数学建模决策分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

决议分析决议分析 年数学建模培训年5月第1页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院2主主 要要 内内 容容预备知识预备知识决议分析介绍决议分析介绍随机性决议随机性决议效用函数效用函数决议准则决议准则贝叶斯决议贝叶斯决议小结小结第2页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院3预备知识预备知识能够在相同条件下重复进行；能够在相同条件下重复进行；每次试验可能结果不止一个，但事先能明确每次试验可能结果不止一个，但事先能明确全部可能结果；全部可能结果；进行试验之前不能必定哪一个结果会出现。进行试验之前不能必定哪一个结果会出现。比如：比如：抛掷一枚硬币，观察其出现正面、反面情况抛掷一枚硬币，观察其出现正面、反面情况统计车站售票处一天内售出车票张数统计车站售票处一天内售出车票张数从一批元件中抽取一个，测试其使用寿命从一批元件中抽取一个，测试其使用寿命n随机试验随机试验第3页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院4预备知识预备知识随机变量随机变量：随试验结果不一样而改变量，：随试验结果不一样而改变量，是试验结果函数是试验结果函数离散型随机变量离散型随机变量：其全部可能取值为有限：其全部可能取值为有限个或虽有没有限个但能够一一排列个或虽有没有限个但能够一一排列连续型随机变量连续型随机变量：其能够取某个区间内全：其能够取某个区间内全部值，全部可能取值不能像离散型变量那部值，全部可能取值不能像离散型变量那样一一列出样一一列出第4页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院5预备知识预备知识设设 为一个随机变量，记为一个随机变量，记 称称 为随机变量为随机变量 概率分布函数。概率分布函数。n随机变量分布函数随机变量分布函数n性质性质第5页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院6预备知识预备知识n离散型随机变量分布律离散型随机变量分布律n设设 为离散型随机变量，其可能取值为为离散型随机变量，其可能取值为 ，则则 称为称为 分布律分布律(概率函数概率函数)。通惯用以下表格形式表。通惯用以下表格形式表示。示。n性质性质 第6页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院7预备知识预备知识设随机变量设随机变量 分布函数为分布函数为 ，若存在，若存在一个非负函数一个非负函数 ，使对任意实数，使对任意实数 ，有，有 则称则称 为连续型随机变量，为连续型随机变量，为其概为其概率密度率密度.n连续型随机变量密度函数连续型随机变量密度函数n性质性质 第7页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院8预备知识预备知识离散型变量离散型变量n连续型变量连续型变量n数学期望数学期望(随机变随机变量取值平均结果量取值平均结果)n方差方差(全部可能取值偏离全部可能取值偏离均值分散程度均值分散程度)第8页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院9预备知识预备知识伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)试验试验假设试验假设试验E E只有两种结果只有两种结果 和和 ，其中其中 ，则将，则将E E独立地独立地重复进行重复进行n n次组成试验称为次组成试验称为n n重伯努利试验重伯努利试验，有时简称伯努利试验。有时简称伯努利试验。如：掷硬币如：掷硬币(出现正面和反面出现正面和反面)、射击、射击(命中和未命中命中和未命中)等等施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.第9页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院10预备知识预备知识n两点分布两点分布0 01 1 在一次试验中，事件在一次试验中，事件 发生概率为发生概率为 ，不发生概率，不发生概率为为 。若以。若以 记事件记事件 发生次数，则其可能取发生次数，则其可能取值为值为0 0和和1 1，它分布律为，它分布律为 或者或者这个分布称为两点分布这个分布称为两点分布(0-1(0-1分布分布)。第10页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院11预备知识预备知识事件事件 在一次试验中发生概率为在一次试验中发生概率为 ，随机，随机变量变量 表示表示 在在n n重伯努利试验中发生次重伯努利试验中发生次数，则数，则 且且n二项分布二项分布施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.均值与方差均值与方差第11页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院12预备知识预备知识n泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布若随机变量若随机变量 概率函数为概率函数为则称则称 。施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.均值与方差均值与方差第12页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院13预备知识预备知识若连续型随机变量若连续型随机变量 含有概率密度含有概率密度则称则称 服从区间服从区间 上均匀分布上均匀分布,记为记为 n均匀分布均匀分布均值与方差均值与方差第13页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院14预备知识预备知识n正态正态(Gauss)(Gauss)分布分布若连续型随机变量若连续型随机变量 含有概率密度含有概率密度 其中其中 为常数，则称为常数，则称 服从参数为服从参数为 正态分布，记为正态分布，记为 。均值与方差均值与方差第14页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院15预备知识预备知识在正态分布中，若在正态分布中，若 ，则称，则称 服从标准服从标准正态分布正态分布N(0,1)N(0,1)，其密度函数和分布函数分别为，其密度函数和分布函数分别为n标准正态分布标准正态分布分布函数分布函数密度函数密度函数主要性质主要性质若若 ，则，则第15页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院16预备知识预备知识n泊松定理泊松定理在在n n重伯努利试验中，若事件重伯努利试验中，若事件 在每次试验中在每次试验中发生概率为发生概率为 (与试验次数与试验次数n n相关相关)，假如当，假如当 时，时，(0(0为常数为常数 )，则有，则有作用：作用：对二项分布对二项分布(n(n、很大，很大，很小很小)作近似作近似计算计算施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.第16页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院17预备知识预备知识nDe Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理在在n n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件 在每次试验在每次试验中出现概率为中出现概率为 ()()，为为n n次试验次试验中中 出现次数，则出现次数，则作用：作用：对二项分布对二项分布(n(n很大很大)作近似计算作近似计算施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.第17页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院18预备知识预备知识n置信度置信度(置信水平置信水平)总体参数落在样本统计值某一区间内概率，总体参数落在样本统计值某一区间内概率，或区间预计可靠程度。或区间预计可靠程度。特定个体对待定命题真实性相信程度。特定个体对待定命题真实性相信程度。施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.第18页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院19预备知识预备知识设设 、为随机试验为随机试验 中事件，中事件，表示表示在事件在事件 发生条件下发生条件下 发生概率，且有发生概率，且有n贝叶斯分析贝叶斯分析n 为为n n个互不相容事件，且个互不相容事件，且n ，则，则 是样本空间是样本空间S S一个划分一个划分n 对任意事件对任意事件 ，由全概率公式，有，由全概率公式，有施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.第19页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院20预备知识预备知识贝叶斯公式贝叶斯公式n贝叶斯定理贝叶斯定理n 为随机事件结果或观察值；为随机事件结果或观察值；n 为为先验概率分布先验概率分布；n 为为后验概率分布后验概率分布.施雨，李耀武施雨，李耀武.概率论与数理统计概率论与数理统计.西安：西安交通大学出版社西安：西安交通大学出版社,.,.第20页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院21决议分析介绍决议分析介绍n定义定义研究不确定性决议问题一个系统分析方法，其目标研究不确定性决议问题一个系统分析方法，其目标是改进决议过程，从一系列方案中找出一个能满足是改进决议过程，从一系列方案中找出一个能满足一定目标适当方案。一定目标适当方案。-中国大百科全书中国大百科全书决议是从一组备选方案中选择所偏爱方案或行动路决议是从一组备选方案中选择所偏爱方案或行动路线过程，它渗透到生活每个方面。决议通常包括外线过程，它渗透到生活每个方面。决议通常包括外部世界不确定性以及个人偏爱冲突，通常从信息集部世界不确定性以及个人偏爱冲突，通常从信息集聚开始，经过主观概率预计和审议直到选定最终行聚开始，经过主观概率预计和审议直到选定最终行动动 -认知科学百科全书认知科学百科全书第21页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院22决议分析发展简史决议分析发展简史17381738年，年，BernoulliBernoulli提出了效用和期望效用概念；提出了效用和期望效用概念；19501950年，年，WaldWald用对策论定理处理了统计决议中一用对策论定理处理了统计决议中一些基本问题；些基本问题；19541954年，年，BlackwellBlackwell和和GirshickGirshick将主观概率和效用理将主观概率和效用理论整合成一个求解统计决议问题清楚过程；论整合成一个求解统计决议问题清楚过程；19541954年，年，SavageSavage建立了含有理论体系并形成含有严建立了含有理论体系并形成含有严格哲学基础和公理框架统计决议理论；格哲学基础和公理框架统计决议理论；随即，形成以随即，形成以BayesBayes分析为基础统计决议理论；分析为基础统计决议理论；今天，决议分析已形成工业、商业和政府部门制今天，决议分析已形成工业、商业和政府部门制订决议所使用主要方法。订决议所使用主要方法。第22页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院23决议问题示例决议问题示例一投资者有笔资金要投资，有两个方向供他选择一投资者有笔资金要投资，有两个方向供他选择 ：购置股票，依据市场情况，可净赚：购置股票，依据市场情况，可净赚50005000元，但元，但也可能亏损也可能亏损1000010000元；元；：存银行：不论市场情况怎样，总能够赚：存银行：不论市场情况怎样，总能够赚10001000元元n例例1(1(投资问题投资问题)5000500010001000-10000-1000010001000收益矩阵收益矩阵第23页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院24决议问题示例决议问题示例n例例2(2(双人博弈问题双人博弈问题)3 3-2-20 01 14 4-3-3-4-4-1-12 2甲得分矩阵甲得分矩阵n甲乙两人玩一个游戏，双方各自独立出牌甲乙两人玩一个游戏，双方各自独立出牌n甲：三张牌，分别记为甲：三张牌，分别记为 ，n乙：三张牌，分别记为乙：三张牌，分别记为 ，n按下表计算甲得分与乙失分按下表计算甲得分与乙失分第24页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院25决议问题示例决议问题示例课题组责任人得悉，某一单位有个科研项目要招标，他课题组责任人得悉，某一单位有个科研项目要招标，他感到课题组有能力承接该项目，因为研究方向相符，并感到课题组有能力承接该项目，因为研究方向相符，并有一定研究基础；但其它几个单位也准备投标，而且不有一定研究基础；但其它几个单位也准备投标，而且不乏竞争力。乏竞争力。参加投标并中标：参加投标并中标：花费相当数量人力物力，但也有花费相当数量人力物力，但也有收益；收益；参加投标未中标：参加投标未中标：花费相当数量人力物力，无收益；花费相当数量人力物力，无收益；不参加投标：不参加投标：没有花费，也无收益没有花费，也无收益.n例例3(3(项目申请问题项目申请问题)第25页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院26决议问题分类决议问题分类确定型决议：确定型决议：可提供方案条件已确定可提供方案条件已确定不确定型决议不确定型决议(随机决议随机决议)：决议时条件不确定决议时条件不确定反抗型决议：反抗型决议：包含两个或以上人之间竞争，决议包含两个或以上人之间竞争，决议人不能直接控制全部决议，需考虑对手决议人不能直接控制全部决议，需考虑对手决议。n按决议问题所处条件不一样按决议问题所处条件不一样风险决议：风险决议：已知各种情况出现概率，可综合考虑已知各种情况出现概率，可综合考虑完全不确定型决议：完全不确定型决议：未知任何信息未知任何信息例例2 2为反抗型决议，例为反抗型决议，例1 1和例和例3 3均为不确定型决议均为不确定型决议第26页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院27随机决议问题示例随机决议问题示例(1)(1)为确保某种设备正常工作，需配置适量维修工。为确保某种设备正常工作，需配置适量维修工。假设假设现有同类设备现有同类设备300300台，它们之间工作相互独立；台，它们之间工作相互独立；每台设备出故障概率均为每台设备出故障概率均为0.010.01；一台设备故障由一人处理一台设备故障由一人处理.问题问题n最少需配置多少工人，才能确保设备发生故障但最少需配置多少工人，才能确保设备发生故障但不能得到及时维修概率小于不能得到及时维修概率小于0.010.01？n例例4(4(合理配置工人问题合理配置工人问题)第27页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院28例例4(4(续续)求解过程：求解过程：设需要配置工人数为设需要配置工人数为 ，在同一时刻设，在同一时刻设备发生故障台数为备发生故障台数为 ，则，则 ，问题是找，问题是找到最小到最小 使得使得 ，由泊松定理，由泊松定理，即即查找泊松分布表，查找泊松分布表，可得可得 。第28页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院29随机决议问题示例随机决议问题示例(2)(2)用户缴纳月费成为会员，享受用户缴纳月费成为会员，享受DVDDVD租赁服务。会租赁服务。会员只需对感兴趣员只需对感兴趣DVDDVD在网上提交订单，网站会以在网上提交订单，网站会以快递方式尽可能满足其要求。快递方式尽可能满足其要求。会员提交订单包含多张会员提交订单包含多张DVDDVD，基于其偏爱程度排，基于其偏爱程度排序。网站依据手头序。网站依据手头DVDDVD数量和会员订单进行分发。数量和会员订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不超出每个会员每个月租赁次数不超出2 2次，每次可租次，每次可租3 3张张DVDDVD。看完之后，只需将。看完之后，只需将DVDDVD放进网站提供信放进网站提供信封寄回封寄回(邮费网站负担邮费网站负担)，即可进行下次租赁。，即可进行下次租赁。n例例5(DVD5(DVD在线租赁问题在线租赁问题)第29页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院30例例5(5(续续)DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5人数人数200200100100505025251010n网站准备购置一批新网站准备购置一批新DVDDVD，经过问卷调查，经过问卷调查10001000个会员，得到个会员，得到想看这些想看这些DVDDVD人数人数(以下表所表示以下表所表示)n基本假设基本假设n60%60%会员每个月租赁会员每个月租赁DVDDVD两次，而另外两次，而另外40%40%只租一次；只租一次；n网站现有网站现有1010万会员万会员n问题问题 ：每种每种DVDDVD最少准备多少张，才能满足下面需求最少准备多少张，才能满足下面需求n确保想看该确保想看该DVDDVD会员中有会员中有50%50%能够在一个月内看到？能够在一个月内看到？n确保在确保在3 3个月内最少个月内最少95%95%会员看到该会员看到该DVDDVD？表表1 1：对：对10001000个会员调查部分结果个会员调查部分结果第30页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院31例例5(5(续续)对某种对某种DVDDVD，会员是否租赁有随机性，会员是否租赁有随机性(租赁或不租赁租赁或不租赁)，可用两点分布描述，假定被租赁概率为可用两点分布描述，假定被租赁概率为p p；会员总数为会员总数为n n，每个会员租该，每个会员租该DVDDVD概率为概率为 p p，且会员是，且会员是否租赁之间相互独立，于是租赁该否租赁之间相互独立，于是租赁该DVDDVD会员数服从二会员数服从二项分布项分布B(n,p);B(n,p);n n充分大时，依据中心极限定理，可用正态分布来迫近充分大时，依据中心极限定理，可用正态分布来迫近二项分布，进而求得在一定置信度下满足会员需求二项分布，进而求得在一定置信度下满足会员需求DVDDVD数量下限；数量下限；考虑考虑DVDDVD可重复利用率，可得到经营者在一定条件下可重复利用率，可得到经营者在一定条件下尽可能降低成本，并满足会员需求尽可能降低成本，并满足会员需求DVDDVD最小购置量。最小购置量。n问题分析问题分析第31页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院32例例5(5(续续)设设 =n求解过程求解过程1 1，第，第i i个会员租赁第个会员租赁第j j张张DVDDVD，0 0，第，第i i个会员不租赁第个会员不租赁第j j张张DVDDVD，n则则 服从两点分布，即服从两点分布，即 ，其中其中 值见下表值见下表2.2.DVDDVD名称名称DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD5第第j j张张DVDDVD被被租赁概率租赁概率表表2 2：会员租赁：会员租赁5 5种种DVDDVD概率概率第32页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院33例例5(5(续续)设设 ，即，即1010万个会员中租赁万个会员中租赁 第第j j种种DVDDVD总数，因为总数，因为 ()()之间相互独立之间相互独立，所以，所以 服从二项分布，即服从二项分布，即n同时，同时，n因为租赁该因为租赁该DVDDVD会员人数随机，为了使最少会员人数随机，为了使最少50%50%会员看到会员看到该该DVDDVD，网站应准备，网站应准备DVDDVD数量也应有随机性。数量也应有随机性。第33页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院34例例5(5(续续)于是，以它数学期望作为网站应准备于是，以它数学期望作为网站应准备DVDDVD数量，即数量，即n这么，满足最少这么，满足最少50%50%会员看到该会员看到该DVDDVD概率能够近似为概率能够近似为De Moivre LaplaceDe Moivre Laplace中心极限定理中心极限定理最少最少50%50%会员看到该会员看到该DVDDVD置置信度为信度为50%50%第34页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院35例例5(5(续续)为提升最少为提升最少50%50%人能看到该片置信度，需要改变提供人能看到该片置信度，需要改变提供DVDDVD数量。设置信度为数量。设置信度为99%99%，即，即 ，查表可得，查表可得t=2.33t=2.33，即即准备这么多张对应准备这么多张对应DVDDVD，则可使，则可使50%50%人看人看到该到该DVDDVD置信度提升至置信度提升至99%99%第35页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院36例例5(5(续续)于是，该于是，该DVDDVD被再次利用期望值为被再次利用期望值为n所以，只需准备所需量所以，只需准备所需量70%70%即可满足题目中要求。即可满足题目中要求。n总而言之，为了以总而言之，为了以99%99%置信度满足最少置信度满足最少50%50%会员看到某种会员看到某种DVDDVD，需准备该，需准备该DVDDVD数量为数量为n部分部分DVDDVD可重复利用可重复利用q60%60%会员每个月租赁会员每个月租赁DVDDVD两次，两次，40%40%租一次。租一次。q租两次会员会将第一次租两次会员会将第一次DVDDVD偿还，则能够满足其它会员要求。偿还，则能够满足其它会员要求。q但该张但该张DVDDVD在一个月内被会员第一次还是第二次租赁是随机，可假设在一个月内被会员第一次还是第二次租赁是随机，可假设二者等可能发生。二者等可能发生。第36页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院37例例5(5(续续)置信度及对应置信度及对应t t值值DVD1DVD1DVD2DVD2DVD3DVD3DVD4DVD4DVD5DVD550%50%t=0t=070007000350035001750175087587535035070%70%t=0.53t=0.5370247024351835181763176388588535635680%80%t=0.85t=0.8570387038352935291771177189089036036099%99%t=2.33t=2.33710471043578357818071807916916375375n由公式由公式 n代入相关数据，即可得到下表代入相关数据，即可得到下表3 3所表示为确保最少所表示为确保最少50%50%人在人在一个月内看到该一个月内看到该DVDDVD，网站需准备，网站需准备DVDDVD张数。张数。表表3 3：为了使最少：为了使最少50%50%人看到某人看到某DVDDVD，网站需准，网站需准备备DVDDVD张数张数.第37页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院38随机决议问题特点随机决议问题特点自然状态自然状态：凡是能够引发决议问题不确定：凡是能够引发决议问题不确定原因原因随机性决议问题特点随机性决议问题特点决议人面临选择，能够选择行动决议人面临选择，能够选择行动(备选方案备选方案)不不唯一；唯一；自然状态存在不确定性，因为自然状态不确定自然状态存在不确定性，因为自然状态不确定性造成后果不确定；性造成后果不确定；后果价值待定后果价值待定.第38页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院39随机决议问题要素随机决议问题要素行动集行动集(方案集方案集)：记为：记为 ，决议人，决议人可能采取行动集合；若有观察值，也称策略集；可能采取行动集合；若有观察值，也称策略集；自然状态集自然状态集(状态空间、参数空间状态空间、参数空间)：全部可能自然：全部可能自然状态，记为状态，记为 ；后果集后果集：记为：记为 ，决议问题各种可能后果；决议问题各种可能后果；信息集信息集(样本空间、观察空间样本空间、观察空间).).第39页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院40随机决议问题分析方法随机决议问题分析方法n决议树树状图决议树树状图决决议议点点决决议议枝枝机机会会点点机机会会枝枝后后果果点点后后果果值值第40页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院41决议树树状图示例决议树树状图示例n出门带伞问题出门带伞问题:尽可能少地增加决议人负担情尽可能少地增加决议人负担情况下防止淋雨况下防止淋雨带伞带伞不带伞不带伞有雨有雨无雨无雨有雨有雨无雨无雨带伞遇雨带伞遇雨带伞无雨带伞无雨未带伞遇雨未带伞遇雨未带伞无雨未带伞无雨注：注：树状图不但能够表示单步决议问题，也能够表示复杂树状图不但能够表示单步决议问题，也能够表示复杂多级决议问题。多级决议问题。岳超源岳超源.决议理论与方法决议理论与方法.北京北京:科学出版社科学出版社,.,.第41页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院42随机决议问题求解步骤随机决议问题求解步骤结构决议问题：结构决议问题：为决议问题提供可能处理方案并为决议问题提供可能处理方案并确定目标；确定目标；n确定各种决议可能后果并设定各种后果概率；确定各种决议可能后果并设定各种后果概率；n确定各种后果对决议人实际价值确定各种后果对决议人实际价值(对后果偏爱对后果偏爱)；n备选方案评价与比较，选择最满意决议备选方案评价与比较，选择最满意决议q方案优劣依据是各种决议期望效用，使其最大化方案优劣依据是各种决议期望效用，使其最大化岳超源岳超源.决议理论与方法决议理论与方法.北京北京:科学出版社科学出版社,.,.第42页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院43效用函数定义效用函数定义后果集有时是用语言描述，评价时需要量化，即后果集有时是用语言描述，评价时需要量化，即使后果集是用数量表示，不一样人对其认识也不使后果集是用数量表示，不一样人对其认识也不一样。一样。怎样对后果集进行合理量化？怎样对后果集进行合理量化？n定义定义 在集合在集合 上实值函数上实值函数 ，若它和，若它和 上优先关系上优先关系 一致，即一致，即当且仅当当且仅当则称则称 为为效用函数效用函数.：各种后果及其出现概率组合：各种后果及其出现概率组合“”“”表示若表示若 ，则决议人只选，则决议人只选 ，而不选，而不选 注：注：第43页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院44效用函数结构效用函数结构离散型后果离散型后果确定后果之间优先序和优先程度确定后果之间优先序和优先程度连续型后果连续型后果经过分析找到经过分析找到 若干特征，求特征点效用，若干特征，求特征点效用，连成光滑曲线连成光滑曲线 n针对一个详细决议问题，怎样结构效用函数？针对一个详细决议问题，怎样结构效用函数？第44页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院45离散型后果效用函数结构离散型后果效用函数结构n设后果集为离散型，即设后果集为离散型，即 ，则结，则结构其效用函数主要步骤为构其效用函数主要步骤为第45页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院46离散型后果效用函数结构离散型后果效用函数结构(续续)第46页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院47离散型后果效用函数结构示例离散型后果效用函数结构示例例例6 6 天气预报说球赛时可能会下雨，一足球兴趣天气预报说球赛时可能会下雨，一足球兴趣者需决定是否去球场看球。对此人而言，不下雨者需决定是否去球场看球。对此人而言，不下雨去球场看球是最理想，若不下雨，则留在家中看去球场看球是最理想，若不下雨，则留在家中看电视转播为好；不下雨在家看电视即使不以下雨电视转播为好；不下雨在家看电视即使不以下雨看电视，但比下雨去球场看球挨淋要强。试设定看电视，但比下雨去球场看球挨淋要强。试设定各种后果效用值。各种后果效用值。：看球；：看球；：看电视。：看电视。：下雨看球；：下雨看球；：无雨看球；：无雨看球；：下雨看电视；：下雨看电视；：无雨看电视。：无雨看电视。第47页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院48离散型后果效用函数结构示例离散型后果效用函数结构示例(续续)：看球；：看球；：看电视。：看电视。：下雨看球；：下雨看球；：无雨看球；：无雨看球；：下雨看电视；：下雨看电视；：无雨看：无雨看电视。电视。有雨看球有雨看球无雨看球无雨看球有雨看电视有雨看电视无雨看电视无雨看电视看球看球看电视看电视有雨有雨无雨无雨有雨有雨无雨无雨n首先结构该问题决议树，以下列图所表示。由题意，首先结构该问题决议树，以下列图所表示。由题意，决议人对决议人对4 4种后果优劣排序是：种后果优劣排序是：第48页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院49离散型后果效用函数结构示例离散型后果效用函数结构示例(续续)n效用函数结构过程效用函数结构过程第49页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院50离散型后果效用函数结构示例离散型后果效用函数结构示例(续续)n一致性检验过程一致性检验过程第50页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院51效用函数结构效用函数结构后果损失严重程度后果损失严重程度后果出现损失可能性大小后果出现损失可能性大小n风险风险n风险度量方式风险度量方式1-1-方差方差第51页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院52效用函数结构效用函数结构n风险度量方式风险度量方式2-2-自方差自方差第52页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院53效用函数结构效用函数结构n风险度量方式风险度量方式3-3-临界概率临界概率第53页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院54决议准则决议准则决议人无法确知未来真实自然状态，但能够给出各决议人无法确知未来真实自然状态，但能够给出各种可能出现自然状态种可能出现自然状态 及各种状态出现概率及各种状态出现概率n风险型决议风险型决议n准则准则1-1-最大可能值准则最大可能值准则 n在方案在方案 全部后果中，以出现可能性最大后果，作为全部后果中，以出现可能性最大后果，作为评价评价 优越数值指标优越数值指标 ，即，即采取采取 出现出现 效用效用 采取采取 出现出现 损失损失 第54页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院55决议准则决议准则若后果为若后果为效用效用,令令 ,则则应选应选 使使n最大可能值准则详细过程最大可能值准则详细过程n若后果为若后果为损失损失,令令 ,则则应选应选 使使.第55页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院56决议准则决议准则n例例6 6 设决议问题损失矩阵如表设决议问题损失矩阵如表4 4所表示所表示0.20.27 76.56.56 60.50.53 34 45 50.30.34 41 10 0表表4 4：损失矩阵：损失矩阵第56页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院57决议准则决议准则按照贝叶斯准则，在以按照贝叶斯准则，在以效用效用表示后果时应该用期望效用表示后果时应该用期望效用 作为评价作为评价 指标，即指标，即决议人应该选择方案决议人应该选择方案 使期望效用到达最大，即使期望效用到达最大，即n准则准则2-2-贝叶斯准则贝叶斯准则 第57页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院58决议准则决议准则若以若以损失损失表示后果，则应使用期望损失表示后果，则应使用期望损失 评价方案评价方案 优优劣，应选择方案劣，应选择方案 使期望损失达最小，即使期望损失达最小，即n在例在例6 6中，各行动方案期望损失为中，各行动方案期望损失为n所以，依据期望损失最小化准则，应选择行动方案所以，依据期望损失最小化准则，应选择行动方案 。第58页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院59决议准则决议准则该准则要求先确定决议人实际价值，即效用函数，若采取该准则要求先确定决议人实际价值，即效用函数，若采取损失，则应该是效用函数负值，再依据贝叶斯标准寻找最损失，则应该是效用函数负值，再依据贝叶斯标准寻找最优方案。优方案。n准则准则3-3-伯努利准则伯努利准则 n准则准则4-E-V4-E-V准则准则 n贝叶斯准则只采取后果均值贝叶斯准则只采取后果均值(期望损失期望损失 )作为评价方案作为评价方案优劣标准，而忽略了风险原因。优劣标准，而忽略了风险原因。n为了兼顾风险，可选取为了兼顾风险，可选取E-VE-V准则，即均值准则，即均值-方差准则。方差准则。第59页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院60决议准则决议准则设自然状态设自然状态 概率分布为概率分布为 ，方案，方案 ，期望期望损失为损失为nE-VE-V准则介绍准则介绍 第60页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院61决议准则决议准则nE-VE-V准则应用准则应用4.14.13.63.63.73.72.292.293.793.795.975.97表表5 5：例：例6 6中各种方案中各种方案E-VE-V值值.n不存在符合不存在符合E-VE-V准则方案准则方案.第61页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院62决议准则决议准则在状态概率分布预计不可靠或未知时，能够采取下式评价在状态概率分布预计不可靠或未知时，能够采取下式评价方案方案 优劣优劣n准则准则5-5-不完全信息情况下决议准则不完全信息情况下决议准则 n其中其中 是所预计概率分布可靠系数是所预计概率分布可靠系数.越小越小,越越优。优。n该准则实际上是贝叶斯准则该准则实际上是贝叶斯准则()()与求解严格不确定性问与求解严格不确定性问题题WaldWald消极准则消极准则()()线性组合，对自然状态预计可靠部线性组合，对自然状态预计可靠部分作为风险问题用贝叶斯准则分作为风险问题用贝叶斯准则()()预计，不可靠部分作为预计，不可靠部分作为严格不确定性问题用严格不确定性问题用WaldWald消极准则消极准则()()求解。求解。第62页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院63贝叶斯决议贝叶斯决议实际应用中，需预计随机变量是未来自然状态实际应用中，需预计随机变量是未来自然状态 ，经过随机，经过随机试验所观察到往往是与之相关另一随机变量试验所观察到往往是与之相关另一随机变量 值。值。n对连续型随机变量对连续型随机变量 和和 ，其条件概率密度函数为，其条件概率密度函数为 连续时连续时 离散时离散时第63页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院64贝叶斯决议贝叶斯决议决议空间决议空间：全部可能决议规则集合：全部可能决议规则集合样本空间样本空间：随机试验得到观察值：随机试验得到观察值 组成集合组成集合决议规则决议规则 ：样本空间到决议空间映射：样本空间到决议空间映射当决议人经过随机试验得到观察值当决议人经过随机试验得到观察值 后，需基于后，需基于观察值观察值 和某种决议准则和某种决议准则 去选择适当行动去选择适当行动 ，使，使得得 若真实状态为若真实状态为 ，则对应损失为，则对应损失为第64页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院65贝叶斯决议贝叶斯决议风险函数风险函数：给定自然状态：给定自然状态 ，采取决议规则，采取决议规则 时，时，损失函数损失函数 对随机试验后果对随机试验后果 期望值，记为期望值，记为 ，即，即 为为连续连续型随机变量型随机变量 为为离散离散型随机变量型随机变量问题问题：决议分析时自然状态未知，只能对其设定先验概率，：决议分析时自然状态未知，只能对其设定先验概率，用风险函数关于自然状态期望来描述实际损失。用风险函数关于自然状态期望来描述实际损失。第65页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院66贝叶斯决议贝叶斯决议贝叶斯风险贝叶斯风险：若自然状态先验概率为：若自然状态先验概率为 ，决，决议人采取决议议人采取决议 ，风险函数，风险函数 关于自然关于自然状态状态 期望值，记为期望值，记为 ，即，即 和和 为为连续连续型随机变量时型随机变量时 和和 为为离散离散型随机变量时型随机变量时第66页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院67贝叶斯决议贝叶斯决议假如假如 ，则策略，则策略 优于优于 ，记为，记为对于先验分布对于先验分布 ，若策略空间存在某个策略，若策略空间存在某个策略 ，使得对任意使得对任意 ，有，有 ，则称，则称 是是贝贝叶斯规则叶斯规则(Bayes(Bayes策略策略)。贝叶斯规则贝叶斯规则 是最优是最优 决议规则，它能使贝叶斯风险决议规则，它能使贝叶斯风险到达极小。考虑贝叶斯风险时应选择到达极小。考虑贝叶斯风险时应选择 ，使，使 。.第67页2024/11/11 周一西安交通大学 理学院68贝叶斯决议贝叶斯决议不存在观察值决议问题称为不存在观察值决议问题称为无观察数据问题无观察数据问题。此。此时，时，以上是用损失函数描述决议后果情况。以上是用损失函数描述决议后果情况。若采取效用函数代替损失函数，则若采取效用函数代替损失函数，则 对对应是真实自然状态为应是真实自然状态为 、采取策略、采取策略 时收益性时收益性后果期望效用；后果期望效用；对应是先验概率为对应是先验概率为