2),
分别解得x0=-或x0=4.

4.解:∵0≤x<3,∴这个函数的图象是抛物线y=2(x-1)2-5介于[0,3)之间的一段弧,如图所示.
由图象可以看出,函数在[0,3)上的值域为[-5,3).
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵1-=1-(+1)=-<-1,
∴f(1-)=f(-)=-2+3;
∵f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2,
∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+=.
(2)当3x-1>1,即x>时,f(3x-1)=1+=;
当-1≤3x-1≤1,即0≤x≤时,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;
当3x-1<-1,即x<0时,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.
综上,f(3x-1)=
(3)当a>1时,f(a)=1+=,∴a=2>1;
当-1≤a≤1时,f(a)=a2+1=,∴a=±∈[-1,1];
当a<-1时,f(a)=2a+3=,∴a=->-1(舍去).
综上,a=2或a=±.
【小结】求分段函数值的方法:先确定要求值的自变量属于哪个区间,然后代入该段的解析式求值;已知函数值求字母取值的步骤:(1)对字母的取值范围进行分类讨论;(2)代入到不同的解析式中;(3)通过解方程求出字母的值;(4)检验所求值是否在所讨论的区间内.
　　探究二:【解析】(1)将自变量x的值逐一代入,计算可得y∈{3,5,7,9,11}.
(2)因为y==≥1,
所以函数的值域为[1,+∞).
(3)画出函数f(x)的图象(如图):

由图象可知,当x=1时,f(x)取最大值,最大值为f(1)=4,故函数f(x)的最大值为4.
【小结】求分段函数的最值有两种方法:
①分别求出各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小值.(本题(3)也可用此法)
②画出分段函数的图象,观察图象的最高点与最低点,并分别求其纵坐标即得函数的最大、最小值.
　　探究三:【解析】(1)标价为1000元的商品消费金额为800元,获得奖券150元,优惠额为350元,所以优惠率为0.35.
(2)y=
【小结】(1)求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同区间写出相应函数的解析式,最后再合并.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)分段函数是实际问题中常用的一种函数模型.
思维拓展应用
应用一:-4或2　当a≤0时,由-a=4,得a=-4;
当a>0时,由a2=4,得a=2(a=-2舍去).
综上a=-4或2.
应用二:(1)∵≥0,∴+3≥3,
∴函数的值域为[3,+∞).
(2)∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴0<≤1.
∴0<y≤2,即函数的值域为(0,2].
应用三:因为260÷52=5(h),260÷65=4(h),
所以,当0≤t≤5时,s=52t;
当5<t≤6.5时,s=260;
当6.5<t≤10.5时,s=260+65(t-6.5)=65t-162.5.
所以s=
基础智能检测
1.100　∵f(-7)=10,∴f(f(-7))=f(10)=100.
2.③　①f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减,∴①不对;②f(x)在x∈(-1,0)时单调递减,而f(x)在x=-1时无定义,故无最大值,∴②不对;③显然正确.
3.(-∞,0)∪(0,+∞)　每段函数自变量的取值范围的并集是分段函数的定义域,即(-∞,0)∪(0,+∞).

4.解:当0<x<1时,y=的图象是双曲线的一部分.当x≥1时,图象为直线y=x的一部分.
如图所示,由此可知,函数的值域为[1,+∞).
全新视角拓展
D　f(3)=,f(f(3))=()2+1=.
思维导图构建
解析式