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初中苏教七年级下册期末数学必考知识点真题
一、选择题
1．a6÷a3的计算结果是（ ）
A．a9 B．a18 C．a3 D．a2
2．如图，下列结论中错误的是（　　）

A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角
C．∠5与∠6是内错角 D．∠3与∠5是同位角
3．不等式2x－1≤x＋1的解集在数轴上表示正确的是 （　　）
A． B． C． D．
4．若，则下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知不等式组的解集为x＞3，则m的取值范围是（ ）
A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
6．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②若a＞0，则a+3＞0；③两个角相等，它们一定是对顶角；④二元一次方程的解为其中为真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，…．这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为（　　）
A．594 B．459 C．954 D．495
8．如图，已知，，，，则为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．计算：=______．
10．命题：“64的平方根为8”是_____________命题（填“真”或“假”）．
11．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形．
12．若多项式（p，q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为________．
13．已知关于x，y的二元一次方程组，
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，无论n取何值，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组解为；
④当时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．
以上说法：正确的是_____________（填写序号）．
14．如下图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是______．

15．两根木棒分别长3cm、7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长为偶数（单位：cm），那么所构成的三角形周长为 ________cm．
16．如图所示，一个四边形纸片ABCD，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，AE是折痕，，则=________度．

17．计算：
（1）；
（2）．
18．因式分解
（1） （2）
19．解方程组：
（1）；
（2）．
20．解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．
三、解答题
21．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D、G，点E在AC上，且∠1＝∠2．

（1）那么DE与BC平行吗？为什么？
（2）如果∠B＝40°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度数．
22．9岁的小芳身高1.36米，她的表姐明年想报考北京的大学．表姐的父母打算今年暑假带着小芳及其表姐先去北京旅游一趟，对北京有所了解．他们四人7月31日下午从苏州出发，1日到4日在北京旅游，8月5日上午返回苏州．
苏州与北京之间的火车票和飞机票价如下：火车 （高铁二等座） 全票524元，身高1.1～1.5米的儿童享受半价票；飞机 （普通舱） 全票1240元，已满2周岁未满12周岁的儿童享受半价票．他们往北京的开支预计如下：
住宿费
（2人一间的标准间）
伙食费
市内交通费
旅游景点门票费
（身高超过1.2米全票）
每间每天x元
每人每天100元
每人每天y元
每人每天120元

假设他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和，7月31日和8月5日合计按一天计算，不参观景点，但产生住宿、伙食、市内交通三项费用．
（1）他们往返都坐火车，结算下来本次旅游总共开支了13668元，求x，y的值；
（2）他们往返都坐飞机 （成人票五五折），其他开支不变，至少要准备多少元？
（3）他们去时坐火车，回来坐飞机 （成人票五五折），其他开支不变，准备了14000元，是否够用？如果不够，他们准备不再增加开支，而是压缩住宿的费用，请问他们预定的标准间房价每天不能超过多少元？
23．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．
（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？
（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？
（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？
24．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．

（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝　　；若∠B＝40°，则∠AFD＝　　；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由
25．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

（探究1）：如图1，在ΔABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90º+∠A，（请补齐空白处）
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，_________________，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180º－∠A）=90º－∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+∠A．
（探究2）：如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（应用）：如图3，在RtΔAOB中，∠AOB=90º，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则∠E=_______；
（拓展）：如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ=60º，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO=______．
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可．
【详解】
解：a6÷a3=a6-3=a3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可．
【详解】
解：如图，∠1与∠2是直线a与直线b被直线c所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；
∠1与∠6是直线a与直线b被直线c所截的内错角，而∠6与∠4是邻补角，所以∠1与∠4不是内错角，因此选项B符合题意；
∠5与∠6是直线c与直线d被直线b所截的内错角，因此选项C不符合题意；
∠3与∠5是直线c与直线d被直线b所截的同位角，因此选项D不符合题意；
故选：B．

【点睛】
本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．
3．B
解析：B
【分析】
不等式移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】
解：不等式移项合并得：x≤2，
表示在数轴上，如图所示：

故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
不等式左右两边同乘以一个负数，不等式符号要变号；不等式左右两边同时加上或减去一个数，不等式符号不变号，根据以上两个定理，可以将A、B选项的正误进行判断，同时再通过举反例的方法，也可判断C、D选项的正误．
【详解】
解：A选项：不等式两边同时乘以负数，不等式符号要变号，故-3a＜-3b，故该选项错误；
B选项：先将原式左右两边同乘以-1，不等式变号，得：-a＜-b，在上式中，左右两边同时加上1，不等式不变号，得：1-a＜1-b，故该选项正确；
C选项：举反例：若a=1，b=-3，满足a＞b，但是，故该选项错误；
D选项：举反例：若a=1，，满足a＞b，但是，故该选项错误，
故选：B．
【点睛】
本题主要考察了不等式的性质，不等式左右两边同乘以一个负数，不等式符号要变号；不等式左右两边同乘以一个正数，不等式符号不变号；不等式左右两边同时加上或减去一个数，不等式符号不变号，掌握以上性质，就能较快作出判断．
5．D
解析：D
【分析】
根据不等式组的性质即可求解．
【详解】
∵不等式组 的解集是x＞3，
∴m的取值范围是m≤3
故选D．
【点睛】
此题主要考查不等式组的解集，解题的关键是熟知不等式组的求解方法．
6．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质，不等式的性质，对顶角的定义及方程解得定义分别判断即可得解．
【详解】
解：两直线平行，内错角相等，故①正确；
若a＞0，则a+3＞0，故②正确；
两个角相等，它们不一定是对顶角，故③不正确；
是二元一次方程的一个解，二元一次方程的解由无数种，不唯一，故④不正确．
因此真命题有①②，共2个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，不等式的性质，对顶角的定义及方程解得定义及命题真假的．正确的掌握有关的性质和定义是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
任选一个符合要求的三位数，按照定义式子展开，化简到出现循环即可．
【详解】
解：若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算：
972﹣279＝693，
963﹣369＝594，
954﹣459＝495，
954﹣459＝495，
…．
故“卡普雷卡尔黑洞数”是495．
故选：D．
【点睛】
本题考查了新定义，以及数字类规律探究，根据新定义经过计算发现规律是解答本题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
结合已知条件根据平行线的性质、三角形外角的性质、等式性质即可求得答案．
【详解】
解：延长交于点，延长交于点，如图：

∵
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、等式性质等知识点，合理的添加辅助线可以帮助同学们更快地解决问题．
二、填空题
9．
【分析】
根据整式的乘法运算法则即可求解．
【详解】
=
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知单项式乘单项式的运算法则．
10．假
【分析】
根据平方根的定义直接判断即可．
【详解】
解：∵64的平方根为±8，
∴“64的平方根为8”是假命题，
故答案为：假．
【点睛】
本题考查了真假命题的判断和平方根，解题关键是熟练运用平方根的定义求一个数的平方根．
11．六
【分析】
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【详解】
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：六．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
12．-9
【分析】
设另一个因式为，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得，根据各项系数相等列式，计算可得3p+q的值．
【详解】
因为多项式中二次项的系数为1，
则设另一个因式为，
则，
由此可得，
由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．
13．①②
【分析】
将代入原方程组，求出m和n的值，可判断①；将代入原方程组，可判断②；根据原方程组的解为，可得新方程组满足，求出x和y的值，可判断③；将代入原方程组，求出x和y的值，再找到当方程组的解为非负整数时n的部分值，可判断④．
【详解】
解：①将代入中，
得：，
解得：，
则，故①正确；
②当时，有，
则，故②正确；
③当方程组的解是时，
则，
∵新方程组为，
整理，得，
∴，
解得：，故③错误；
④当时，方程组为，
（1）×3－（2），得：，
解得：，
将代入（1）得：，
∴原方程组的解为，
∵x，y都是非负整数，
∴当n＝2时，；
当n＝时，；
当n＝时，；
故④错误，
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14．B
解析：垂线段最短
【分析】
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短，据此作答即可．
【详解】
】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】
此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
15．16或18
【分析】
先求出第三边的取值范围，再根据第三根木棒的长为偶数求出第三边的长即可求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，得第三根木棒的长大于7-3=4cm而小于7+3=10cm．
又第
解析：16或18
【分析】
先求出第三边的取值范围，再根据第三根木棒的长为偶数求出第三边的长即可求解．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，得第三根木棒的长大于7-3=4cm而小于7+3=10cm．
又第三根木棒的长是偶数，则应为6cm，8cm．
∴所构成的三角形周长为16cm或18cm，
故答案为：16或18．
【点睛】
本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
16．【分析】
根据四边形的内角和等于求出，根据翻折的性质可得，然后求出 ，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】
解：，，
，
由翻折的性质得，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
解析：【分析】
根据四边形的内角和等于求出，根据翻折的性质可得，然后求出 ，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【详解】
解：，，
，
由翻折的性质得，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，四边形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质．
17．（1）4；（2）
【分析】
（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减法，即可；
（2）先算积的乘方，再算乘除法，即可求解．
【详解】
解：（1）原式=
=4；
（2）原式=
=
=．
【点睛
解析：（1）4；（2）
【分析】
（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减法，即可；
（2）先算积的乘方，再算乘除法，即可求解．
【详解】
解：（1）原式=
=4；
（2）原式=
=
=．
【点睛】
本题主要考查实数的运算，整式的运算，掌握零指数幂和负整数幂以及积的乘方法则，是解题的关键．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）原式首先根据平方差公式分解，然后再根据完全平方公式再进行二次分解即可；
（2）原式首先提取公因式（x-y），然后再根据平方差公式二次分解即可．
【详解】
解：（1）
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）原式首先根据平方差公式分解，然后再根据完全平方公式再进行二次分解即可；
（2）原式首先提取公因式（x-y），然后再根据平方差公式二次分解即可．
【详解】
解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
19．（1）；（2）．
【详解】
（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】
解：（1）
由②，可得：x＝y﹣3③，
③代入①，可得：2（
解析：（1）；（2）．
【详解】
（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】
解：（1）
由②，可得：x＝y﹣3③，
③代入①，可得：2（y﹣3）+y＝6，
解得y＝4，
把y＝4代入③ ，解得x＝1，
∴原方程组的解是．
（2）
①×4+②×3，可得25m＝﹣50，
解得m＝﹣2，
把m＝﹣2代入①，解得n＝3，
∴原方程组的解是．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法.
20．，0和1
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的非负整数解为0和1．
【点睛】
解析：，0和1
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的非负整数解为0和1．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
三、解答题
21．（1）DE∥BC，理由见解析；（2）∠DEC＝105°．
【分析】
（1）根据CD⊥AB，FG⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2=∠BCD，已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠BCD，
解析：（1）DE∥BC，理由见解析；（2）∠DEC＝105°．
【分析】
（1）根据CD⊥AB，FG⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2=∠BCD，已知∠1=∠2，等量代换得∠1=∠BCD，故可证DE与BC平行；
（2）根据三角形内角和求出∠ACB=75°，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】
（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG．
∴∠2＝∠BCD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DE∥BC；
（2）∵∠B＝40°，∠ACB﹣10°＝∠A，
∴∠ACB+（∠ACB﹣10°）+40°＝180°，
∴∠ACB＝75°，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠DEC+∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝105°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
22．（1）；（2）至少要准备15332元；（3）不够，标准间房价每日每间不能超过450元.
【解析】（1）结合本次旅游总共开支了13668元，以及他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和分
解析：（1）；（2）至少要准备15332元；（3）不够，标准间房价每日每间不能超过450元.
【解析】（1）结合本次旅游总共开支了13668元，以及他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和分别得出等式求出答案；
（2）结合他们往返都坐飞机 （成人票五五折），表示出总费用，进而求出答案；
（3）利用已知求出总费用进而去掉住宿费得出住宿费的最大值，即可得出答案．
解：（1）往返高铁费：(524×3+262)×2=1834×2=3668（元），
根据题意可列方程组，

解得： ；
答：x的值是500，y的值是54.
（2）根据题意可得，飞机票的费用为：(1240×3×0.55+1240×0.5)×2=2666×2=5332（元）
总的费用：5332+5000+20×100+54×20+120×16=15332（元），
答：至少要准备15332元；
（3）根据题意可得：
1834+2666+5000+2000+1080+1920=14500＞14000，不够；
14000-（1834+2666+2000+1080+1920）=4500，
即10x≤4500，
则x≤450，
答：标准间房价每日每间不能超过450元．
点睛：本题主要考查了实际问题与二元一次方程组、一元一次不等式．理解题意，并根据题意建立解决实际问题的方程组及不等式的模型，即是本题解题的关键，也是体现学生应用数学知识解决实际问题的表现.
23．（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次
【分析】
（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购
解析：（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次
【分析】
（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购买B类年票，这两种方式何者次数更多即可．
（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A类年票、购买B类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可．
（3）小明选择购买A类年票，说明A类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．
【详解】
（1）由于预算限制，小丽不可能买A类年票；若直接购票，可以进中心次；若购买B类年票，可进中心次，所以应该购买 B 类年票．
（2）若直接购买门票，需花费元；若购买A类年票，需花费120元；若购买B类年票，需花费元；所以应该购买B类年票．
（3）设小明每年进拓展中心约x次，根据题意列出不等式组： ，解得，故．
所以小明一年中进入拓展中心不低于30次．
【点睛】
本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．
24．（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由
解析：（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，
则∠B=180°-100°-30°=50°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠C=30°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴，，
∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；
若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴，，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG
=

故答案为：115°；110°；
②；
理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG
=∠B+∠BAG+∠FDG
=

；
（2）如图2所示：；
理由如下：
由（1）得：∠EDB=∠C，，，
∵∠AHF=∠B+∠BDH，
∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF

．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
25．【探究1】∠2=∠ACB，90º－∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣∠A，理由见解析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．
【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠
解析：【探究1】∠2=∠ACB，90º－∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣∠A，理由见解析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．
【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2=90º－∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果；
【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF=90°，然后分三种情况讨论：若∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO=2∠E，于是可得结果；若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO=135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F=4∠E，则∠E=18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO=2∠E即可求出结果，进而可得答案．
【详解】
解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180º－∠A）=90º－∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（90º－∠A）=90º+∠A；
故答案为：∠2=∠ACB，90º－∠A；

【探究2】∠BOC＝90°﹣∠A；理由如下：
如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
＝180°﹣（180°+∠A），
＝90°﹣∠A；

【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得：∠G=，
∴∠GCD+∠GDC=45°，
∵CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，
∴∠1=∠ACD=，∠2=∠BDC=，
∴∠1+∠2=+=,
∴；
故答案为：22.5°；

【拓展】如图4，∵AE、AF是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAQ+∠FAQ=，
即∠EAF=90°，
在Rt△AEF中，若∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，
∵∠EOQ=∠E+∠EAQ，∠BOQ=2∠EOQ，∠BAO=2∠EAQ，
∴∠BOQ=2∠E+∠BAO，
又∠BOQ=∠BAO+∠ABO，
∴∠ABO=2∠E=45°；

若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，
则由【探究2】知：，∴ ∠ABO=135°，
∵∠ABO＜∠BOQ=60°，∴此种情况不存在；
若∠F=4∠E，则∠E=18°，
由第一种情况可知：∠ABO=2∠E，∴∠ABO=36°；
综上，∠ABO=45°或36°；
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键．