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函数定义域、值域求法总结

一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。
( 6 )中x
二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法 （4）配方法
（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法
（9）复合函数法 （10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
① ；② ；③

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.
②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，
而，即时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是{|}.
③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{|且}
另解：要使函数有意义，必须： Þ
例2 求下列函数的定义域：
① ②
③ ④
⑤

解：①要使函数有意义，必须： 即：
∴函数的定义域为： []
②要使函数有意义，必须：

∴定义域为：{ x|}
③要使函数有意义，必须： Þ
∴函数的定义域为：
④要使函数有意义，必须：
∴定义域为：
⑤要使函数有意义，必须：
即 x< 或 x> ∴定义域为：
2 定义域的逆向问题
例3 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题)
解：∵定义域是R,∴
∴

练习： 定义域是一切实数，则m的取值范围；

3 复合函数定义域的求法

例4 若函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域
解：要使函数有意义，必须：

∴函数的定义域为：
例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。
分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）
解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，
∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1

练习：设的定义域是[-3，]，求函数的定义域
解：要使函数有意义，必须： 得：
∵ ≥0 ∴
∴ 函数的定域义为：

例7 已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域
因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

练习：

1 已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。）
（提示：定义域是自变量x的取值范围）
2 已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

3 若的定义域是，则函数的定义域是 （　　）
Ａ． Ｂ Ｃ． Ｄ．
4 已知函数的定义域为Ａ，函数的定义域为Ｂ，则（　　）
Ａ． Ｂ．B Ｃ． Ｄ．

求值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.
例1 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1x1) ②
③ （记住图像）
解：①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②略
③ 当x>0，∴=，
当x<0时，=－
∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）
函数的图像为：

二次函数在区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
①； ②；
③； ④；
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4]，
当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当时，其最小值；
②当a<0时，则当时，其最大值;
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
再比较的大小决定函数的最大（小）值.
②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y=3+的值域
解：由算术平方根的性质，知≥0，故3+≥3。∴函数的值域为　　.
2、求函数 的值域
解： 对称轴

1 单调性法
例3 求函数y=4x－(x≤1/3)的值域。
设f(x)=4x,g(x)= －,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

2 换元法

例4 求函数 的值域
解：设，则

　 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
求的值域；
例5 （三角换元法）求函数的值域
解： 设

小结：（1）若题目中含有，则可设
（2）若题目中含有则可设，其中
（3）若题目中含有，则可设，其中
（4）若题目中含有，则可设，其中
（5）若题目中含有，则可设其中

3 平方法

例5 （选）求函数 的值域
解：函数定义域为：

4 分离常数法
例6 求函数 的值域
由 ，可得值域
小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。
练习
求函数 的值域
求函数 的值域
0
1

求函数 y=的值域；（y∈(-1，1)）

-1
0
1
3
4
-4
x
y
例7 求 的值域
解法一：（图象法）可化为 如图，
观察得值域

解法二：（不等式法） 同样可得值域
练习：的值域

例8 求函数 的值域
解：（换元法）设 ，则 原函数可化为

例9求函数 的值域
解：（换元法）令，则
1
0
x
y
由指数函数的单调性知，原函数的值域为
例10 求函数 的值域
解：（图象法）如图，值域为
（换元法）设 ，
则

例13 函数 的值域
解法一：（逆求法）

2
解法二：（换元法）设 ，则

解法三：（判别式法）原函数可化为
1） 时 不成立
2） 时，

综合1）、2）值域
解法四：（三角换元法）设，则

原函数的值域为
1

0
例14 求函数的值域
5
解法一：（判别式法）化为
1）时，不成立
2）时，得

综合1）、2）值域
解法二：（复合函数法）令，则

所以，值域
例15 函数的值域
解法一：（判别式法）原式可化为

解法二：（不等式法）1）当时，
2） 时，
综合1）2）知，原函数值域为
例16 (选) 求函数的值域
解法一：（判别式法）原式可化为

解法二：（不等式法）原函数可化为
当且仅当时取等号，故值域为
例17 （选） 求函数的值域
解：（换元法）令 ，则原函数可化为。。。
小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
（选）的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。
练习：
1 、；
解：∵x0，，∴y11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：(或利用对勾函数图像法)
2 、
0<y5.
3 、求函数的值域
①； ②
解：①令0,则,
原式可化为,
∵u0，∴y，∴函数的值域是（-，].
②解：令 t=4x-0 得 0x4
在此区间内 (4x-)=4 ，(4x-) =0
∴函数的值域是{ y| 0y2}
4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]. 如图

5、求函数的值域
解：设 则 t0 x=1-
代入得
∵t0 ∴y4
6、（选）求函数的值域
方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y¹1时 ∵xÎR ∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0
由此得 (5y+1)0
检验 （有一个根时需验证）时 （代入①求根）
∵2 Ï 定义域 { x| x¹2且 x¹3} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y¹1
综上所述，函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}
方法二：把已知函数化为函数 (x¹2)
由此可得 y¹1，∵ x=2时即 ∴函数的值域为 { y| y¹1且 y¹}

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