1、8.3 有理函数和可化为 有理函数不定积分一、有理函数积分二、三角函数有理式积分三、简单无理函数积分1/31有理函数定义：有理函数定义：两个多项式商表示函数称之两个多项式商表示函数称之.一、有理函数积分2/31假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式能够化成一个假分式能够化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.3/31（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数
2、化为部分分式之和普通规律：有理函数化为部分分式之和普通规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为4/31（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为5/31真分式化为部分分式之和真分式化为部分分式之和待定系数法待定系数法例例1 16/31代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 27/31例例3 3整理得整理得8/31例例4 4 求积分求积分 解解9/31例例5 5 求积分求积分 解解10/31例例6 6 求积分求积分解解令令11/3112/31说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化
3、为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令13/31则则记记14/31这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数原函数都是初等函数有理函数原函数都是初等函数.15/31三角有理式定义：三角有理式定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函数称之普通记为组成函数称之普通记为二、三角函数有理式积分16/31令令（万能置换公式）（万能置换公式）17/31例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式18/3119/31例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）2
4、0/31解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令21/31解（三）解（三）能够不用万能置换公式能够不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一便知万能置换不一定是最正确方法定是最正确方法,故三角有理式计算中故三角有理式计算中先考虑其它伎俩先考虑其它伎俩,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.22/31例例9 9 求积分求积分解解23/3124/31讨论类型讨论类型处理方法处理方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数积分25/3126/31例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无
5、理函数去根号时,取根指数取根指数最小公倍数最小公倍数.27/31例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式28/31简单无理式积分简单无理式积分.有理式分解成部分分式之和积分有理式分解成部分分式之和积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式积分三角有理式积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结29/31思索题思索题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？30/31思索题解答思索题解答分解后部分分式必须是最简分式分解后部分分式必须是最简分式.31/31
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
