高考数学考前最后一讲.doc

常青藤实验中学2015届高三数学最后一讲
一、整卷要求：
1. 合理安排答题时间和答题顺序，建议考前5分钟可看填空题1-8题和立体几何题，如果立体几何题有思路，考试一开始可先把该题做好，踏实之感油然而生。
2. 考试中，平常心很重要。遇到不会做的题目，不要慌。要有强有力的心理暗示：我不会的，别人也不会；我会的，别人也不会。我是最强的！！！！！
3. 最后一次建议各位：简单题和中档题一定要舍得花时间，一定要做好！
回顾：填空题（1-12）、解答题（15、16、17、18、19（1）（2）、20（1）（2））
附加题21（B）、21（C）、22、23（1）共140+34=174分）
最后的区分可能往往是由中档题来完成的！
二、填空题的要求
比如：
（1） 集合运算（交集、并集、补集）
注：交集还是并集；集合的元素；
集合, ,
的意义（2011年）；
（2）复数运算（复数的四则运算、复数的模、复数的共轭复数、复数的实部和虚部）；
（3）简易逻辑
① 充要关系的判断；A的充要条件是B，A是B的充要条件；
② 简单命题的四种命题形式；
③ 含有一个量词的命题的否定.
（4）古典概型
注：一定要老老实实的枚举事件，该题要格外重视，切忌谨慎使用组合数公式，是容易题中的分水岭。
例：田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a、b、c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A、a、B、b、C、c．两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜．如果双方均不知道对方的出马顺序，则田忌获胜的概率为 ．
（5）流程图
注：看清楚输出的是什么？在草稿纸上一步步的将循环过程列举出来。
（6）频率分布直方图和统计（直方图、方差、平均数、茎叶图）
注：① 茎叶图要看懂！
下面茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个
数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_____． 4/5

② 频率分布直方图的纵坐标表示：频率/组距，每个小矩形的面积表示该组的频率，各个矩形的面积之和为1。
③ 抽样方法（系统抽样、分层抽样、简单随机抽样）。
（7）双曲线（抛物线）的方程和几何性质
① 双曲线的标准方程，准线方程，渐近线方程，离心率计算；
② 等轴双曲线；
③ 抛物线的标准方程及焦点、准线方程。
（8）立体几何
① 简单的空间几何体的表面积、侧面积和体积计算，审题要准!
例如：圆锥的表面积；正四面体的侧面积；圆柱的表面积；圆锥的体积；
② 简单的线面关系的判断（空间构图能力，空间想象能力）
多想、多用模型（纸、桌子、笔演示）
（9）三角函数的图象和性质
求最小正周期；求解析式中的；（求值要注意什么
（10）三角计算（两角和与差的正弦、余弦和正切）
①（JS2012）设为锐角，若，则的值为 ________
解答如下：令，则，由，可知
则问题可简化为已知，若，求的值。
，，，，则

②（喜迎高考）喜迎高考午练2的应用题（最佳视角问题）
③ 解三角形（正弦定理、余弦定理，边角互化）
（11）函数的基本性质
① 函数的奇偶性(本质是……)
若函数是R上的奇函数，则有……;
若函数是R上的偶函数，则有…….
② 周期函数的解析式
比如：（1989年全国高考题）设f（x）是定义在区间（－∞，＋∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I表示区间（2k－1，2k＋1］，已知当x∈I时，f（x）＝x．求f（x）在I上的解析表达式；
当x∈I时，f（x）＝（x－2k）．
③ 指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
注：分类讨论；看清是指数函数还是幂函数
已知幂函数过点，则其解析式为__________.
④ 函数的定义域和值域
注：函数的定义域为_________;
函数（）的值域为__________；
函数的值域为__________;
（12）线性规划
注：，；；的几何意义？
（13）导数的几何意义与切线方程
① 求曲线在一点处的切线方程；
② 公切线问题怎么处理？（今年的热点问题）
（14）平面向量的数量积
① 平面向量基本定理（模拟题7）；
② 数量积运算方法（坐标法、基底法）；
③ 不等式，

（15）直线与圆
① 求弦长、圆心到直线的距离
问题1：已知圆与直线相交于，两
点，若，则实数 ___ ．
可变更为：若的面积最大，和条件是等价的:
问题2：点的存在性问题
② 圆与圆的位置关系
若圆与圆相交，则实数m的取值范围为 ．（1，11）
③ 轨迹问题
圆的轨迹问题：
（16）一元二次不等式
① 普通的一元二次不等式，利用二次函数的图象解决；
注：的解集为_________.
② 含参的一元二次不等式，需要分类讨论；
注1：解集如何表示？
注2：，讨论函数在上的单调性；
③ 对二次函数图象的分析
注1：函数f(x)的值域为，二次函数具有什么性质？
注2：已知f(x)为二次函数，不等式的解集为，二次函数的性质何为？
（17）函数的零点
① 判断零点的个数；
例1： 函数的零点个数为________.
例2：若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为 ________.
例3：已知函数 若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
例4：若函数，则函数在（0，1）上不同的零
点个数为________．3
考虑函数与的图象交
点的个数

而函数，由图象易见结 果为3．

另外，也可按如下步骤做出的图象：先作的图象，再作的图象

附：已知函数，其导函数记为（为自然对数的底数）．
（1）求函数的极大值；
（2）解方程；
解：．若，显然满足上式．
若，方程等价于，
故，显然当时，，
令，， 恒成立，
故在上单调递增，
而，故当时原方程有唯一根．
综上：原方程的解为或．
② 判断零点所在的区间；
在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数的零点，则k= ．0
（18）导数运算（最值）、导数研究函数的性质
1． 注：研究函数的趋势（极限），，函数（x≤1）的值域为 ．
（19）基本不等式
注1：一正二定三相等的使用条件.
注2：注意使用基本不等式的“拆凑”
例1：已知正实数x，y，z满足，则的最小值为____．
例2：设，则的最小值为 ．4
（20）椭圆的标准方程与性质
熟悉基本运算，求离心率（找齐次式），椭圆第一定义、第二定义的转化思想.
例：已知点P为椭圆上的动点，F1为椭圆的左焦点，定点M（6，4），则PM+PF1的最大值为 ． 15
（21）等差等比数列的通项求和及综合应用
熟悉基本运算（通项公式、求和、简单性质）
5. 解答题的要求
（1）三角函数与性质、三角计算（见填空题指导）
（2）平面向量（纯向量问题）

（3）立体几何（两证；两证一算；关注性质定理的应用）
（4）应用题
① 几何背景的应用题
题1：如图，、是通过某城市开发区中心的两条南北和东西走向的街道，连接、两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧．若点在点正北方向，且，点到、的距离分别为和．
（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（2）若该城市的某中学拟在点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点的距离大于，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点的最近距离（注：校址视为一个点）.
解：（1）分别以、为轴，轴建立如图坐标系．据题意得，

线段的垂直平分线方程为：），
故圆心A的坐标为（4，0）， ，
∴弧的方程：（0≤x≤4，y≥3）……8分
（2）设校址选在B（a，0）（a＞4），
整理得：，对0≤x≤4恒成立（﹡）
令∵a＞4 ∴ ∴在[0，4]上为减函数
∴要使（﹡）恒成立，当且仅当 ，
即校址选在距最近5km的地方．……………14分

题2：如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =．
（1）求居民区A与C的距离；
（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．
（第18题）
① 求w关于θ的函数表达式；
② 求w的最小值及此时的值．

解：（1）以点O为坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则A（10，0），B（20，0），C（-5，5）．
∴．… 3分
答：集中居住区A与C的距离为．

（2） ① 当直线l的斜率存在时，
设直线l 的方程为y = kx，，
则
． ………… 7分
当直线l的斜率不存在时，
．
总之， ………… 9分
② 当直线l的斜率不存在时，w = 525m．
当直线l的斜率存在时，
，设，
当t = 0时，w = 525m．
当t ¹ 0时，． ……… 11分
∵≤-2，或≥2，
∴w的最小值为=（275 - 25）m．
此时，t = -，= k = 10 -．
答：w的最小值为（275 - 25）m，此时= 10 -．

② 立体几何为载体的几何应用题（模拟3的18题）
题1：有一气球以v(m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为；再过10分钟后，测得气球在P的东偏北方向T处，其仰角为(如图，其中Q、R分别为气球在S、T处时的正投影)．求风向和风速(风速用v表示)．
解： 10分钟后由观察点P测得气球在P的正东方向S处，仰角为的S点处，即∠SPQ＝，所以PQ＝QS＝600v(m)．又10分钟后测得气球在P的东偏北方向，其仰角为的T点处，即∠RPQ＝，∠TPR＝，RT＝2QS＝1200v(m)，于是PR＝＝(m)．
在△PQR中由余弦定理，得QR＝＝(m)．
因为＝＝＋＝＋．所以∠PQR＝，即风向为正南风．
因为气球从S点到T点经历10分钟，即600s，所以风速为＝(m/s)．

题2：某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．
（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的．
【解】（I）设容器的容积为V，
由题意知故
由于，因此所以建造费用
因此
（2）由（1）得
由于当
令，所以
（1）当时，易得是函数y的极小值点，也是最小值点
（2）当即时，当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时

③ 函数应用题
某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足 f(n)
＝，其中t＝2，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．
（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；
（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．
解：（1）由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A．
所以解得a＝1，b＝8． ………4分
所以f(n)＝，其中t＝2．
令f(n)＝8A，得＝8A，解得tn＝，
即2＝，所以n＝9．
所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．……6分
（2）由（1）知f(n)＝．
第n年的增长高度为△＝f(n)－f(n－1)＝－．
所以△＝＝
＝ ……………12分
≤＝＝．
当且仅当64tn＝，即2＝时取等号，此时n＝5．
所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ……14分

题2：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形（），弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T等于横截面的面积与边的乘积，设（，），．
（1）写出关于函数表达式；
（2）求当取何值时，凹槽的强度T最大．

图1
图2
A
B
C
D
m

【解】（1）由题意：，
解得：，．
（2）因为，，
所以．
令，解得：（舍）或．
因为，
所以，①若，当时，，在上递增；故当时，取最大值；
②若，当时，，在上递增；当时，，在上递减．
故当时，取最大值．
答：若，则当时，取最大值；
若，则当时，取最大值．
④ 以三角函数为载体的应用题
题1：如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a (0＜a＜)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
① ∠A′FE＝a；
② 对任意a (0＜a＜)，△EAL，△EA′F，△GBF，
△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．
（1）设A′E＝x，将x表示为a的函数；
（2）试确定a，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．
【解】（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝a，A′E＝x，
所以EF＝，A′F＝ ．
由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝，
所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋＋＝3．
所以x＝，aÎ(0，)
（2）S△A′EF＝•A′E•A′F＝•x•＝＝()2•＝．
令t＝sina＋cosa，则sinacosa＝．
因为aÎ(0，)，所以a＋Î(，)，所以t＝sin(a＋)Î(1，]．
S△A′EF＝＝(1－)≤(1－)．
正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积
S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9 (1－)＝18(－1)．
当t＝，即a＝时等号成立．

（5）解三角形应用题
题1：如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．
（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；
（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．
（3）求10点时甲、乙两车的距离．
（参考数据：，，，）
解：（1）在△ABC中，∠ACB＝60°．∵，
∴，
．
（2）甲车从车站A开到车站C约用时间为（小时）＝60（分钟），即9点到C站，至9点零10分开出．乙车从车站B开到车站C约用时间为（小时）＝66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上．
（3）10点时甲车离开C站的距离为，乙车离开C站的距离为，两车的距离等于＝．

题2：据俄罗斯新罗西斯克2015年5月17日电 记者吴敏、郑文达报道：当地时间17日，参加中俄“海上联合-2015（Ⅰ）”军事演习的9艘舰艇抵达地中海预定海域，混编组成海上联合集群。接到命令后我军在港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄军轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值并说明你的推理过程；
（3）是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
，
当……………（4分）
即小艇以的速度航行时，相遇时小艇航行距离最小。
（2） 设小艇与轮船在B处相遇
由题意得

时，取得最小值…………………（8分）
（3）由（2）知设

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于上述方程应有两个不等正根，
，解得：……………（14分）

题3：某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距海里的
M,N两点，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长
线与海平面交于点O．已知点M在点O的正东方向，点N在点O的
南偏西方向，海里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分
别为和．
（1）求信号塔的高度；

第17题图
（2）乙船试图在线段上选取一点，使得在点处观测信号塔的视角最大，请判断这样的点是否存在，若存在，求出最大视角及的长；若不存在，说明理由．

（6）解析几何（着重在基本量的运算和定点定值问题上，主要参考喜迎高考解析几何专题讲义）
（7）函数与导数
注1：函数与导数的基本问题你过关了吗？
求函数的极值；求函数的单调区间；
求含参的单调区间的讨论问题.
注2：一类函数零点的赋值问题
题1：已知函数，常数.
（1）求的单调区间；
（2）若函数有两个零点、，且.
（i）指出的取值范围，并说明理由；
（ii）求证：.
题2：函数有两个极值点，且．
（1）当时，比较与的大小；
（2）求的取值范围；
（3）证明：．
【解】（1）设，，
所以在递增，所以，
所以在递增，所以，所以．
（2）因为，是的两个不同解，所以，设，即直线与的图象有两个不同的交点，因为，令，，所以当时，，递增；当时，，递减．所以，，又当时，．
所以，， 此时，，由（1）知．
从而为所求范围．
（3）【证】因为，所以 ①，同理 ②
②+① 得…… ③
②-① 得 …… ④
③/④ 得，
所以，设
采用分析法：要证：，只要证：，只要证：，
设（），因为，
所以在上递减，，证毕．．
（7）数列
注1：注重对基本问题的研究：等差等比数列问题的证明
注2：注意使用两件法宝：作差（相加）、特殊化取值（从特殊到一般）
题1：（2012JSGK）已知各项均为正数的两个数列和满足：.设，求证：数列是等差数列.
题2：已知数列，其前项和为．
（1）若是公差为的等差数列，且也是公差为的等差数列，求数列的通项公式；
（2）若数列对任意，且，都有，求证：
数列是等差数列．
解：（1）设，则，
当时，， ①
， ②
， ③
联立①②③消去，得， ④
， ⑤
④⑤得：，则， ⑥
将⑥代入⑤解出（舍去）， ………………… 2分
从而解得，所以. ……………… 4分
此时，对于任意正整数满足题意. …… 6分
（2）因为对任意，，都有， ①
在①中取，， ②… 8分
同理， ③…10分
由②③知，,即，
即， …………… 12分
②中令，，
从而，即，………… 14分
所以，数列成等差数列. ………………… 16分
题3：设数列的前n项和为，且.
（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；
（2）设，求证：数列是等差数列.
解：（1）∵ ∴
又∵是等差数列，设公差为d，则

∴…………4分
∴ ∴ ………………6分
∴……8分
注：由解得，但没有证明原式成立，给4分.
（2）∵①
∴②
①—②得………10分
∴
两式相减得…………12分
∴
∴…………14分
∵ ∴可得 ∴
∴ ∴是等差数列……………16分
题3：在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．
（1）求证：是等比数列；（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．
解：（1）由，，成等差数列可得，，①
由，，成等差数列可得，， ②
①②得，，
所以是以6为首项、为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，③
①②得，， ④
③④得，，
代入，得，
所以，
整理得，，
所以，
由是不超过100的正整数，可得，
所以或，
当时，，此时，则，符合题意；
当时，，此时，则，符合题意．
故使成立的所有数对为，．