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2021高考数学二轮复习专题练 三、核心热点突破 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的方程与性质

2021高考数学二轮复习专题练 三、核心热点突破 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的方程与性质

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第2讲　圆锥曲线的方程与性质
高考定位　1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.

真 题 感 悟
1.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9
解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，解得p＝6.故选C.
答案　C
2.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A. B. C.(1，0) D.(2，0)
解析　将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，
可得y＝±2，
不妨设D(2，2)，E(2，－2)，
由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为.故选B.
答案　B
3.(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B.3 C. D.2
解析　法一　由题知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.

由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.故选B.
法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.
所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.故选B.
答案　B
4.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.
解　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.
解得＝－2(舍去)或＝.
所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.
设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，
故＋＝1.①
因为C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，
又|MF|＝5，故x0＝5－c，
代入①得＋＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.
所以C1的标准方程为＋＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.
考 点 整 合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；
(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).
3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦
设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝＝.
(2)过抛物线焦点的弦
抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.

热点一　圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　(1)由|PA|－|PB|＝2＜|AB|＝4，得点P的轨迹是双曲线的右支.又a＝1，c＝2，知b2＝c2－a2＝3.故点P的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)①，由于y＝3②，联立①②，得x2＝，y2＝，故|OP|＝＝.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.
由椭圆定义，4m＝2a，得m＝，
故|F2A|＝|F1A|＝a，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.
如图，不妨设A(0，－b)，依题意，＝2，得B.

由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.
答案　(1)D　(2)B
探究提高　1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.
2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【训练1】 (1)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.x2－＝1
C.－y2＝1 D.x2－y2＝1
(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0，6)是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝交于A，B两点(A在B的上方)，若sin∠MFA＝，则此抛物线的方程为________.
解析　(1)由y2＝4x，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b)的直线方程为x＋＝1.
易知－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0.
由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1.故双曲线C的方程为x2－y2＝1.
(2)如图所示，过M点作CM⊥AF，垂足为C，交准线于D，

∴sin∠MFA＝＝.
由抛物线定义|MF|＝|MD|＝x0＋，
∴＝＝，
得x0＝3p.
∵点M(x0，6)是抛物线上一点，
∴(6)2＝2px0，36×6＝6p2，∴p＝6，∴y2＝12x.
答案　(1)D　(2)y2＝12x
热点二　圆锥曲线的几何性质
【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若＝，·＝0，则C的离心率为________.
解析　(1)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝，则yB＝.
因为AB的斜率为3，
所以＝3，则b2＝3ac－3a2.
所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a.
所以C的离心率e＝＝2.
(2)因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图.

所以|OF1|＝|OB|，
所以∠BF1O＝∠F1BO，
所以∠BOF2＝2∠BF1O.
因为＝，所以点A为F1B的中点，
又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，
所以F1B⊥OA.
因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
所以tan∠BF1O＝＝，tan∠BOF2＝.
因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，
所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c.
所以双曲线的离心率e＝＝2.
答案　(1)2　(2)2
探究提高　1.第(1)题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB的斜率为3”，由y＝得yB＝±；二是将双曲线中a，b，c的关系式与椭圆中a，b，c的关系式搞混.
2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值.
3.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
【训练2】 (1)(多选题)(2020·青岛统测)已知椭圆Ω：＋＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是(　　)
A.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为
B.若椭圆Ω的离心率为，则＝
C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4a
D.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－
(2)(多选题)(2020·德州质检)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为
D.|PF|的最小值为2
解析　(1)若a＝2b，则c＝b，所以e＝，A不正确；若e＝，则a＝2c，b＝c，所以＝，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则＋＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是·＝＝＝－，D正确.故选BCD.
(2)对于A，因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以双曲线C的离心率为，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝x上，则直线PF的方程为y－0＝－(x－)，即y＝－(x－)，由解得所以点P，所以△PFO的面积S＝××＝，所以C正确；对于D，因为点F(，0)，双曲线C的一条渐近线为直线y＝x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为，所以D错误.故选ABC.
答案　(1)BCD　(2)ABC
热点三　有关弦的中点、弦长问题
【例3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，即t<，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.①
由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2.②
由①②联立，得y1＝3，且y2＝－1.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝＝.
探究提高　1.涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB|＝|x2－x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝求解.
2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
【训练3】 (2020·衡水质检)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点.
(1)若△F1AB的面积为，求直线l的方程；
(2)若＝2，求|AB|.
解　(1)当直线l斜率为0时，不满足题意.
当直线l斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设直线l的方程为x＝my＋1，
代入椭圆C的方程消去x，
得(5m2＋6)y2＋10my－25＝0，
Δ＞0⇒m∈R，
由根与系数的关系得y1＋y2＝，①
y1y2＝，②
则S△F1AB＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2
＝＝.
整理得50m4－m2－49＝0，
解得m2＝1或m2＝－(舍去)，
故直线l的方程为x±y－1＝0.
(2)若＝2，则(1－x2，－y2)＝2(x1－1，y1)，
所以y2＝－2y1.
代入上式①②得y1＝，2y＝，
消去y1，得2＝，解得m＝±，
所以|AB|＝|y1－y2|＝|y1－y2|＝3|y1|＝3×＝.
热点四　与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题
【例4】 (2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝
－4于点P，Q，求的值.
解　(1)由椭圆过点A(－2，－1)，得＋＝1.
又a＝2b，∴＋＝1，解得b2＝2，
∴a2＝4b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.
设直线l：y＝k(x＋4)，
由得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.
由Δ＞0，得－＜k＜.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又∵直线AM：y＋1＝(x＋2)，
令x＝－4，得yP＝－1.
将y1＝k(x1＋4)代入，得yP＝.
同理yQ＝.
∴yP＋yQ＝－(2k＋1)
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)·＝0.
∴|PB|＝|BQ|，∴＝1.
探究提高　1.求解此类问题往往要设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.
2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
【训练4】 (2020·天津卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.
解　(1)由已知得b＝3.记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.
由a2＝b2＋c2，得a2＝18.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，
设直线AB的方程为y＝kx－3.
联立
消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，
解得x＝0或x＝.
依题意，可得点B的坐标为.
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为.
由3＝，得点C的坐标为(1，0)，
故直线CP的斜率kCP＝＝.
又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，
整理得2k2－3k＋1＝0，
解得k＝或k＝1.
所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.
即直线AB的方程为x－2y－6＝0或x－y－3＝0.

A级　巩固提升
一、选择题
1.(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
解析　如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.

答案　B
2.(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析　对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，B错误；
对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±x，C正确；
对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，D正确.
答案　ACD
3.(多选题)(2020·青岛一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A.p＝4 B.＝
C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
解析　如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由直线l的斜率为，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，

∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，
∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正确.
∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则＝，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，
∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.
由C选项知|BF|＝|DF|＝|AF|＝，D错误.故选ABC.
答案　ABC
4.(2020·东北三省三校联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有·＝0，若点P到x轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
解析　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，
则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.
由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.
因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①
在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|F1F2|＝c2.
代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，
故双曲线的离心率e＝＝＝.
答案　A
5.(2020·成都诊断)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析　依题设x0≥0时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.
若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，
则90°＞(∠PF1F2)max≥30°，
∴tan(∠PF1F2)max≥tan 30°＝，
则≥，即b≥c.
又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，
所以e＝＝≤＝.
故椭圆离心率的取值范围为.
答案　B
二、填空题
6.(2020·北京卷)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.
解析　由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，
所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝.
答案　(3，0)　
7.(2020·全国Ⅲ卷改编)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.
解析　法一　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝＝，从而a＝1.
法二　由题意得，S△PF1F2＝＝4，得b2＝4，
又e2＝＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.
答案　1
8.设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.
解析　不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2＝8，
因为△MF1F2是等腰三角形，
|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，
所以|MF1|>6，|MF2|<6，
所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.
故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.
因为点M在椭圆＋＝1上，
所以联立方程可得解得
又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).
答案　(3，)
三、解答题
9.(2020·湖北重点中学联考)定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.
(1)写出椭圆C2的方程；
(2)若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.
解　(1)依题意，设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”，可得＝，即a2＝4b2.
所以椭圆C2的方程为＋＝1(b＞0).
(2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，
由消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，
易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①
则x0＝＝，y0＝.
由题意知线段MN的中点在直线y＝x＋1上，
所以＝＋1，解得t＝－，
则直线MN的方程为y＝－x－，
将t＝－代入①式，解得b＞.
所以实数b的取值范围是.
10.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
(1)证明　设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)解　由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|＝×＝2(t2＋1).
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝，d2＝.
因此，四边形ADBE的面积
S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M为线段AB的中点，则M.
因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.
B级　能力突破
11.(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.
解析　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.

答案　A
12.(2020·郑州调研)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.
(1)求椭圆E和圆F的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.
解　(1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆的离心率e＝，∴＝，
∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，
将点代入椭圆的方程得＋＝1，
联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
∴F(，0)，∵PF⊥x轴，∴P，
∴圆F的半径为，圆心为(，0)，
∴圆F的方程为(x－)2＋y2＝.
(2)由A，B在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝.
设点C(x1，y1)，D(x2，y2).
|CF|＝＝2－x1，
同理|DF|＝2－x2.

若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，
即|AB|＝|CD|＝1，
4－(x1＋x2)＝1，
由
得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，
∴x1＋x2＝，∴4－＝1，
得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.