资源描述
一、解答题
1．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD边上的一点，且DE=2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．设点P运动的时间为t秒．
（1）请以A点为原点，AB所在直线为x轴，1cm为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t表示出点P在不同线段上的坐标．
（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使△APE的面积等于20cm2时，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．
（1）若点，，都在点的右侧．
①求的度数；
②若，求的度数．（不能使用“三角形的内角和是”直接解题）
（2）在点的运动过程中，是否存在这样的偕形，使？若存在，直接写出的度数；若不存在．请说明理由．
3．问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．
问题解决：
（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；
（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC的度数．
4．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系： ；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
5．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB//CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH//EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
6．如图1，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB．
（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；
（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．
7．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
，，，，……
（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．
（2）①计算：．
②若a为最小的正整数，，求：
．
8．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22017，
将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+…+22017+22018
将下式减去上式得2S-S=22018-1即S=22018-1
即1+2+22+23+24+…+22017=22018-1
请你仿照此法计算：
(1)1+2+22+23+…+29=_____；
(2)1+5+52+53+54+…+5n(其中n为正整数)；
(3)1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29．
9．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，因为，请确定是______位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，请确定的十位上的数是_____________
(3)已知13824和分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：=____;
10．阅读材料：求值：，
解答：设，
将等式两边同时乘2得：，
将得：，即．
请你类比此方法计算：
．
其中n为正整数
11．观察下列各式：；；；……根据上面的等式所反映的规律，
（1）填空：______；______；
（2）计算：
12．阅读下列解题过程：
为了求的值，可设，则，所以得，所以；
仿照以上方法计算：
（1） .
（2）计算：
（3）计算：
13．如图所示，A（1，0），点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，点C的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E的坐标 ；
（2）在四边形ABCD中，点P从点O出发，沿OB→BC→CD移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，请解决以下问题；
①当t为多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②当t为多少秒时，三角形PEA的面积为2，求此时P的坐标
14．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C在x轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C的坐标.
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH,连接BH，点M在射线CH上运动(不与点C、H重合).试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论.
16．某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表：
数量范围（千克）
不超过50的部分
50以上但不超过150的部分
150以上的部分
价格（元）
零售价的95%
零售价的85%
零售价的75%
（1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？
（2）设批发x千克苹果（），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？
17．如图：在四边形ABCD中，A、B、C、D四个点的坐标分别是：（-2，0）、（0，6）、（4，4）、（2，0）现将四边形ABCD先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，平移后的四边形是A'B'C′D'
（1）请画出平移后的四边形A'B'C′D'（不写画法），并写出A'、B'、C′、D'四点的坐标．
（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标．
（3）求四边形ABCD的面积．
18．在平面直角坐标系中，，满足．
（1）直接写出、的值： ； ；
（2）如图1，若点满足的面积等于6，求的值；
（3）设线段交轴于C，动点E从点C出发，在轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动，动点F从点出发，在轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，若它们同时出发，运动时间为秒，问为何值时，有？请求出的值．
19．如图，学校印刷厂与A，D两地有公路、铁路相连，从A地购进一批每吨8000元的白纸，制成每吨10000元的作业本运到D地批发，已知公路运价1.5元/（t•km），铁路运价1.2元/（t•km）．这两次运输支出公路运费4200元，铁路运费26280元．
（1）白纸和作业本各多少吨？
（2）这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多多少元？
20．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．
（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分．
（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．
①问（1）班有多少人得满分？
②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？
21．已知，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，轴，且、满足．
（1）则______；______；______；
（2）如图1，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接交于点，点在轴上，若三角形的面积小于三角形的面积，直接写出的取值范围是______．
22．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则_______，_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_______．
23．对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
24．学校组织名同学和名教师参加校外学习交流活动现打算选租大、小两种客车，大客车载客量为人/辆，小客车载客量为人/辆
（1）学校准备租用辆客车，有几种租车方案?
（2）在（1）的条件下，若大客车租金为元/辆，小客车租金为元/辆，哪种租车方案最省钱?
（3）学校临时增加名学生和名教师参加活动，每辆大客车有2名教师带队，每辆小客车至少有名教师带队.同学先坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车至少要有人，请你帮助设计租车方案
25．某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有甲、乙两种型号的设备可供选择，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
甲型
乙型
价格(万元/台)
x
y
处理污水量(吨/月)
300
260
经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买3台甲型设备比购买4台乙型设备少2万元．
（1）求x，y的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过91万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2750吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案．
26．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D，若点Q运动时间为秒．
（1）当时， 平方厘米；当时， 平方厘米；
（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求的取值范围；
（3）若的面积为平方厘米，直接写出值．
27．材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程．若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程．若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解．例如方程都有整数解；反过来也成立．方程都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数．
材料2：求方程的正整数解．
解：由已知得：……①
设（为整数），则……②
把②代入①得：．
所以方程组的解为 ，
根据题意得：．
解不等式组得0＜＜．所以的整数解是1，2，3．
所以方程的正整数解是：，，．
根据以上材料回答下列问题：
（1）下列方程中：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．没有整数解的方程是 （填方程前面的编号）；
（2）仿照上面的方法，求方程的正整数解；
（3）若要把一根长30的钢丝截成2长和3长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）
28．在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
（1）请用含的式子分别表示，两点的坐标；
（2）当实数变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
（3）如图，已知线段与轴相交于点，直线与直线交于点，若，求实数的取值范围．
29．如图，已知点，，．
（1）求的面积；
（2）点是在坐标轴上异于点的一点，且的面积等于的面积，求满足条件的点的坐标；
（3）若点的坐标为，且，连接交于点，在轴上有一点，使的面积等于的面积，请直接写出点的坐标__________（用含的式子表示）．
30．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
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一、解答题
1．（1）建立直角坐标系见解析，当0＜t≤4时，即当点P在线段AB上时，其坐标为：P(2t，0)，当4＜t≤7时，即当点P在线段BC上时，其坐标为：P(8，2t﹣8)，当7＜t≤10时，即当点P在线段CE上时，其坐标为：P(22﹣2t，6)；
（2）存在，当点P的坐标分别为：P(，0)或 P(8，4)时，△APE的面积等于．
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，根据点P的运动速度分别求出点P在线段AB，BC，CE上的坐标；
（2）根据（1）中得到的点P的坐标以及，分别列出三个方程并解出此时t的值再进行讨论．
【详解】
（1）正确画出直角坐标系如下：
当0＜t≤4时，点P在线段AB上，此时P点的横坐标为，其纵坐标为0；
∴此时P点的坐标为：P(2t，0)；
同理：
当4＜t≤7时，点P在线段BC上，此时P点的坐标为：P(8，2t﹣8)；
当7＜t≤10时，点P在线段CE上，此时P点的坐标为：P(22﹣2t，6)．
（2）存在，
①如图1，当0＜t≤4时，点P在线段AB上，
，解得：t（s）；
∴P点的坐标为：P(，0)．
②如图2，当4＜t≤7时，点P在线段BC上，
；
∴；
解得：t=6（s）；
∴点P的坐标为：P(8，4)．
③如图3，当7＜t≤10时，点P在线段CE上，
；
解得：t（s）；
∵7，∴t（应舍去），
综上所述：当P点的坐标为：P（，0)或 P（8，4)时，△APE的面积等于．
【点睛】
本题考查了三角形的面积的计算公式，，在本题计算的过程中根据动点的坐标正确地求出三角形的底边长度和高是解题的关键．
2．（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或
【分析】
（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；
（2）设∠EGC=3x，∠EFC=2x，则∠GCF=3x-2x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠CEB+∠ECQ=180°，
∵∠CEB=110°，
∴∠ECQ=70°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE＝∠ECQ＝35°；
②∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC，
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，
∴∠EGC+∠ECG=70°，
又∵∠EGC-∠ECG=30°，
∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，
∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝(70°−40°)＝15°，
∵PQ∥CE，
∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．
（2）52.5°或7.5°，
设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
①当点G、F在点E的右侧时，
∵AB∥CD，
∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，
则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，
∴∠PCF＝∠PCQ＝∠FCQ＝∠EFC＝x°，
则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，
∵∠ECD=70°，
∴4x=70°，解得x=17.5°，
∴∠CPQ=3x=52.5°；
②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，
∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，
∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，
∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，
∴180-3x=70+x，
解得x=27.5，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，
∴∠PCQ＝∠FCQ＝62.5°，
∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
3．（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；
（3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α-β；
如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC，
∴∠APC=β-α；
（3）如图3，过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥QF∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，
∵∠APC=116°，
∴∠BAP+∠PCD=116°，
∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，
∴∠BAQ=∠BAP，∠DCQ=∠PCD，
∴∠BAQ+∠DCQ=（∠BAP+∠PCD）=58°，
∵AB∥QF∥CD，
∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，
∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，
∴∠AQC=58°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．
【详解】
解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝∠GND．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝∠BMH＋∠GND＝（∠BMH＋∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．
∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2
由（1）可得∠MEN＝（∠BMH＋∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．
又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN＋∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝∠AMH＝（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝∠HND．
∴∠ENQ＋∠HND＋140°﹣90°＋∠BMH＝180°．
∴∠ENQ＋（HND＋∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ＋∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．
5．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．
∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．
6．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ
【分析】
（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；
（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而∠OPQ=∠ORQ．
【详解】
解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，
（2）作PC∥m，
∵m∥n，
∴m∥PC∥n，
∴∠AOP=∠OPC=43°，
∠BQP=∠QPC=49°，
∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，
（3）∠OPQ=∠ORQ．
理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，
∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，
∴∠OPQ=∠ORQ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
7．（1），；（2）①；②
【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；
（2）①，
，
，
；
②为最小的正整数，，
，，
原式，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
8．(1)210-1；(2)；(3)9×210+1．
【分析】
（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+29的值；
（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+5+52+53+54+…+5n的值．
（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．
【详解】
解：（1）设S=1+2+22+23+…+29，
将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+…+29+210，
将下式减去上式得2S-S=210-1，即S=210-1，
即1+2+22+23+…+29=210-1．
故答案为210-1；
（2）设S=1+5+52+53+54+…+5n，
将等式两边同时乘以5得：
5S=5+52+53+54+55+…+5n+5n+1，
将下式减去上式得5S-S=5n+1-1，即S=，
即1+5+52+53+54+…+5n=；
（3）设S=1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29，
将等式两边同时乘以2得：
2S=2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210，
将上式减去下式得-S=1+2+22+23+…+29+10×210，
-S=210-1-10×210，
S=9×210+1，
即1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29=9×210+1．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
9．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；
（2）继续分析求出个位数和十位数即可；
（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．
【详解】
解：（1）由103=1000，1003=1000000，
∵1000＜32768＜100000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
故答案为：两；
（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，
∴的个位上的数是2
划去32768后面的三位数768得到32，
因为33=27，43=64，
∵27＜32＜64，
∴30＜＜40．
∴的十位上的数是3．
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，
1000＜13824＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，
∴的个位上的数是4
划去13824后面的三位数824得到13，
因为23=8，33=27，
∵8＜13＜27，
∴20＜＜30．
∴=24；
由103=1000，1003=1000000，
1000＜110592＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，
∴的个位上的数是8，
划去110592后面的三位数592得到110，
因为43=64，53=125，
∵64＜110＜125，
∴40＜＜50．
∴=-48；
故答案为：24，-48．
【点睛】
此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
10．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
同理即可得到所求式子的值．
【详解】
解：设，
将等式两边同时乘2得：，
将下式减去上式得：，即，
则；
设，
两边同时乘3得：，
得：，即，
则．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
11．（1）；；（2）.
【分析】
（1）根据已知数据得出规律，，进而求出即可；
（2）利用规律拆分，再进一步交错约分得出答案即可．
【详解】
解：（1）；
；
（2）
=
=
=.
【点睛】
此题主要考查了实数运算中的规律探索，根据已知运算得出数字之间的变化规律是解决问题的关键．
12．（1）；（2）；（3）.
【分析】
仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【详解】
解：（1）根据
得：
（2）设，
则，
∴，
∴
即：
（3）设，
则，
∴，
∴
即：
同理可求⸫
∵
【点睛】
此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
13．（1）（-2，0）；（2）①4秒；②（0，）或（-3，）
【分析】
（1）根据BC=AE=3，OA=1，推出OE=2，可得结论．
（2）①判断出PB=CD，即可得出结论；
②根据△PEA的面积以及AE求出点P到AE的距离，结合点P的路线可得坐标．
【详解】
解：（1）∵C（-3，2），A（1，0），
∴BC=3，OA=1，
∵BC=AE=3，
∴OE=AE-AO=2，
∴E（-2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（-3，2）
∴BC=3，CD=2，
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
∴点P在线段BC上，
∴PB=CD=2，
即t=（2+2）÷1=4；
∴当t=4秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②∵△PEA的面积为2，A（1，0），E（-2，0），
∴AE=3，
设点P到AE的距离为h
∴，
∴h=，
即点P到AE的距离为，
∴点P的坐标为（0，）或（-3，）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，解本题的关键是由线段和部分点的坐标，得出其它点的坐标．
14．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E
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