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2022版高考数学一轮复习 练案第五章 数列 第一讲 数列的概念与简单表示法练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第五章 数列 第一讲 数列的概念与简单表示法练习新人教版

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第五章　数列
第一讲　数列的概念与简单表示法
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·广东广州模拟)数列{an}为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　A　)
A．an＝　　 B．an＝
C．an＝　　 D．an＝
[解析]　解法一：数列{an}为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝.
解法二：当n＝2时，a2＝3，而选项B、C、D，都不符合题意，故选A.
2．(2021·天津河东区月考)已知数列，，，，，…，则5是它的(　C　)
A．第19项　　 B．第20项
C．第21项　　 D．第22项
[解析]　数列，，，，，…中的各项分别可变形为，，，，，…，所以该数列的通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.
3．(2021·山东潍坊学情调研)已知数列{an}中，a1＝2，an＝1－(n≥2)，则a2 022＝(　C　)
A.　　 B．－　　　
C．－1　　 D．2
[解析]　∵a1＝2，an＝1－(n≥2)，∴a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，a5＝1－＝，….∴数列{an}是以3为周期的周期数列．∵2 022＝3×674，
∴a2 022＝a3＝－1，故选C.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．则下列说法正确的是(　C　)
A．这个数列的第10项为
B.是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内
D．数列{an}是单调递减数列
[解析]　an＝＝＝.令n＝10，得a10＝，故选项A不正确；令＝，得n＝∉N，故不是该数列中的项，故选项B不正确；因为an＝＝＝1－，又n∈N*，所以数列{an}是单调递增数列，所以≤an<1，所以数列中的各项都在区间内，故选项C正确，选项D不正确．故选B、C.
5．(2021·重庆一中期末)已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，则{an}(n≥2)的通项公式为an＝(　B　)
A．2n－1　　 B．2n－2
C．2n＋1－3　　 D．3－2n
[解析]　∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴当n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，故选B.
6．(2020·兰州市高三诊断考试)朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1,3,6,10，….现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为(　B　)
A．50　　 B．55　　　
C．100　　 D．110
[解析]　由题意可知三角垛从上向下，每层果子数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可变形为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此得数列{an}的通项为an＝，则a10＝＝55，故选B.
7．(2021·辽宁沈阳交联体期中)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　C　)
A．an＝2n－1　　 B．an＝n－1
C．an＝n　　 D．an＝n2
[解析]　由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，＝，∴为常数列，即＝＝1，所以an＝n.故选C.
8．(2021·福建泉州一中检测改编)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围可以是(　B　)
A.　　 B．
C.　　 D．
[解析]　∵数列{an}是递增数列且an＝∴
解得2<a<3，所以实数a的取值范围是(2,3)，故选B.
二、填空题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__1__，S5＝__121__.
[解析]　解法一：由解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.
解法二：由解得，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝2an＋1，即＝3，又＝3，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋1＝3n，∴Sn＝，∴S5＝121.
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列an＝　3－　.
[解析]　由题意，得an＋1－an＝＝－，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.
11．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝　　.
[解析]　设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.
12．已知数列的通项为an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第__5__项．
[解析]　因为an＝，数列{an}的最小项必为an<0，即<0,3n－16<0，从而n<，又因为n∈N*，且数列{an}的前5项递减，所以n＝5时an的值最小．
三、解答题
13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)因为Sn＝an，且a1＝1，
所以S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3.
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.
(2)由题意知a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理，得an＝an－1，即＝.
所以＝3，＝，＝，…，＝，
将以上n－1个式子的两端分别相乘，得＝.
所以an＝(n≥2)．
又a1＝1适合上式，故an＝(n∈N*)．
14．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式．
[解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，∵a1＝2满足该式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)∵an＝＋＋＋…＋(n≥1)，①
∴an＋1＝＋＋＋…＋＋.②
②－①，得＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)．
故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．
B组能力提升
1．(2021·湖北武汉武昌实验中学月考)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5,9,14,20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为{an}，则(　D　)

A．an＋1＋an＝n＋2　　 B．an＋1－an＝n＋2
C．an＋1＋an＝n＋3　　 D．an＋1－an＝n＋3
[解析]　由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故选D.
2．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝(　C　)
A．3(3n－2n)　　 B．3n＋2
C．3n　　 D．3·2n－1
[解析]　当n＝1时，a1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得到an＝3an－1，所以an＝3n.故选C.
3．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 021等于(　B　)
A.　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　因为a1＝<，所以a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以数列具有周期性，周期为4，所以a2 021＝a1＝.故选B.
4．(2021·江西抚州七校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋log3，则a41＝(　C　)
A．－1　　 B．－2
C．－3　　 D．1－log340
[解析]　∵an＋1＝an＋log3＝an＋log3＝an＋log3(2n－1)－log3(2n＋1)，∴an＋1－an＝log3(2n－1)－log3(2n＋1)，则a41－a40＝log379－log381，a40－a39＝log377－log379，…，a3－a2＝log33－log35，a2－a1＝log31－log33，将以上40个式子相加得a41－a1＝log31－log381.又a1＝1，∴a41＝log31－log381＋1＝－3.故选C.
5．(2021·石家庄模拟)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．
[解析]　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)
＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.
令cn ＝，
则＝·＝>1.
∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，
即λ的取值范围为(－∞，2)．