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2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题六 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质学案

2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题六 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质学案

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第二讲　圆锥曲线的方程与性质

1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选D　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，
椭圆＋＝1的焦点坐标为.
由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D．
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选B　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝|AF2|＝a，
∴点A是椭圆的短轴端点，如图．

不妨设A(0，－b)，由F2(1,0)，＝2，得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B．
3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A　双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.
又∵离心率＝＝，
∴a2＋b2＝3a2.∴b＝a(a>0，b>0)．
∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选A．
4．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A．2sin 40° B．2cos 40°
C． D．
解析：选D　由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝ ＝＝
＝＝.故选D．
5．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：选A　依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0.因为直线bx±ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2，故选A．
6．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A． B．3
C．2 D．4
解析：选B　由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.
设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．

在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B．
 明 考 情 
1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～11题或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题第20题的位置，一般难度较大．

考点一　圆锥曲线的定义及标准方程
|析典例|
【例】　(1)(2019·浉河区校级月考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若△AF1F2的面积为，且∠F1AF2＝4∠AF1F2，则椭圆方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
(2)(2019·宝鸡二模)已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF1|的最小值为(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
[解析]　(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，
若△AF1F2的面积为，可得bc＝，且∠F1AF2＝4∠AF1F2，∴∠AF1F2＝30°，
∴＝，解得b＝1，c＝，所以a＝2，
则椭圆方程为＋y2＝1.故选C．
(2)如图，由双曲线－＝1，得a2＝4，b2＝5，

∴c2＝a2＋b2＝9，则c＝3，
则F2(3,0)，
∵|PF1|－|PF2|＝4，
∴|PF1|＝4＋|PF2|，
则|PF|＋|PF1|＝|PF|＋|PF2|＋4，
连接FF2交双曲线右支于P，
则此时|PF|＋|PF2|最小等于|FF2|，
∵F的坐标为(0,4)，F2(3,0)，
∴|FF2|＝5，
∴|PF|＋|PF1|的最小值为5＋4＝9.故选C．
[答案]　(1)C　(2)C
| 规 律 方 法 |
1．凡涉及圆锥曲线上的点到焦点距离，一般运用定义转化处理．
2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
|练题点|
1．(一题多解)(2019·辽宁五校联考)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
解析：选C　解法一：(定义法)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意可得解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1；若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则由题意可得该方程组无解．
综上，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
解法二：(待定系数法)设双曲线的方程为－＝1(mn>0)，则由题意可得解得所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
解法三：(待定系数法)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线的方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2,3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x2－y2＝3，其标准方程为x2－＝1.
2．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为________，此时点P的坐标为________．
解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.因为>2，所以点A在抛物线内部，如图所示．

过点P作PQ⊥l于点Q，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，
当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以所求点P的坐标为(2,2)．
答案：　(2,2)
考点二　圆锥曲线的几何性质
|析典例|
【例】　(1)(2019·合肥二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆离心率是(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2019·湖南四校联考)已知A，B，P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．3
(3)(2019·常熟模拟)已知双曲线C1：－＝1与圆C2：x2＋y2＝b2(其中a>0，b>0)，若在C1上存在点P，使得由点P向C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是________．
[解析]　(1)由条件知以线段F1A为直径的圆的方程为2＋y2＝2，化为x2－(a－c)x＋y2－ac＝0.
直线F1B的方程为bx－cy＋bc＝0，
联立
解得P.
kAP＝，kF2B＝－.
∵F2B∥AP，
∴＝－，
把b2＝c2－a2代入可化为e2＝，又e∈(0,1)，
解得e＝.故选D．
(2)由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则－＝1，－＝1，又kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝＝＝3，所以离心率e＝ ＝2.
(3)由题意，根据圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以|OP|＝b；

因为|OP|＝b≥a，所以≥，
所以e＝＝＝≥＝；
所以双曲线的离心率e的取值范围是.
[答案]　(1)D　(2)C　(3)
| 规 律 方 法 |
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
|练题点|
1．如图，F1、F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A，B是双曲线C上关于坐标原点O对称的两点(点A在第一象限)，直线BF1与双曲线C的另一个交点为M，且AF1⊥BF1，|MF1|＝|AF1|，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A　连接MF2，BF2，AF2，

设|MF1|＝m，|BF1|＝n，可得|AF1|＝m，AF1⊥BF1，可得四边形AF2BF1为矩形，由双曲线的定义可得|AF2|＝m－2a，|MF2|＝m＋2a，
即n＝m－2a，
可得m2＋(m－2a)2＝4c2，
(m＋m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，
解得m＝3a,9a2＋a2＝4c2＝4(a2＋b2)，
化简可得b＝a，
C的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x.故选A．
2．(2019·烟台一模)已知圆锥曲线C1：mx2＋ny2＝1(n>m>0)与C2：px2－qy2＝1(p>0，q>0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°，若圆锥曲线C1的离心率为，则C2的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　C1：＋＝1，C2：－＝1.
设a1＝，a2＝，MF1＝s，MF2＝t(s>t)，
由椭圆的定义可得s＋t＝2a1，
由双曲线的定义可得s－t＝2a2，
解得s＝a1＋a2，t＝a1－a2，
由∠F1MF2＝90°，运用勾股定理，可得
s2＋t2＝4c2，
即为a＋a＝2c2，
由离心率的公式可得，＋＝2，
∵e1＝，∴e＝，则e2＝.故选B．
3．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：选A　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A．

考点三　直线与圆锥曲线的位置关系
|多角探明|
命题角度一　弦长问题
【例1】　(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
[解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.
| 规 律 方 法 |
求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．
(3)当弦过焦点时，可结合圆锥曲线定义求解弦长如M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则左焦半径r1＝a＋ex0，右焦半径r2＝a－ex0.
命题角度二　弦中点问题
【例2】　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得①－②得＋＝0，
∴＋·＝0.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，kAB＝＝，
∴＋×＝0，即a2＝2b2.
又c＝3＝，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
[答案]　D
| 规 律 方 法 |
对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
|全练题点|
(2019·江南十校联考)已知椭圆E：＋＝1，点A，B，C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且＝2.
(1)若点C的坐标为，求直线AB的方程；
(2)求证：S△ABC为定值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
因为＝2，C，
所以点D的坐标为.又D为AB中点，
所以x1＋x2＝－1，y1＋y2＝－.
将点A，B的坐标分别代入椭圆方程中，可得
化简可得＋＝0，
所以直线AB的斜率
kAB＝＝－＝－×＝－，
所以直线AB的方程为x＋2y＋2＝0.
(2)证明：设A(x3，y3)，B(x4，y4)，C(m，n)，
因为＝2，所以D.
①当直线AB的斜率不存在时，n＝0，
不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方．
因为点C在椭圆上，易得C(2,0)，A，
B或C(－2,0)，A，B，
此时S△ABC＝×3×3＝.
②当直线AB的斜率存在时，n≠0，
由(1)可得kAB＝－×＝－，
所以直线AB的方程为y＋＝－，
因为点C在椭圆上，所以＋＝1，即3m2＋4n2＝12，
因此直线AB的方程为y＝－x－＝－x－，即3mx＋4ny＋6＝0，
由得3x2＋3mx＋3－4n2＝0，
所以x3＋x4＝－m，x3x4＝1－，
|AB|＝＝，
因为点O到直线AB的距离d＝，
所以S△ABC＝3S△OAB＝3×××＝.
综上，S△ABC为定值．