2021届高考数学二轮总复习-层级二-专题六-解析几何-第一讲-直线与圆学案.doc

2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题六 解析几何 第一讲 直线与圆学案

2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题六 解析几何 第一讲 直线与圆学案

年级：
姓名：

专题六　解析几何
第一讲　直线与圆

1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C． D．2
解析：选A　由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－，故选A．
2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．故选A．
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：x－y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.
答案：4
4．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得，AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
 明 考 情 
1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．

考点一　直线的方程
|析典例|
【例】　(1)(2019·日照一模)已知倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则sin θ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2019·黑龙江高三模拟)“m＝4”是“直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)(2019·安徽四校联考)已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1) 到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
[解析]　(1)倾斜角为θ的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，
∴tan θ＝－＝2.
则sin θ＝.
(2)由m＝4，易得直线4x＋8y＋3＝0与直线2x＋4y＋3＝0平行；由直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，得＝，解得m＝2或m＝4，经检验，当m＝2时，直线2x＋2y＋3＝0与直线2x＋2y＋3＝0重合，故m＝4，所以“m＝4”是“直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行”的充要条件，故选C．
(3)设点A(x0，y0)，依题意可得解得即A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，则当d＝|AB|时d取得最大值，此时直线l2垂直于直线
AB.所以直线l2的斜率k＝－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即直线3x－2y＋5＝0.故选B．
[答案]　(1)D　(2)C　(3)B
| 规 律 方 法 |
解决直线方程问题的两个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；两点式要求直线不能与坐标轴垂直；而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
|练题点|
1．(2019·郴州模拟)已知直线l1：x＋my＋4＝0，l2：(m－1)x＋2y－8＝0，若l1⊥l2，则m的值是(　　)
A． B．
C．2 D．－1
解析：选A　直线l1：x＋my＋4＝0，l2：(m－1)x＋2y－8＝0，若l1⊥l2，则1×(m－1)＋2m＝0，解得m＝.故选A．
2．(2019·东莞模拟)过点(2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)
A．x－2y＝0或x－y－1＝0
B．x－2y＝0或x＋y－3＝0
C．x＋y－3＝0或x－y－1＝0
D．x－2y＝0
解析：选B　直线过点(2,1)，且在两坐标轴上的截距相等，
当截距为0时，直线方程为x－2y＝0；
当直线不过原点时，斜率为－1，直线方程为x＋y－3＝0.
∴直线方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.故选B．
考点二　圆的方程
|析典例|
【例】　(1)(2019·深圳模拟)圆C的半径为4，圆心在y轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋(y－6)2＝16 B．(x－4)2＋y2＝16
C．x2＋(y－4)2＝16 D．(x－6)2＋y2＝16
(2)(2019·辽阳一模)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝36
B．(x－1)2＋(y－2)2＝25
C．(x－1)2＋(y－2)2＝16
D．(x－1)2＋(y－2)2＝49
[解析]　(1)根据题意，圆C的圆心在y轴的正半轴上，设圆C的圆心为(0，m)，(m>0)；
又由圆C的半径为4，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，
则有＝4，解得m＝4或－6(舍)，
则圆的方程为x2＋(y－4)2＝16.
(2)化圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
可得圆心坐标为(1,2)，半径为r，
由圆心(1,2)到直线l：3x－4y－15＝0的距离d＝＝4，且|AB|＝6，
得r2＝32＋42＝25.
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选B．
[答案]　(1)C　(2)B
| 规 律 方 法 |
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
|练题点|
1．(2019·河北省衡水中学高三调考)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是(　　)
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y＋1＝0
解析：选C　∵圆x2＋y2＝1的圆心关于直线y＝x－1的对称点是(1，－1)，且它是圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心，∴a＝2，∴点C的坐标为(－2,2)，设圆心为P(x，y)，则有＝|x|，即y2＋4x－4y＋8＝0.故选C．
2．已知圆C的圆心在y轴上，点M(3,0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝18
B．x2＋(y＋3)2＝18
C．x2＋(y－4)2＝25
D．x2＋(y＋4)2＝25
解析：选C　设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为，因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×－－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0,4)，半径r＝|CM|＝＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25，故选C．
考点三　直线与圆的位置关系
|析典例|
【例】　(2019·河北省衡水中学高三模拟)已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y＝2x－8相切于点P(4,0)．
(1)求圆C的方程；
(2)在圆C上是否存在两个点M，N关于直线y＝kx－1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由已知，得圆心在经过点P(4,0)且与y＝2x－8垂直的直线y＝－x＋2上，它又在线段OP的中垂线x＝2上，所以求得圆心C(2,1)，半径为，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)假设存在两点M，N关于直线y＝kx－1对称，则y＝kx－1通过圆心C(2,1)，求得k＝1，所以设直线MN为y＝－x＋b，代入圆的方程得2x2－(2b＋2)x＋b2－2b＝0，设M(x1，－x1＋b)，N(x2，－x2＋b)，则x1＋x2＝b＋1，x1x2＝，又·＝2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝b2－3b＝0，解得b＝0或b＝3，这时Δ>0，符合题意，所以存在直线MN，它的方程为y＝－x或y＝－x＋3符合条件．
| 规 律 方 法 |
1．判断直线与圆的位置关系的两种方法
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．
(2)几何法：将圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离.
2.弦长问题的两种求解方法
(1)利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2＋2＝r2求解．
(2)若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|.
|练题点|
(2019·鹤壁模拟)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx－4.
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB＝时，求k的值；
(2)若EF，GH为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，求四边形EGFH的面积S的最大值．
解：(1)∵∠AOB＝，∴点O到直线l的距离d＝×2，∴＝×2，解得k＝±.
(2)设圆心O到直线EF，GH的距离分别为d1，d2，
则d＋d＝|OM|2＝3，|EF|2＝2，|GH|2＝2，
∴S＝|EF|·|GH|＝2
＝2＝2，
∴S≤2×＝5，当且仅当d＝，即d1＝时，取等号．
∴四边形EGFH的面积S的最大值为5.