资源描述
一、解答题
1．如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过作轴于．
（1）求的面积．
（2）若过作交轴于，且分别平分，如图2，求的度数．
（3）在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．
2．已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
3．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）根据图1填空：∠1＝ °，∠2＝ °；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．
①如图2，当n＝25°，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数；
②当0°＜n＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
4．问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．
问题解决：
（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；
（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．
5．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB//CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH//EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
6．已知：ABCD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GFEH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
7．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K（n），例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．
（1）计算：和；
（2）若x是“梦幻数”，说明：等于x的各数位上的数字之和；
（3）若x，y都是“梦幻数”，且，猜想：________，并说明你猜想的正确性．
8．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．
定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，记作．
例如：因为，所以；因为，所以．
根据“对数”运算的定义，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）如果，求m的值．
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
9．规律探究，观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
请回答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：= ___________ = ___________
（2）用含n的式子表示第n个等式：= ___________ = ___________(n为正整数）
（3）求
10．下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）观察发现：__________ ．
（2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即 ；②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即 ；
（ 3 ）定义“”是一种新的运算，若，，，求的值．
11．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
12．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值______．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
13．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．
（1）点的坐标为___________；当点移动5秒时，点的坐标为___________；
（2）在移动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点移动的时间；
（3）在的线路移动过程中，是否存在点使的面积是20，若存在直接写出点移动的时间；若不存在，请说明理由．
14．问题情境：
（1）如图1，，，．求度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点作，请你接着完成解答．
问题迁移：
（2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．试判断、、之间有何数量关系？（提示：过点作），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你猜想、、之间的数量关系并证明．
15．如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD
（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABCD？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
16．学校准备购进一批篮球和足球，已知2个篮球和6个足球共需480元；3个篮球和4个足球共需470元．
（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元；
（2）学校准备购进两种球共50个，并且篮球的数量不少于足球数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
17．在平面直角坐标系中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：、；
第二组：、．
（1）线段与线段的位置关系是；
（2）在（1）的条件下，线段、分别与轴交于点，.若点为射线上一动点（不与点，重合）．
①当点在线段上运动时，连接、，补全图形，用等式表示、、之间的数量关系，并证明．
②当与面积相等时，求点的坐标．
18．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足.
（1）求、的值；
（2）若点的坐标为且，求的值；
（3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围．
19．题目：满足方程组的x与y的值的和是2，求k的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于x，y的二元一次方程组，分别求出xy的值（含有字母k），再由x＋y＝2，构造关于k的方程求解，从而得出k值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x＋y”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到“x＋y”整体值，从而求出k值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．
（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x＝k，5y＝1
解得y＝，3x＋y＝2，∴x＝
∴k＝3×＝
把x＝，y＝代入方程②得k＝﹣
所以k的值为或﹣．
请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
20．如图，学校印刷厂与A，D两地有公路、铁路相连，从A地购进一批每吨8000元的白纸，制成每吨10000元的作业本运到D地批发，已知公路运价1.5元/（t•km），铁路运价1.2元/（t•km）．这两次运输支出公路运费4200元，铁路运费26280元．
（1）白纸和作业本各多少吨？
（2）这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多多少元？
21．某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？
22．如图，已知和的度数满足方程组，且.
(1)分别求和的度数；
(2)请判断与的位置关系，并说明理由；
(3)求的度数．
23．在平面直角坐标系中，点、在坐标轴上，其中、满足．
（1）求、两点的坐标；
（2）将线段平移到，点的对应点为，如图1所示，若三角形的面积为，求点的坐标；
（3）平移线段到，若点、也在坐标轴上，如图2所示．为线段上的一动点（不与、重合），连接、平分，．求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，，，，满足，
（1）直接写出点，，的坐标及的面积；
（2）如图2，过点作直线，已知是上的一点，且，求的取值范围；
（3）如图3，是线段上一点，
①求，之间的关系；
②点为点关于轴的对称点，已知，求点的坐标．
25．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
甲型
乙型
价格(万元/台)
x
y
处理污水量(吨/月)
300
260
经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．
（1）求x，y的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．
26．阅读材料：形如的不等式，我们就称之为双连不等式.求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式；
（3）已知，求的整数值．
27．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
28．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，．
（1）求、的值；
（2）若，解不等式组．
29．某地葡萄丰收，准备将已经采摘下来的11400公斤葡萄运送杭州，现有甲、乙、丙三种车型共选择，每辆车运载能力和运费如表表示（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（公斤/辆）
600
800
900
汽车运费（元/辆）
500
600
700
（1）若全部葡萄都用甲、乙两种车型来运，需运费8700元，则需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，现打算用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为15辆，你能分别求出这三种车型的辆数吗？怎样安排运费最省？
30．如图，平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴的正半轴上，的面积等于18．
（1）求点的坐标；
（2）如图，点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，同时点从点出发，沿轴正方向运动，点运动至点停止，点、点的速度都为每秒1个单位，设运动时间为秒，的面积为，求用含的式子表示，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点作，连接并延长交于，连接交于点，若，求值及点的坐标．
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一、解答题
1．（1）4；（2）；（2）或．
【分析】
（1）根据非负数的性质易得，，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过作，根据平行线性质得，且，，所以；然后把 代入计算即可；
（3）分类讨论：设，当在轴正半轴上时，过作轴，轴，轴，利用可得到关于的方程，再解方程求出；
当在轴负半轴上时，运用同样方法可计算出．
【详解】
解：（1），
，，
，，
，，，
的面积；
（2）解：轴，，
，
又∵，
∴，
过作，如图①，
，
，
，
，分别平分，，即：，，
；
（3）或．
解：①当在轴正半轴上时，如图②，
设，
过作轴，轴，轴，
，
，解得，
②当在轴负半轴上时，如图③
，解得，
综上所述：或．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．构造矩形求三角形面积是解题关键．
2．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．
【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，为2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴==2．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
3．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；
②结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．
【详解】
解：（1）∠1=180°-60°=120°，
∠2=90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，
∵DG∥EF，
∴∠1=∠ABE=120°-n°，
∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，
∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG
=360°-90°-（180°-n°）
=90°+n°；
②当n=30°时，∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°+60°=90°，
AB⊥DG（EF）；
当n=90°时，
∠C=∠CBF=90°，
∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n=120°时，
∴AB⊥DE（GF）．
【点睛】
本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
4．（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；
（3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α-β；
如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC，
∴∠APC=β-α；
（3）如图3，过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥QF∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，
∵∠APC=116°，
∴∠BAP+∠PCD=116°，
∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，
∴∠BAQ=∠BAP，∠DCQ=∠PCD，
∴∠BAQ+∠DCQ=（∠BAP+∠PCD）=58°，
∵AB∥QF∥CD，
∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，
∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，
∴∠AQC=58°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．
5．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．
∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．
6．（1）见解析；（2），证明见解析．
【分析】
（1）由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，过点作，
，
，
，，
，
同理，，
平分，平分，
，，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
7．（1）;（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据的定义，可以直接计算得出；
（2）设，得到新的三个数分别是：，这三个新三位数的和为，可以得到：；
（3）根据（2）中的结论，猜想：．
【详解】
解：（1）已知，所以新的三个数分别是：，
这三个新三位数的和为，
；
同样，所以新的三个数分别是：，
这三个新三位数的和为，
．
（2）设，得到新的三个数分别是：，
这三个新三位数的和为，
可得到：，即等于x的各数位上的数字之和．
（3）设，由（2）的结论可以得到：
，
，
，
根据三位数的特点，可知必然有：
，
，
故答案是：．
【点睛】
此题考查了多位数的数字特征，每个数字是10以内的自然数且不为0，解题的关键是：结合新定义，可以计算出问题的解，注意把握每个数字都会出现一次的特点，区别数字与多为数的不同．
8．（1）1，4；（2）m=10 ；（3）不正确，改正见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据新定义由61=6、34=81可得log66=1，log381=4；
（2）根据定义知m﹣2=23，解之可得；
（3）设ax=M，ay=N，则logaM=x、logaN=y，根据ax•ay=ax+y知ax+y=M•N，继而得logaMN=x+y，据此即可得证．
试题解析：解：（1）∵61=6，34=81，∴log66=1，log381=4．故答案为：1，4；
（2）∵log2（m﹣2）=3，∴m﹣2=23，解得：m=10；
（3）不正确，设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．∵ax•ay=，∴=M•N，∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN．
点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．
9．（1）；；（2）；；（3）.
【分析】
（1）观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母，再依照前4个等式即可得出答案；
（2）根据前4个等式归纳类推出一般规律即可；
（3）利用题（2）的结论，先写出中各数的值，然后通过提取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可.
【详解】
（1）观察前4个等式的分母可知，第5个式子的分母为
则第5个式子为：
故应填：；；
（2）第1个等式的分母为：
第2个等式的分母为：
第3个等式的分母为：
第4个等式的分母为：
归纳类推得，第n个等式的分母为：
则第n个等式为：（n为正整数）
故应填：；；
（3）由（2）的结论得：
则
.
【点睛】
本题考查了有理数运算的规律类问题，依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键.
10．（1）；；（2）①；②；（ 3 ）．
【分析】
（1）利用材料中的“拆项法”解答即可；
（2）①先变形为，再利用（1）中的规律解题；②先变形为，再逆用分数的加法法则即可分解；
（3）按照定义“”法则表示出，再利用（1）中的规律解题即可．
【详解】
解：（1）观察发现：，
＝
＝
＝；
故答案是：；.
（2）初步应用：
①=；
②；
故答案是：；.
（ 3 ）由定义可知：
＝
=
=
=.
故的值为．
【点睛】
考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
11．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】
（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论；
②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】
（1）①， ，
∴，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而，
∴，
可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】
此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
12．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】
（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,
∴5＜＜6，
∴[]=[2]=2，[]=5，
故答案为2，5；
（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，
∴x=1，2，3，
故答案为1，2，3；
（3）第一次：[]=10，
第二次：[]=3，
第三次：[]=1，
故答案为3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
13．（1）（8，12），（0，10）；（2）2秒或14秒；（3）存在，t=2.5s或
【分析】
（1）由非负数的性质可得a、b的值，据此可得点B的坐标；由点P运动速度和时间可得其运动5秒的路程，得到OP=10，从而得出其坐标；
（2）先根据点P运动11秒判断出点P的位置，再根据三角形的面积公式求解可得；
（3）分为点P在OC、BC上分类计算即可．
【详解】
解：（1） ∵a，b满足，
∴a=8，b=12，
∴点B（8，12）；
当点P移动5秒时，其运动路程为5×2=10，
∴OP=10，
则点P坐标为（0,10），
故答案为：（8，12）、（0,10）；
（2）由题意可得，第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：4÷2＝2秒，
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（12+8+8）÷2＝14秒，
所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或14秒．
（3）如图1所示：
∵△OBP的面积=20，
∴OP•BC=20，即×8×OP=20．
解得：OP=5．
∴此时t=2.5s
如图2所示；
∵△OBP的面积=20，
∴PB•OC=20，即×12×PB=20．
解得：BP=．
∴CP=．
∴此时t=，
综上所述，满足条件的时间t=2.5s或
【点睛】
本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
14．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）①当在延长线时（点不与点重合），；②当在之间时（点不与点，重合），．理由见解析
【分析】
（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=113°；
（2）过过作交于，，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②当在之间时（点不与点，重合）），根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】
解：（1）过作，
，
，
，，
，
，，
；
（2），理由如下：
如图3，过作交于，
，
，
，，
，，
又
；
（3）①当在延长线时（点不与点重合），；
理由：如图4，过作交于，
，
，
，，
，，
，
又，
；
②当在之间时（点不与点，重合），．
理由：如图5，过作交于，
，
，
，，
，，
，
又
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
15．（1）（0，2），（4，2），见解析，ABDC面积：8；（2）存在，P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或 （0，﹣14）．
【解析】
【分析】
（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据S△PAC＝S四边形ABCD求解可得．
【详解】
（1）由题意知点C坐标为（﹣1+1，0+2），即（0，2），
点D的坐标为（3+1，0+2），即（4，2），
如图所示，
S四边形ABDC＝2×4＝8；
（2）当P在x轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABCD，
∴，
∵OC＝2，
∴AP＝8，
∴点P的坐标为 （7，0）或（﹣9，0）；
当P在y轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABCD，
∴，
∵OA＝1，
∴CP＝16，
∴点P的坐标为（0，18）或（0，﹣14）；
综上，点P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，熟记各性质是解题的关键．
16．（1）一个篮球的价格90元，一个足球的价格50元；（2）购买篮球34个，足球16个，见解析
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】
解：（1）设一个篮球的价格元，一个足球的价格元，则有，
，
解得：，
∴一个篮球的价格90元，一个足球的价格50元；
（2）设购进篮球个，则购进足球个.
∵篮球的数量不少于足球数量的2倍，
，
解得：
∵篮球价格高于足球价格，
∴在购买数量固定，则买的篮球越少越省钱，
∴最省钱的购买方案是购买篮球34个，足球16个．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，利用方程的思想和不等式的性质解答．
17．（1）AC∥DE；（2）①∠CAM＋∠MDE＝∠AMD，证明见解析；②点M的坐标为（0，）或（0，）．
【分析】
（1）根据两点的纵坐标相等，连线平行x轴进行判断即可；
（2）①过点M作MN∥AC，运用平行线的判定和性质即可；②设M（0，m），分两种情况：（i）当点M在线段OB上时，（ii）当点M在线段OB的延长线上时，分别运用三角形面积公式进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵A（−3，3）、C（4，3），
∴AC∥x轴，
∵D（−2，−1）、E（2，−1），
∴DE∥x轴，
∴AC∥DE；
（2）①如图，∠CAM＋∠MDE＝∠AMD．
理由如下：
过点M作MN∥AC，
∵MN∥AC（作图），
∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥DE（已知），
∴MN∥DE（平行公理推论），
∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM＋∠MDE＝∠AMN＋∠NMD＝∠AMD（等量代换）．
②由题意，得：AC＝7，DE＝4，
设M（0，m），
（i）当点M在线段OB上时，BM＝3−m，FM＝m＋1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（3−m）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m＋1）＝2m＋2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m＋2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m−3，FM＝m＋1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（m−3）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m＋1）＝2m＋2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m＋2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
综上所述，点M的坐标为（0，）或（0，）．
【点睛】
本题考查了三角形面积，平行坐标轴的直线上的点的坐标的特征，平行线的判定和性质等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．
18．（1），；（2）或；（3）
【分析】
（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a
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