高中数学函数定义域、值域求法总结.doc

函数定义域、值域求法总结一、求函数得定义域需要从这几个方面入手： (1）分母不为零（2）偶次根式得被开方数非负。(3)对数中得真数部分大于0。 (4)指数、对数得底数大于0,且不等于1(5)y=tx中xk+2；=ox中x等等。（ 6 ）中x二、值域就是函数yf（）中得取值范围。 常用得求值域得方法: （）直接法 (）图象法(数形结合） （3)函数单调性法 （4)配方法 （5）换元法 (包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） (7）分离常数法 (）判别式法 （9）复合函数法 (10)不等式法 (11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。定义域得求法1、直接定义域问题例1 求下列函数得定义域：； ；解：x-2=0，即x=时，分式无意义,而时，分式有意义,这个函数得定义域就是、3x20,即x-时,根式无意义，而,即时，根式才有意义,这个函数得定义域就是|、当，即且时，根式与分式 同时有意义，这个函数得定义域就是且另解:要使函数有意义，必须: 例2 求下列函数得定义域: 解：要使函数有意义，必须： 即： 函数得定义域为: 要使函数有意义,必须： 定义域为: x要使函数有意义，必须: 函数得定义域为:要使函数有意义,必须： 定义域为: 要使函数有意义,必须: 即x 定义域为:2定义域得逆向问题例3 若函数得定义域就是R,求实数 得取值范围 （定义域得逆向问题)解:定义域就是R，练习：定义域就是一切实数，则得取值范围； 复合函数定义域得求法例4 若函数得定义域为-1,求函数得定义域解：要使函数有意义,必须:函数得定义域为:例5 已知f(x）得定义域为1,1，求f（2x-1)得定义域。分析：法则f要求自变量在，1内取值,则法则作用在2x-1上必也要求21在 1,内取值，即2x-1，解出x得取值范围就就是复合函数得定义域；或者从位置上思考f(2x）中1与（）中得x位置相同,范围也应一样,2x，解出得取值范围就就是复合函数得定义域.（注意:f（x）中得x与f（x1）中得x不就是同一个x，即它们意义不同.）解：（x）得定义域为1,1，1211，解之01，f(）得定义域为，1。例已知已知f（）得定义域为，1，求（x2）得定义域。答案：1x21 x211x1练习:设得定义域就是-3,求函数得定义域解:要使函数有意义，必须： 得: 0 函数得定域义为:例7 已知（2)得定义域为0,，求（x)得定义域因为2x-就是R上得单调递增函数，因此由2x1， x0,1求得得值域1,就是f（x）得定义域。练习：1已知f(3x-1)得定义域为1,2）,求f（2x+1）得定义域。） (提示：定义域就是自变量x得取值范围）2已知(2）得定义域为,，求f（x)得定义域3 若得定义域就是,则函数得定义域就是 (）。C.。4 已知函数得定义域为A，函数得定义域为，则( ）.B. 求值域问题利用常见函数得值域来求(直接法)一次函数y=a+b(0）得定义域为R,值域为R;反比例函数得定义域为x|0,值域为yy0;二次函数得定义域为，当a0时,值域为;当0时，值域为、例1 求下列函数得值域y3x+(-1x1) (记住图像） 解：-1x，33x3,13x25，即1y5，值域就是-1,5略 当x，=，当0时，则当时，其最小值； 当0时，则当时，其最大值；若定义域为 a，b，则应首先判定其顶点横坐标x0就是否属于区间，b、 若a,，则就是函数得最小值（a0)时或最大值(0）时， 再比较得大小决定函数得最大（小）值、 若,b，则a，b就是在得单调区间内,只需比较得大小即可决定函数得最大（小）值、注:若给定区间不就是闭区间，则可能得不到最大(小）值；当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点得位置关系进行讨论、练习：、求函数+得值域 解：由算术平方根得性质，知0，故33。函数得值域为 、 、求函数 得值域 解: 对称轴 单调性法例 求函数y=4x（x/3）得值域。设f（x)=x,g（x） ,(x/）,易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x）+(x）=4在定义域为x/3上也为增函数,而且yf（1/3)+g（/3）=4/,因此,所求得函数值域为yy3。小结：利用单调性求函数得值域,就是在函数给定得区间上，或求出函数隐含得区间，结合函数得增减性,求出其函数在区间端点得函数值，进而可确定函数得值域。练习:求函数y=3+得值域.（答案：yy3）2 换元法例4 求函数 得值域解:设,则 点评：将无理函数或二次型得函数转化为二次函数,通过求出二次函数得最值，从而确定出原函数得值域.这种解题得方法体现换元、化归得思想方法.它得应用十分广泛。练习:求函数y=得值域。（答案：|y-3/ 求得值域；例5 （三角换元法）求函数得值域解： 设 小结：（1）若题目中含有，则可设 （2)若题目中含有则可设,其中（3）若题目中含有，则可设，其中(4)若题目中含有，则可设,其中 (5）若题目中含有，则可设其中3 平方法例 (选）求函数 得值域解：函数定义域为: 4 分离常数法 例 求函数 得值域由 ，可得值域小结:已知分式函数，如果在其自然定义域(代数式自身对变量得要求）内,值域为;如果就是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。练习求函数 得值域 求函数 得值域01 求函数=得值域；(（，1)）-10134-4xy例 求 得值域解法一：（图象法)可化为 如图， 观察得值域解法二:（不等式法)同样可得值域练习:得值域 例8 求函数 得值域解:（换元法)设 ，则 原函数可化为 例求函数得值域 解：(换元法）令,则10xy 由指数函数得单调性知,原函数得值域为 例10 求函数 得值域解：（图象法）如图，值域为 （换元法）设 ，则 例13 函数 得值域解法一:（逆求法) 2解法二：(换元法）设，则 解法三：（判别式法）原函数可化为 1） 时不成立2） 时，综合1)、2)值域解法四：（三角换元法)设,则 原函数得值域为10例4 求函数得值域5解法一：(判别式法）化为)时,不成立2)时,得综合1)、2)值域解法二:(复合函数法）令,则 所以，值域例1 函数得值域解法一:（判别式法)原式可化为 解法二：(不等式法)）当时，2） 时,综合)2)知，原函数值域为例1 （选) 求函数得值域解法一:（判别式法）原式可化为 解法二：（不等式法）原函数可化为 当且仅当时取等号,故值域为例7 (选）求函数得值域解：（换元法)令 ，则原函数可化为。.小结:已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果就是条件定义域，用判别式法求出得值域要注意取舍，或者可以化为(选）得形式,采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数得最大最小值;如果不满足用基本不等式得条件，转化为利用函数得单调性去解。 练习：1 、；解：x0，,y11、另外,此题利用基本不等式解更简捷：（或利用对勾函数图像法）2 、y5、3 、求函数得值域; 解：令0，则，原式可化为,u，y，函数得值域就是(,、解:令t4x-0 得0在此区间内 (4x-)=4 ，（4x-） =函数得值域就是 | 0y24、求函数|x+1|+x2得值域、 解法1：将函数化为分段函数形式:，画出它得图象（下图），由图象可知，函数得值域就是yy3、解法2:函数y=x+1|-2表示数轴上得动点x到两定点-1，2得距离之与,易见得最小值就是,函数得值域就是3，、 如图 5、求函数得值域解：设 则 t0 =1-代入得 0 y46、（选)求函数得值域方法一：去分母得 （y-1)+（y+5）x-6y-6= 当y1时 R =(y+）+4（-1)6(+）0由此得(5y+1）检验 （有一个根时需验证）时(代入求根）2 定义域 x x2且 x3 再检验y1代入求得 x y1综上所述,函数得值域为 | y且 y方法二:把已知函数化为函数 (x）由此可得 y, x=时即 函数得值域为 y1且