高中数学函数定义域、值域求法总结.doc

　 　 函数定义域、值域求法总结
一、求函数得定义域需要从这几个方面入手：
(1）分母不为零　
（2）偶次根式得被开方数非负。
(3)对数中得真数部分大于0。
(4)指数、对数得底数大于0,且不等于1　
(5)y=tａｎx中x≠kπ+π／2；ｙ=ｃoｔx中x≠ｋπ等等。
　（ 6 ）中x
二、值域就是函数y＝f（ｘ）中ｙ得取值范围。
常用得求值域得方法: （１）直接法 　 　 　 　 　 (２）图象法(数形结合） 　
　 　 　 　 　 （3)函数单调性法　　　 （4)配方法 　 　
　 　 　 　　 　 　 　 （5）换元法 (包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
　　 　　　 　 　 (7）分离常数法 　 　 　(８）判别式法 　　 　
　 　 　 　　 （9）复合函数法　 　 　　 (10)不等式法
　　 　 　 　 　　　　(11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。
定义域得求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数得定义域：
①　；② ；③　
解：①∵x-2=0，即x=２时，分式无意义,
而时，分式有意义,∴这个函数得定义域就是、
②∵3x＋2〈0,即x〈-时,根式无意义，
而,即时，根式才有意义,
∴这个函数得定义域就是｛|｝、
③∵当，即且时，根式与分式 同时有意义，
∴这个函数得定义域就是{｜且｝
另解:要使函数有意义，必须: Þ　
例2 求下列函数得定义域:
① 　　 　 　　 　②
③ 　 　 　　　 　④
⑤
解：①要使函数有意义，必须： 即：
∴函数得定义域为: []
②要使函数有意义,必须：

　 ∴定义域为:｛ x｜}
③要使函数有意义，必须: 　　Þ 　
∴函数得定义域为:
④要使函数有意义,必须： 　 　 　　
∴定义域为:　
⑤要使函数有意义,必须: 　 　
即　x< 或 x> ∴定义域为:
2　　定义域得逆向问题
例3 　若函数得定义域就是R,求实数ａ 得取值范围 （定义域得逆向问题)
解:∵定义域就是R，∴
∴
练习：　定义域就是一切实数，则ｍ得取值范围；
３ 复合函数定义域得求法
例4 若函数得定义域为［-1,１],求函数得定义域
解：要使函数有意义,必须:

∴函数得定义域为:
例5 已知f(x）得定义域为［—1,1]，求f（2x-1)得定义域。
分析：法则f要求自变量在［－１，1］内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2ｘ—1在 [—1,１]内取值，即－１≤2x-１≤1，解出x得取值范围就就是复合函数得定义域；或者从位置上思考f(2x－１）中２ｘ－1与ｆ（ｘ）中得x位置相同,范围也应一样,∴－１≤2x—１≤１，解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域.
（注意:f（x）中得x与f（２x—1）中得x不就是同一个x，即它们意义不同.）
解：∵ｆ（x）得定义域为［－1,1]，
∴—1≤2ｘ—1≤1，解之0≤ｘ≤1，
∴f(２ｘ－１）得定义域为［０，1]。
例６已知已知f（ｘ）得定义域为［－１，1]，求ｆ（x2）得定义域。
答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1
练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域
解:要使函数有意义，必须： 　得:
　∵ ≥0 　∴ 　 　
　∴　函数得定域义为:
例7 已知ｆ（2ｘ－１)得定义域为［0,１]，求ｆ（x)得定义域
因为2x-１就是R上得单调递增函数，因此由2x—1， x∈[0,1]求得得值域[－1,１］就是f（x）得定义域。
练习：
1　已知f(3x-1)得定义域为［－1,2）,求f（2x+1）得定义域。）
　　 　 　 　 　 　 (提示：定义域就是自变量x得取值范围）
2　已知ｆ(ｘ2）得定义域为［－１,１]，求f（x)得定义域
3 若得定义域就是,则函数得定义域就是 (　　）
Ａ。ﻩﻩＢﻩﻩﻩC. ﻩ Ｄ。
4 已知函数得定义域为A，函数得定义域为Ｂ，则( 　）
Ａ.ﻩＢ.BﻩＣ.ﻩﻩﻩＤ．
　　　　 　 　　 求值域问题
利用常见函数得值域来求(直接法)
一次函数y=aｘ+b(ａ0）得定义域为R,值域为R;
反比例函数得定义域为{x|ｘ0},值域为{y｜y0｝;
二次函数得定义域为Ｒ，
当a>0时,值域为{};当ａ〈0时，值域为｛｝、
例1 　　求下列函数得值域
①　y＝3x+２(-1x1) 　 ②　
③ (记住图像）　 　　
解：①∵-1x１，∴—33x3,
∴—13x＋25，即－1y5，∴值域就是［-1,5］
②略
③ 当x〉０，∴=，
当ｘ<０时，=—
∴值域就是［２,+）、（此法也称为配方法）
函数得图像为:
二次函数在区间上得值域（最值):
例2 求下列函数得最大值、最小值与值域:
①; 　 　 ②;
③；　 ④;　
解：∵,∴顶点为（2，-3），顶点横坐标为2、　
①∵抛物线得开口向上，函数得定义域R，
∴x=2时，yｍin＝—３ ，无最大值；函数得值域就是{y｜y—3 }、
②∵顶点横坐标2[3,４],
当x＝３时，y＝ —２；ｘ=４时，ｙ=1;
∴在［３，４］上，=-2，=1；值域为［－2,１]、
③∵顶点横坐标2　［0，1],当ｘ=0时，y=1;ｘ=1时，y＝—2，
∴在［0，1］上，=—2,=1;值域为[－2，1］、
④∵顶点横坐标２ [0，5］,当ｘ＝0时，y＝1；x＝２时,y=—3，　x=5时,y=6,
∴在[０，１]上，＝－3，=6；值域为［－3，６］、
注：对于二次函数，
⑴若定义域为R时，
　　 ①当a>0时，则当时，其最小值；
　 ②当ａ＜0时，则当时，其最大值；
⑵若定义域为ｘ ［a，b]，则应首先判定其顶点横坐标x0就是否属于区间[ａ，b]、
　 ①若［a,ｂ］，则就是函数得最小值（a>0)时或最大值(ａ＜0）时，
　 　再比较得大小决定函数得最大（小）值、
　 　②若［ａ,b］，则[a，b］就是在得单调区间内,只需比较得大小即可决定函数得最大（小）值、
注:①若给定区间不就是闭区间，则可能得不到最大(小）值；
②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点得位置关系进行讨论、
练习：１、求函数ｙ＝３+得值域
　 解：由算术平方根得性质，知≥0，故3＋≥3。∴函数得值域为 　、
２、求函数 得值域
　解: 对称轴 　
１　单调性法
例３ 　求函数y=4x—（x≤１/3）得值域。
设f（x)=４x,g（x）＝ —,(x≤１/３）,易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x）+ｇ(x）=4ｘ—
在定义域为x≤１/3上也为增函数,而且y≤f（1/3)+g（１/3）=4/３,因此,所求得函数值域为｛y｜y≤４／3｝。
小结：利用单调性求函数得值域,就是在函数给定得区间上，或求出函数隐含得区间，结合函数得增减性,求出其函数在区间端点得函数值，进而可确定函数得值域。
练习:求函数y=3+得值域.（答案：{y｜y≥3}）
2 换元法
例4　 求函数 得值域　
解:设,则

　 点评：将无理函数或二次型得函数转化为二次函数,通过求出二次函数得最值，从而确定出原函数得值域.这种解题得方法体现换元、化归得思想方法.它得应用十分广泛。
练习:求函数y=得值域。（答案：｛ｙ|y≤-3/４}
　　 　　求得值域；
例5 （三角换元法）求函数得值域
解： 　　 设

小结：（1）若题目中含有，则可设
（2)若题目中含有则可设,其中
（3）若题目中含有，则可设，其中
(4)若题目中含有，则可设,其中
　 (5）若题目中含有，则可设其中
3 平方法
例５　　 (选）求函数 得值域
解：函数定义域为:

4 分离常数法
例６ 求函数 得值域
由 ，可得值域
小结:已知分式函数，如果在其自然定义域(代数式自身对变量得要求）内,值域为;如果就是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。
练习
求函数 得值域
求函数 得值域
0
1

　 求函数　ｙ=得值域；(ｙ∈（—１，1)）
-1
0
1
3
4
-4
x
y
例７　 求 得值域
解法一：（图象法)可化为 　 如图，
观察得值域
解法二:（不等式法)　　　同样可得值域
练习:得值域 　
例8 求函数 得值域
解:（换元法)设 ，则　 原函数可化为

例９求函数　得值域
解：(换元法）令,则
1
0
x
y
由指数函数得单调性知,原函数得值域为
例10 求函数　 得值域
解：（图象法）如图，值域为
（换元法）设 ，
则

例13 函数 得值域
解法一:（逆求法)

2
解法二：(换元法）设　，则

解法三：（判别式法）原函数可化为　
1） 时　不成立
2） 时，

综合1)、2)值域
解法四：（三角换元法)设,则

　 　 　原函数得值域为
1

0
例１4 求函数得值域
5
解法一：(判别式法）化为
１)时,不成立
2)时,得

综合1)、2)值域
解法二:(复合函数法）令,则

　 　 　 所以，值域
例1５　 函数得值域
解法一:（判别式法)原式可化为

解法二：(不等式法)１）当时，
2） 时,
综合１)2)知，原函数值域为
例1６ （选) 求函数得值域
解法一:（判别式法）原式可化为　

解法二：（不等式法）原函数可化为
当且仅当时取等号,故值域为
例１7 (选）　求函数得值域
解：（换元法)令 ，则原函数可化为。。.
小结:已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果就是条件定义域，用判别式法求出得值域要注意取舍，或者可以化为
(选）得形式,采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数得最大最小值;如果不满足用基本不等式得条件，转化为利用函数得单调性去解。
练习：
1 、；
解：∵x0，,∴y11、
另外,此题利用基本不等式解更简捷：（或利用对勾函数图像法）
2 、
０<y5、
3 、求函数得值域
①; ②
解：①令0，则，
原式可化为,
∵u０，∴y，∴函数得值域就是(－,］、
②解:令　t＝4x-0 得　0ｘ４　
在此区间内 (4x-)=4 ，（4x-） =０
∴函数得值域就是{ ｙ| 0y2}
4、求函数ｙ＝|x+1|+｜x－2｜得值域、
解法1：将函数化为分段函数形式:，画出它得图象（下图），由图象可知，函数得值域就是{y｜y3}、
解法2:∵函数y=｜x+1|＋|ｘ-2｜表示数轴上得动点x到两定点-1，2得距离之与,∴易见ｙ得最小值就是３,∴函数得值域就是［3，＋］、 如图

5、求函数得值域
解：设 则 t0 ｘ=1-
代入得
　 　 ∵ｔ0 　　　∴y4
6、（选)求函数得值域
方法一：去分母得 （y-1)+（y+5）x-6y-6=０　 ①
当　y¹1时 ∵ｘÎR　 ∴△=(y+５）+4（ｙ-1)×6(ｙ+１）0
由此得　(5y+1）０
检验　 （有一个根时需验证）时　　(代入①求根）
∵2　Ï 定义域 ｛ x｜ x¹2且 x¹3} 　 　∴
再检验　y＝1　代入①求得 x＝２ 　∴y¹1
综上所述,函数得值域为 ｛ ｙ| y¹１且 y¹｝
方法二:把已知函数化为函数 (x¹２）
　由此可得 y¹１,∵ x=２时即 ∴函数得值域为　｛　ｙ｜ y¹1且　ｙ¹}