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教研会：数学归纳法
主讲人：高冉
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
一、★知识梳理★
1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可
2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等
★重难点突破★
重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题
难点：对不同类型的数学命题，完成从k到k+1的递推
重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法
1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法
2.归纳起点未必是1
3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式

二、★方法总结★
1、主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值（如 =1或2等）时结论正确
（2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ )时结论正确，
证明n=k+1时结论也正确
由（1）、（2）得出结论正确(命题成立)。
2、数学归纳法证题三注意：
（1) 不一定等于1
(2)项数不一定只增加一项。
(3)一定用上假设（注意:用上假设递推才真）
3、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
① 明确初始值并验证真假。（必不可少）
②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别,弄清左端应增加的项。
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并一定要用上假设。

三、 ★数学归纳法的基本形式★
1.第一数学归纳法
设是一个与正整数有关的命题，如果
①当时，成立；
②假设成立，由此推得时，也成立；
那么根据①②可得到结论：对一切正整数 ，命题成立。
2.第二数学归纳法（串值归纳法）
设是一个与正整数有关的命题，如果
①当 时,成立；
②假设 成立，由此推得时,也成立；
那么根据①②可得到结论：对一切正整数,命题成立。
3.跳跃数学归纳法
设 是一个与正整数有关的命题，如果
①；
②假设 成立，由此推得时，也成立；
那么根据①②可得到结论：对一切正整数 ，命题成立。
4.反向数学归纳法
设是一个与正整数有关的命题，如果
①对无限多个正整数n成立；
②从命题成立可以推出命题也成立；
那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题成立。
如果命题对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式：
Ⅰ 设 是一个与正整数有关的命题，如果
① 时命题正确；
② 假如由不成立推出不成立；
那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题成立。
Ⅱ 设是一个与正整数有关的命题，如果
① ；
② 假若由不成立推出不成立；
那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题成立。
以上讨论的均是完全归纳法，不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前 项的计算、观察、分析推测出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质。应用不完全数学归纳法时，必须用完全数学归纳法对结论的正确性予以证明。

四、★应用数学归纳法的技巧★
1.移动起点
有些命题对一切大于等于1的正整数n都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立来替代验证；同理，起点也可以进行适当后移，只要后移的起点成立且容易验证。
2.起点增多
有些命题由 向 跨进时，需要用到一些其他特殊点的性质，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点；增多起点也可以更好的观察出每一个n 具有的统一形式，从而利用数学归纳法证明。
3.选择适当的假设方式
归纳假设不要拘泥于“假设时命题成立”，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法。