函数定义域及求法讲解.doc

函数 一、 函数的定义域及求法 1、 分式的分母0；偶次方根的被开方数0； 2、 对数函数的真数0；对数函数的底数0且1； 3、 正切函数：x k + /2 ,kZ；余切函数：x k ,kZ ； 4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R； 5、 定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法； 6、 复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论例题：1、 求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围解析：利用复合函数的定义域进行分类讨论 当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3， 原函数的定义域为R； 当m0时，则 mx2-4mx+m+30， m0时，显然原函数定义域不为R； m0，且(-4m)2-4m(m+3)1或y-1 5、利用零点讨论法 由题意可知函数有3个零点-3，1，2， 当x9 当-3x1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 5y9 当1x2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 5y6 当x 2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x y6 综合前面四种情况可得，原函数的值域是5,+) 6、利用函数的有界性三、 函数的单调性及应用1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，2、 单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x) 为减函数例题：2、设a0且a1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间解析：利用复合函数的单调性的判定 由题意可得原函数的定义域是（，）， 设u=4+3x-x2 ，其对称轴是 x=3/2 ， 所以函数u=4+3x-x2 ，在区间（，3/2 上单调递增；在区间3/2 ，4）上单调递减 a时，y=logau 在其定义域内为增函数，由 xuy ，得函数u=4+3x-x2 的单调递增区间（，3/2 ，即为函数y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间 a时，y=logau 在其定义域内为减函数，由 xuy ，得函数u=4+3x-x2 的单调递减区间3/2 ，4），即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间3、已知y=loga(2-ax) 在0，1上是x 的减函数，求a的取值范围。解析：利用复合函数的单调性的判定 由题意可知，a设ug(x)=2ax，则g(x)在，上是减函数，且x=时，g(x)有最小值umin=2-a 又因为ug(x)2ax，所以， 只要 umin=2-a则可，得a又y=loga(2-ax) 在0，1上是x 减函数，ug(x)在，上是减函数，即xuy ，所以y=logau是增函数，故a综上所述，得a2、已知f(x)的定义域为（，），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)3 解析：此题的关键是求函数值所对应的自变量的值 由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(42)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)f(8) 所以原不等式的解集为x|2x4四、函数的奇偶性及应用1、 函数f(x)的定义域为D，xD ，f(-x)=f(x) f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)是奇函数 2、 奇偶性的判定：作和差f(-x) f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= 1,f(x)0 判定3、 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、 函数的图象关于原点对称 奇函数； 函数的图象关y轴对称 偶函数5、 函数既为奇函数又为偶函数 f(x)=0,且定义域关于原点对称;6、 复合函数的奇偶性：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇例题：解析：利用作和差判断由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数， 即，f(x) = -f(x) ，原函数是奇函数利用作商法判断 由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，（）f(x) 的图象关于直线x=1对称， f1-(1-x)f1+(1-x) ，xR ，即f(x) f(2-x) ， 又 f(x)在R上为偶函数， f(-x)f(x)f(2-x)f(2+x) f(x)是周期的函数，且2是它的一个周期五、 函数的周期性及应用1、设函数y=f(x)的定义域为D，xD,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x) f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；2、 正弦、余弦函数的最小正周期为2，函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期是T = 2/| ；3、 正切、余切函数的最小正周期为，函数y=Atan(x+)和y=Acot(x+)的周期是T=/| ； 4、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法； 5、 一般地，sinx 和cosx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanx 和cotx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是/2 ，y=|cotx|的周期是例题：1、 求函数 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期解析：利用周期函数的定义 y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x + /2)|+|sin(x + /2)| 即对于定义域内的每一个x，当x增加到(x + /2)时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是/2 3、 求函数y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期解析：最小公倍数法和公式法， （设f(x)、g(x) 是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1T2，则f(x) g(x) 的最小正周期等于T1、T2的最小公倍数）（注：分数的最小公倍数 = 分子的最小公倍数/分母的最大公约数）由题意可知，sin3x的周期是T1= 2/3，tan(2x/5)的周期是T2=5/2，原函数的周期是T=10/1 =10 4、 求函数y=|tanx|的最小正周期解析：利用函数的图象求函数的周期 函数y=|tanx|的简图如图：由函数y=|tanx|的简图可知， 其最小正周期是5、设f(x)是（-，+）上周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)=x,求f(7.5) 解析：利用周期函数的定义由题意可知，f(2+x) = f(x) f(7.5) f(8-0.5) f(-0.5) f(0.5) .13 / 13