GV-平坦模.pdf

第5 9卷2 0 2 3年第5期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.5 9 2 0 2 3 N o.5 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 3.0 5.0 0 6收稿日期:2 0 2 1 1 2 2 0;修改稿收到日期:2 0 2 2 0 4 0 6基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 0 6 1 0 0 1)作者简介:张晓磊(1 9 8 6),男,山东青岛人,讲师,博士.主要研究方向为同调代数.E m a i l:z x l r g h j 1 6 3.c o mG V-平坦模张晓磊(山东理工大学 数学与统计学院,山东 淄博 2 5 5 0 0 0)摘要:研究G V-平坦模及其盖包理论.利用GV-平坦模给出了DW-环和v o n N e u m a n n正则环新的等价刻画;证明了任意模都有G V-平坦盖;环R是G V-凝聚环当且仅当任意R-模都有GV-平坦预包.通过具体例子区分了GV-平坦模和w-平坦模、G V-凝聚环和w-凝聚环.关键词:G V-平坦模;GV-凝聚环;平坦盖;平坦预包中图分类号:O 1 5 4.2 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 3)0 5-0 0 2 9-0 6GV-f l a t m o d u l e sZ HANG X i a o-l e i(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,S h a n d o n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,Z i b o 2 5 5 0 0 0,S h a n d o n g,C h i n a)A b s t r a c t:T h e GV-f l a t m o d u l e s a n d i t s c o v e r i n g p r o p e r t i e s a r e d i s c u s s e d.T h e DW-r i n g s a n d v o n N e u a m n n r e g u l a r r i n g s a r e c h a r a c t e r i z e d b y u t i l i z i n g GV-f l a t m o d u l e s.I t i s p r o v e d t h a t a n y R-m o d u l e h a s a GV-f l a t c o v e r,a n d a r i n g R i s GV-c o h e r e n t i f a n d o n l y i f a n y R-m o d u l e h a s a GV-f l a t p r e e n v e l o p e.S o m e c o n c r e t e e x a m p l e s a r e g i v e n t o d i s t i n g u i s h GV-f l a t m o d u l e s a n d w-f l a t m o d u l e s,GV-c o h e r e n t r i n g s a n d w-c o h e r e n t r i n g s.K e y w o r d s:GV-f l a t m o d u l e;GV-c o h e r e n t r i n g;f l a t c o v e r;f l a t e n v e l o p e0 引言本文所有的环均指有单位元的交换环.众所周知,平坦模类作为经典同调代数的三大模类之一,对同调代数与环论的发展起着非常重要的作用,例如,利用平坦模类构造模的经典平坦维数和环的弱总体维数;平坦模类也可以刻画v o n N e u m a n n正则环、P r f e r整环和凝聚环等经典环类1.近来,广义平坦模得到了越来越多学者的关注.2 0 1 0年,X i a n g2引入M a x-平坦模并研究了其盖包理论;2 0 1 3年,T a n g3引入强M a x-平坦模并研究了模的强M a x-平坦维数.1 9 9 3年,E n o c h s等4引入并研究了一般环上的G o r e n s t e i n平坦模,进而完备了一般环上的G o r e n s t e i n同调代数理论.星型算子,例如v-算子和t-算子,在经典整环的推广研究中起着关键作用,如M o r i整环既可以看成v-版本的诺特整环,又可以看成t-版本的诺特整环.为 了 研 究 强M o r i整 环,1 9 9 7年,W a n g等5引进整环上的w-算子,并且定义了w-模等相关概念.2 0 1 0年,Y i n等6将文献5 的工作扩展到一般交换环上.自此之后,交换环上w-算子的模理论成为研究交换环论的一种重要方法.2 0 1 4 年,K i m等7引入w-平坦模,并给出了w-内射模的若干等价刻画.随后,W a n g等8证明了R是v o n N e u m a n n正则环当且仅当任意R-模都是w-平坦模;W a n g等9利用w-平坦模引进了环的w-弱总体维数,证明了P v MD恰好是w-弱总体维数至多为1的整环.92西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 本文利用w-算子从另一个角度推广平坦模,得到了GV-平坦模.我们研究了GV-平坦模的一般性质和盖包性质,特别地,利用GV-平坦模刻画了DW-环、v o n N e u m a n n正则环和GV-凝聚环.由于本文涉及w-算子理论,所以我们首先回顾相关概念1.设J是R的有限生成理想,若自然同态:RJ*=H o mR(J,R)是同构,则称J为G l a z-V a s c o n c e l o s 理想,简称为GV-理想,并且记JGV(R).设M是R-模,定义T o rGV(M)=xM:存 在JGV(R)满 足J x=0.如 果T o rGV(M)=M,则 称M为GV-挠 模;如 果T o rGV(M)=0,则称M为GV-无挠模.一个 GV-无挠模称为w-模,如果对任意JGV(R),都有E x t1R(R/J,M)=0.任意R-模都是w-模的环称为DW-环.2 0 1 9年,T a m e k k a n t e等1 0从模理论 角度给出了DW-环的等价刻画.最近,文献1 1 从同调角度刻画了DW-环,即证明了环R是DW-环当且仅当R的小有限维数至多为1.特别地,半单环、遗传环、K r u l l维数为0的环以及K r u l l维数为1的整环都是DW-环.一个极大w-理想是R的关于包含关系极大的w-理想.所有极大w-理想构成的集 合 记 为w-M a x(R).根 据 文 献 1 定 理 6.2.1 4,集合w-M a x(R)非空且所有的极大w-理想都是素理想.设M是一个GV-无挠 模,定 义Mw=xE(M):存在JGV(R),使得J xM,并称之为M的w-包络,其中E(M)是M的内射包.因此,M是w-模当且仅当Mw=M.R-同态f:AB称为 w-单同态(w-满同态,w-同构),如果对任意mw-M a x(R),都有fm:AmBm是单同态(满同态,同构).序列ABC称为w-正合列,如果对任意mw-M a x(R),AmBmCm是正合列.设M是R-模.若存在有限生成自由F和一个w-满同态g:FM,则称M为有限型的;若存在w-正合序列F1F0M0,其中F0和F1是有限生成自由模,则称M为有限表现型的.1 GV-平坦模若对任意GV-挠模T都有E x t1R(T,M),则称R-模E为GV-内射模.设I是R-理想,若I包含R的一个GV-理想,则称I是弱GV-理想.类似于经典B a e r准则的证明可得,R-模E是GV-内射模当且仅当对任意弱GV-理想I都有E x t1R(R/I,E)=0.对偶地,我们给出GV-平坦模的定义.定义1 设F是R-模.若对任意GV-挠模T都有T o rR1(T,F)=0,则称F为GV-平坦模.所有的GV-平坦模构成R的模类记为FGV.定理1 设F是R-模,则下列结论等价:(1)F是GV-平坦模;(2)对任意弱GV-理想I都有T o rR1(R/I,F)=0;(3)对任意GV-理想J都有T o rR1(R/J,F)=0;(4)对任意弱GV-理想I,乘法同态iI:IRFI F是同构;(5)对任意GV-理想J,乘法同态iJ:JRFI F是同构;(6)设E是R-模的内射余生成子,则H o mR(F,E)是GV-内射模;(7)对任意内射模E,H o mR(F,E)是GV-内射模.证明(1)(2)(3)和(7)(6)显然.(1)(6).假设T是GV-挠模,E是R-模的内射余生成子,则由伴随同构H o mR(T o rR1(T,F),E)E x t1R(T,H o mR(F,E)可得T o rR1(T,F)=0当且仅当E x t1R(T,H o mR(F,E)=0.(2)(7).假 设 对 任 意 弱GV-理 想I,T o rR1(R/I,F)=0.设E是内射R-模,则由伴随同构H o mR(T o rR1(R/I,F),E)E x t1R(R/I,H o mR(F,E)可得:对任意弱GV-理想I,有E x t1R(R/I,H o mR(F,E)=0.从而H o mR(F,E)是GV-内射模.(2)(4).设I是R的弱GV-理想,考虑长正合列0 T o rR1(R/I,F)IRFI F0即可得证.(3)(5).类似于(2)(4).(5)(4).设I是弱GV-理想,则存在GV-理想LI.由此只需证明iI是单同态即可.若iI ni=1aixi=ni=1aixi=0.03 2 0 2 3年第5期 张晓磊:G V-平坦模 2 0 2 3 N o.5GV-f l a t m o d u l e s令J=R a1+R an+L,则J是GV-理想(文献1 命题6.1.9(2).考虑交换图则由条件(5)可得iJ是同构.故在JRF中,ni=1aixi=0.由交换图可知,在IRF中,也有ni=1aixi=0.从而,iI是单同态.】设M是R-模.若对任何w-单同态f:AB,1MRf:MRAMRB仍是w-单同态,则称M为w-平坦模7.R-模M是w-平坦模当且仅当对任意mw-M a x(R),Mm是平坦Rm-模1.关于w-平坦模的更多介绍可参见文献1 2.显然,GV-挠模和平坦模都是w-平坦模.下面例子说明GV-挠模不一定是GV-平坦模.例1 设R=kx1,x2 是域K上的二元多项式环.令J=x1,x2,则根据文献1 例7.6.1可得J是GV-理想,从而R/J是GV-挠模.因为J不是幂等理想,所以T o rR1(R/J,R/J)=J/J20.从而R/J不是GV-平坦模.众所周知,环R是DW-环当且仅当R的GV-理想只有R本身.下面利用GV-平坦模刻画DW-环.定理2 设R是环,则下列结论等价:(1)R是DW-环;(2)任意R-模都是GV-平坦模;(3)GV-平坦R-模的子模是GV-平坦模;(4)平坦R-模的子模是GV-平坦模;(5)任意有限生成理想都是GV-平坦理想.证明(1)(2)(3)(4)(5)显然.(5)(1).设I是R的有限生成理想,J是R的GV-理想.考虑两个短正合列0IRR/I0,0JRR/J0.再由(5)可得T o rR1(R/J,I)T o rR1(R/I,J)=0,从而J是平坦理想.因此J=Jw=R(见文献1命题6.1.1 3(3)及练习6.1 0).】根据 文 献 8定 理 4.4可 得,R是v o n N e u m a n n正则环当且仅当任意R-模都是w-平坦模,从而存在GV-平坦模M不是w-平坦模的环.例2 设R是非v o n N e u m a n n正则的DW-环(例如R为K r u l l维数为1的整环),则任意R-模都是GV-平坦模.因为R不是v o n N e u m a n n正则环,从而存在R-模M不是w-平坦模.引理1 设p是R的素w-理想,M是R-模,则Mp是GV-平坦R-模.证明 设J是R的GV-理想,p是R的素w-理想.因为R/J是GV-挠模,根据文献1 定理6.2.1 5可得Rp/Jp=0.根据文献1 3 定理1.3.1 1可知T o r1R(R/J,Mp)T o r1Rp(Rp/Jp,Mp)=0.故Mp是GV-平坦R-模.】显然,任意平坦模都是GV-平坦模.下面我们刻画GV-平坦模都是平坦模的环.引理2 设R是环,则下列结论等价:(1)R是v o n N e u m a n n正则环;(2)任意GV-平坦R-模都是平坦模.证明(1)(2)显然.(2)(1).设m是R的极大w-理想,M是Rm-模,则由引理1可得MMm是GV-平坦R-模,故是平坦R-模.因此M也是平坦Rm-模,从而Rm是v o n N e u m a n n正则环,故是域.根据文献8 定理4.4可得,R是v o n N e u m a n n正则环.】2 GV-平坦模类的盖包性质一个R-模类R称为预盖类,如果对任意R-模M,存在一个同态f:F(M)M,其中F(M)R使得对任意FR,g:FM必然经过f分解.此外,如果使分解f=f h成立的h只有同构,则称R为盖类.对偶地,可以定义预包类和包类.设R是R-模类.记R1=M:E x t1R(F,M)=0,FR,1R=N:E x t1R(N,C)=0,CR,1R=N:T o rR1(N,C)=0,CR.一对模类(R,P)称为余挠对,如果R1=P并且1P=R;一对模类(R,P)称为T o r-对,如果1R=P并且1P=R.余挠对(R,P)称为完全的,如果R是盖类并且P是包类.1 9 6 9年,L e n z i n g等1 4证明了平坦余挠对是完全的,从而完全解决了著名的平坦盖猜想:任意结合环上,每个模都有平坦盖.文献1 5 证明了w-平坦模类是盖类,下面结果说明GV-平坦模类也是盖类.13西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 定理3 设R是任意环,则(FG V,F1G V)是完全的余挠对,从而任意R-模都有GV-平坦盖.证明 根据定理1,(FGV,1FG V)是T o r-对.根据文献1 6 引理5.1 7,(FG V,FGV1)是完全的余挠对,从而任意R-模都有GV-平坦盖.】若环R的任意有限型理想是有限表现型的,则称环R为w-凝聚环1 7.文献1 8,1 9 证明了:环R是w-凝聚环当且仅当任意平坦R-模的直积是w-平坦模,当且仅当R的任意直积是w-平坦模.为了研究GV-平坦模类的直积性质和(预)包性质,下面引入GV-凝聚环.定义2 设R是环,若任意GV-理想都是有限表现的,则称R为GV-凝聚环.显然,DW-环、凝聚环都是GV-凝聚环.为了给出一个环是GV-凝聚环但不是w-凝聚环的例子,我们回顾环的理想化构造2 0.设R是环,M是R-模,令R(+)M作为R-模同构于RM.定义(i)(r,m)+(s,n)=(r+s,m+n);(i i)(r,m)(s,n)=(r s,s m+r n).则R(+)M成为有单位元R(+)M的交换环.例3 设R=K(+)V,其中K是 域,V=i=1K是可数个K的直积构成的无限维K-空间,则R的K r u l l维数为0,从而R是DW-环,故R是GV-凝聚环.设e=(1,1,)是V中分量全为1的元素.由于(0:R(0,e)=0(+)V不是有限生成R-理想,所以R不是凝聚环,也不是w-凝聚环.下面给出w-凝聚环不是GV-凝聚环的例子.例4 设R是非凝聚的G C D整环1,则存在有限生成理想I=x1,xn不是有限表现的(其中xi0,i=1,n).令d=g c d(x1,xn)为x1,xn的最大公因子,则存在有限生成理想J使得I=d J.根据文献1 例7.6.1可得,J是GV-理想.但由于JI,J不是有限表现的,故R不是GV-凝聚环.因为R是G C D整环,所以R是w-凝聚环.定理4 对于环R,下列结论等价:(1)R是GV-凝聚环;(2)GV-平坦模的直积是GV-平坦模;(3)平坦模的直积是GV-平坦模;(4)R的直积是GV-平坦模;(5)对于任意GV-内射模N及内射模E,都有H o mR(N,E)是GV-平坦模;(6)若E是内射余生成子,则对于任意GV-内射模N都有H o mR(N,E)是GV-平坦模.(7)对任意GV-平坦模M及内射模E1,E2,都有H o mR(H o mR(M,E1),E2)是GV-平坦模.(8)若E1,E2是内射余生成子,则对任意GV-平坦模E1和E2都有H o mR(H o mR(M,E1),E2)是GV-平坦模.证明(2)(3)(4)显然成立.(1)(2).设I是GV-理想,Fi:i是一族GV-平坦模构成的集合.考虑交换图由于R是GV-凝聚环,I是有限表现理想,所以I是同构,进而是同构.故iIFi是GV-平坦模.(4)(1).设I是GV-理想,考虑交换图由于I是有限生成理想,所以f是同构.又因为iIR是GV-平坦模,自然同态是同构.从而I是同构,所以I是有限表现理想1 4.(1)(5).设I是GV-理想,E是内射模,N是GV-内射模.用(-,-)代替H o mR(-,-),并考虑短正合列0IRR/I0,则有正合列交换图 由于R是GV-凝聚环,所以I是有限表现理想,故R和I是同构,从而1R/I也是同构.由于N是GV-内 射 模,E x t1R(R/I,N)=0,故T o rR1(R/I,H o mR(N,E)=0,从而H o mR(N,E)是GV-平坦模.(5)(6)和(7)(8)显然成立.23 2 0 2 3年第5期 张晓磊:G V-平坦模 2 0 2 3 N o.5GV-f l a t m o d u l e s(5)(7)和(6)(8).根据定理1可得.(6)(1).设I是GV-理想,N是GV-内射模,E是内射余生成子,则有交换图由(6)可得f是单态射.故I是单态射,从而由文献2 1 命题8.1 4(1)可得,I是R-M i t t a g-L e f f l e r模.又因为I是有限生成理想,所以根据文献1 4定理2可得,I是有限表现理想.】定理5 设R是环,则R是GV-凝聚环当且仅当GV-平坦模类FG V是预包类.证明 设R是GV-凝聚环,则由定理4可得FGV关于直积封闭.因为FG V关于纯子模封闭,所以由文献2 2 推论6.2.2及引理5.3.1 2可得GV-平坦模类是预包类.另一方面,设Fi:i 是一些 GV-平坦模构成的集合,iFiF是GV-平坦预包,则对每个i,都存在分解iFiFFi,从而iFiFiFi是恒等同态.因此,iFi是F的直和项,iFi是GV-平坦模.又由定理4可得R是GV-凝聚环.】推论1 设环R是GV-凝聚环,GV-平坦模类FGV关于反向极限封闭,所以FGV是包类.证明 由定理 5可得G V-平坦模类是预包类,从而由文献2 2 推论6.3.5可得FG V是包类.】推论2 设R是环,则下列结论等价:(1)R是DW-环;(2)任意R-模都有满的GV-平坦包;(3)任意R-模都有满的GV-平坦预包.证明(1)(2).设R是DW-环.由定理2可得任意R-模都是GV-平坦模,所以(2)显然成立.(2)(3)显然.(2)(1).设F是GV-平坦模,i:KF是嵌入同态且满同态f:KF 是GV-平坦预包,因此存在同态g:F F使得i=g f,因此f是单同态,从而KF 是GV-平坦模.由定理2可得R是DW-环.】参考文献:1 WAN G F a n g-g u i,K I M H.F o u n d a t i o n s o f C o mm u t a t i v e R i n g s a n d T h e i r M o d u l e sM.S i n g a p o r e:S p r i n g e r,2 0 1 6.2 X I ANG Y u e-m i n g.M a x-i n j e c t i v e,m a x-f l a t m o d u l e s a n d m a x-c o h e r e n t r i n g sJ.B u l l e t i n o f t h e K o r e a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 1 0,4 7(3):6 1 1.3 TANG X i.S t r o n g l y m a x-f l a t m o d u l e sJ.C o mm u n i c a t i o n s i n A l g e b r a,2 0 1 3,4 1(3):1 0 6 0.4 E NO CH S E E,J E N D A O M G,T OR R E C I L L A S B.G o r e n s t e i n f l a t m o d u l e sJ.J o u r n a l o f N a n j i n g U n i v e r s i t y,M a t h e m a t i c a l B i q u a r t e r l y,1 9 9 3,1 0(1):1.5 WAN G F a n g-g u i,MC C A S L AN D R L.O n w-m o d u l e s o v e r s t r o n g M o r i d o m a i n sJ.C o mm u n i c a t i o n s i n A l g e b r a,1 9 9 7,2 5(4):1 2 8 5.6 Y I N H u a-y u,WAN G F a n g-g u i,Z HU X i a o-s h e n g,e t a l.w-m o d u l e s o v e r c o mm u t a t i v e r i n g sJ.J o u r n a l o f t h e K o r e a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 1 1,4 8(1):2 0 7.7 K I M H,WANG F a n g-g u i.O n L CM-s t a b l e m o d u l e sJ.J o u r n a l o f A l g e b r a a n d i t s A p p l i c a t i o n s,2 0 1 4,1 3(4):1 3 5 0 1 3 3,1 8 p.8 WAN G F a n g-g u i,K I M H.w-i n j e c t i v e m o d u l e s a n d w-s e m i-h e r e d i t a r y r i n g sJ.J o u r n a l o f t h e K o r e a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 1 4,5 1:5 0 9.9 WAN G F a n g-g u i,Q I AO L e i.T h e w-w e a k g l o b a l d i m e n s i o n o f c o mm u t a t i v e r i n g sJ.B u l l e t i n o f t h e K o r e a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 1 5,5 2:1 3 2 7.1 0 TAME KKAN T E M,A S S AA D R A K,B OU B A E M.N o t e o n t h e DW r i n g sJ.I n t e r n a t i o n a l E l e c t r o n i c J o u r n a l o f A l g e b r a,2 0 1 9,2 5:4 3.1 1 Z HANG X i a o-l e i,WAN G F a n g-g u i.T h e s m a l l f i n i t i s t i c d i m e n s i o n s o v e r c o mm u t a t i v e r i n g sJ.C o mm u t a t i v e A l g e b r a,h t t p s:/d o i.o r g/1 0.4 8 5 5 0/a r x i v.2 0 1 3.0 8 8 0 7.1 2 WAN G F a n g-g u i,K I M H.T w o g e n e r a l i z a t i o n s o f p r o j e c t i v e m o d u l e s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n sJ.J o u r n a l o f P u r e a n d A p p l i e d A l g e b r a,2 0 1 5,2 1 9(6):2 0 9 9.1 3 G L A Z S.C o mm u t a t i v e C o h e r e n t R i n g sM.L e c t u r e N o t e s i n M a t h e m a t i c s,v o l.1 3 7 1,B e r l i n:S p r i n g-V e r l a g,1 9 8 9.1 4 L E N Z I N G H.P r s e n t i e r b a r e m o d u l nJ.A r c h i v d e r M a t h e m a t i k,1 9 6 9,2 0(3):2 6 2.1 5 张晓磊.w-算子的盖包J.四川师范大学学报(自然科学版),2 0 1 9,4 2(3):3 8 2.1 6 GO B E L R,T R L I F A J J.A p p r o x i m a t i o n s a n d E n d o m o r p h i s m A l g e b r a s o f M o d u l e sM.D e G r u y t e r E x p M a t h,v o l 4 1,B e r l i n:W a l t e r d e G r u y t e r Gm b H&C o KG,2 0 1 2.33西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9 1 7 WAN G F a n g-g u i.F i n i t e l y p r e s e n t e d t y p e m o d u l e s a n d w-c o h e r e n t r i n g sJ.J o u r n a l o f S i c h u a n N o r m a l U n i v e r s i t y,2 0 1 0,3 3(1):1.1 8 Z HAN G X i a o-l e i,WAN G F a n g-g u i,Q I W e i.O n c h a r a c t e r i z a t i o n s o f w-c o h e r e n t r i n g sJ.C o mm u n i c a t i o n s i n A l g e b r a,2 0 2 0,4 8(1 1):4 6 8 1.1 9 Z H A N G X i a o-l e i,W A N G F a n g-g u i.O n c h a r a c t e r i z a t i o n s o f w-c o h e r e n t r i n g s I IJ.C o mm u n i c a t i o n s i n A l g e b r a,2 0 2 1,4 9(9):3 9 2 6.2 0 HU C KA B A J A.C o mm u t a t i v e R i n g s w i t h Z e r o D i v i s o r sM.M o n o g r a p h s a n d T e x t b o o k s i n P u r e a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s,1 1 7,N e w Y o r k:M a r c e l D e k k e r I n c,1 9 9 8.2 1 AN G E L E R I HG E L L,HE R B E R A D.M i t t a g-L e f f l e r c o n d i t i o n s o n m o d u l e sJ.I n d i a n a U n i v e r s i t y M a t h e m a t i c s J o u r n a l,2 0 0 8,5 7:2 4 5 9.2 2 E NO CH S E E,J E N D A O M G.R e l a t i v e H o m o l o g i c a l A l g e b r aM.D e g r u y t e r E x p o s i t i o n s i n M a t h e m a t i c s,v o l 3 0,B e r l i n:W a l t e r d e G r u y t e r,2 0 0 0.(责任编辑 马宇鸿)(上接第2 8页)条件(i).由Z(Tkn(R)=R In,Z(Tk1l(R)=R Il,Z(Tk2n-l(R)=R In-l可知,Tkn(R)满足定理1的条件(i i).最后由文献4 知,Tk1l(R)及Tk2n-l(R)满足定理1的条件(i i i).推论1 设R是含有单位元的(n-1)挠自由交换环,Tkn(R)(n3)是块上三角矩阵代数,且Tkn(R)Mn(R),则Tkn(R)上满足条件(i)的局部广义李n导子可以表示成(x)=G(x)+h(x),其中G:Tkn(R)Tkn(R)为广义导子,h:Tkn(R)R I满足h(pn(x1,x2,xn)=0,x1,x2,xnTkn(R).参考文献:1 CHE UN G W S.C o mm u t i n g m a p s o f t r i a n g u l a r a l g e b r a sJ.J L o n d o n M a t h S o c,2 0 0 1,6 3:1 1 7.2 CHE UN G W S.L i e d e r i v a t i o n s o f t r i a n g u l a r a l g e b r a sJ.L i n e a r M u l t i l i n e a r A l g e b r a,2 0 0 3,5 1(3):2 9 9.3 X I AO Z h a n-k u i,WE I F e n g.L i e t r i p l e d e r i v a t i o n s o f t r i a n g u l a r a l g e b r a sJ.L i n e a r A l g e b r a A p p l,2 0 1 2,4 3 7(5):1 2 3 4.4 B E NKOV I C D,E R EM I TA D.M u l t i p l i c a t i v e L i e n-d e r i v a t i o n s o f t r i a n g u l a r r i n g sJ.L i n e a r A l g e b r a A p p l,2 0 1 2,4 3 6:4 2 2 3.5 B E NKOV I C D.G e n e r a l i z e d L i e d e r i v a t i o n s o n t r i a n g u l a r a l g e b r a sJ.L i n e a r A l g e b r a A p p l,2 0 1 1,4 3 4(6):1 5 3 2.6 A S HR A F M,J A B E E N A.N o n l i n e a r g e n e r a l i z e d L i e t r i p l e d e r i v a t i o n o n t r i a n g u l a r a l g e b r a sJ.C o mm A l g e b r a,2 0 1 7,4 5:4 3 8 0.7 L I N W e n-h u i.N o n l i n e a r g e n e r a l i z e d L i e n-d e r i v a t i o n s o n t r i a n g u l a r a l g e b r a sJ.C o mm A l g e b r a,2 0 1 8,4 6(6):2 3 6 8.8 L I U D a n,Z HANG J i a n-h u a.L o c a l L i e d e r i v a t i o n s o n c e r t a i n o p e r a t o r a l g e b r a sJ.A n n F u n A n a l,2 0 1 7,8(2):2 7 0.9 L I U L e i.O n l o c a l L i e d e r i v a t i o n s o f g e n e r a l i z e d m a t r i x a l g e b r a sJ.B a n a c h J M a t h A n a l,2 0 2 0,1 4:2 4 9.1 0 CHE N L i n,L U F a n g-y a n.L o c a l L i e d e r i v a t i o n s o f n e s t a l g e b r a sJ.L i n e a r A l g e b r a A p p l,2 0 1 5,4 7 5:6 2.(责任编辑 马宇鸿)43