人教版中学七年级下册数学期末测试试卷(及解析).doc

人教版中学七年级下册数学期末测试试卷（及解析）
一、选择题
1．如图，已知两直线l1与l2被第三条直线l3所截，则下列说法中不正确的是（　　）

A．∠2与∠4是邻补角 B．∠2与∠3是对顶角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠1与∠2是同位角
2．下列图案中，是通过下图平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
3．下列各点中，位于第三象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．在同一平面内，过直线外一一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．如图，C为的边OA上一点，过点C作交的平分线OE于点F，作交BO的延长线于点H，若，现有以下结论：①；②；③；④．结论正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法正确的是（ ）
A．是分数 B．互为相反数的数的立方根也互为相反数
C．的系数是 D．的平方根是
7．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF＝42°，则∠CDE度数为（ ）

A．62° B．48° C．58° D．72°
8．如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点出发，向正东走米到达点，再向正北方向走米到达点，再向正西方向走米到达点，再向正南方向走米到达点，再向正东方向走米到达点，以此规律走下去，当蒲公英种子到达点时，它在坐标系中坐标为（ ）

A． B． C． D．
九、填空题
9．的算术平方根为_______；
十、填空题
10．已知点与点关于轴对称，那么________.
十一、填空题
11．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为_____．

十二、填空题
12．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=54°，则∠2=____度．

十三、填空题
13．如图，点E、点G、点F分别在AB、AD、BC上，将长方形ABCD按EF、EG翻折，线段EA的对应边EA'恰好落在折痕EF上，点B的对应点B'落在长方形外，B'F与CD交于点H，已知∠B'HC＝134°，则∠AGE＝_____°．

十四、填空题
14．一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝，则a2＝_____；a1+a2+a3+…+a2020＝_____；a1×a2×a3×…×a2020＝_____．
十五、填空题
15．已知点A（0，0），|AB|=5，点B和点A在同一坐标轴上，那么点B的坐标是________．
十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点的坐标是__________．

十七、解答题
17．计算：
（1）
（2）
十八、解答题
18．求下列各式中x的值．
（1）4x2﹣25＝0；
（2）（2x﹣1）3＝﹣64．
十九、解答题
19．如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO=BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补．

请将小华的想法补充完整：
∵和交于点．
∴；（ ）
而是的中点，那么，又已知，
∴（ ），
∴，（全等三角形对应边相等）
∴，（ ）
∴，（ ）
∴和互补．（ ）
二十、解答题
20．如图，，，．将 向右平移 个单位长度，然后再向上平移 个单位长度，可以得到 ．

（1）画出平移后的 ， 的顶点 的坐标为 ；顶点 的坐标为 ．
（2）求 的面积．
（3）已知点 在 轴上，以 ，， 为顶点的三角形面积为 ，则 点的坐标为 ．
二十一、解答题
21．例如∵即，∴的整数部分为2，小数部分为，仿照上例回答下列问题；
（1）介于连续的两个整数a和b之间，且a＜b，那么a＝　 　，b＝　 　；
（2）x是的小数部分，y是的整数部分，求x＝　 　，y＝　 　；
（3）求的平方根．
二十二、解答题
22．如图1，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）如图2，若正方形纸片的面积为1，则此正方形的对角线AC的长为 dm．
（2）如图3，若正方形的面积为16，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3∶2，他能裁出吗？请说明理由．
二十三、解答题
23．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．

二十四、解答题
24．已知射线射线CD，P为一动点，AE平分，CE平分，且AE与CE相交于点E．（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）

（1）在图1中，当点P运动到线段AC上时，．直接写出的度数；
（2）当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明；
（3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出与之间的关系，并加以证明．
二十五、解答题
25．如图，直线，一副直角三角板中，．
（1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分．

（2）若如图2摆放时，则

（3）若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点（如图3），求的度数．

（4）若图2中的周长，现将固定，将沿着方向平移至点与重合，平移后的得到，点的对应点分别是，请直接写出四边形的周长．
（5）若图2中固定，（如图4）将绕点顺时针旋转，分钟转半圈，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．

【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据对顶角定义可得B说法正确，根据邻补角定义可得A说法正确，根据同位角定义可得D说法正确，根据内错角定义可得C错误．
【详解】
解：A、∠2与∠4是邻补角，说法正确；
B、∠2与∠3是对顶角，说法正确；
C、∠1与∠4是同旁内角，故原说法错误；
D、∠1与∠2是同位角，说法正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了对顶角、邻补角、同位角、内错角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形．
2．C
【分析】
根据平移的性质，即可解答．
【详解】
由平移的性质可知C选项符合题意，A、B、D选项需要通过旋转才能实现．
故选C
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变
解析：C
【分析】
根据平移的性质，即可解答．
【详解】
由平移的性质可知C选项符合题意，A、B、D选项需要通过旋转才能实现．
故选C
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，掌握平移的性质是解题的关键．
3．C
【分析】
根据各象限的点的特征即可判断，第三象限的点的特征是：横纵坐标都是负数．
【详解】
位于第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，
C符合题意，
故选C．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的定义，掌握各象限的点坐标的符号是解题的关键．平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0．
4．B
【分析】
根据对顶角的性质、直线的性质、平行线的性质进行判断，即可得出答案．
【详解】
A、对顶角相等；真命题；
B、两条直线被第三条直线所截，同位角相等；假命题；只有两直线平行时同位角才相等；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行真命题；
D、在同一平面内，过直线外一一点有且只有一条直线与已知直线平行；真命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．
5．D
【分析】
根据平行线的性质可得，结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；由平行线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④．
【详解】
解：，，
，
平分，
，故①正确；
，
，
，故②正确；
，，
，故③正确；
，，
，故④正确．
正确为①②③④，
故选:D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
6．B
【分析】
根据分数的定义，立方根的性质，单项式的系数的定义，平方根的定义，即可得到答案．
【详解】
∵是无理数，
∴A错误，
∵互为相反数的数的立方根也互为相反数，
∴B正确，
∵的系数是，
∴C错误，
∵的平方根是±8，
∴D错误，
故选B．
【点睛】
本题主要考查分数的定义，立方根的性质，单项式的系数的定义，平方根的定义，掌握上述定义和性质，是解题的关键．
7．B
【分析】
先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE．
【详解】
解：∵DE∥AF，∠CAF=42°，
∴∠CED=∠CAF=42°，
∵∠DCE=90°，∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，
∴∠CDE=180°-∠CED-∠DCE=180°-42°-90°=48°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．
8．B
【分析】
由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，根据规律可得到A9A10＝3×10＝30，进而求得A10的横纵坐标．
【详解】
解：根据题意可
解析：B
【分析】
由题意可知：OA1＝3；A1A2＝3×2；A2A3＝3×3；可得规律：An﹣1An＝3n，根据规律可得到A9A10＝3×10＝30，进而求得A10的横纵坐标．
【详解】
解：根据题意可知：OA1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18•••，A9A10＝30，
∴A1点坐标为（3，0），
A2点坐标为（3，6），
A3点坐标为（﹣6，6），
A4点坐标为（﹣6，﹣6），
A5点坐标为（9，﹣6），
A6点坐标为（9，12），
以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），
所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，
∴A10点坐标为（15，18），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题，解题时注意：各象限内点P（a，b）的坐标特征为：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
九、填空题
9．【分析】
先求出的值，然后再化简求值即可．
【详解】
解：∵，
∴2的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，灵活运用算术平方根的定义的定义求解是解答
解析：
【分析】
先求出的值，然后再化简求值即可．
【详解】
解：∵，
∴2的算术平方根是，
∴的算术平方根是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，灵活运用算术平方根的定义的定义求解是解答本题的关键，直接求解是本题的易错点．
十、填空题
10．0；
【分析】
平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，依此列出关于的方程求解即可．
【详解】
解：根据对称的性质，得，
解得．
故答案为：0．
【点睛】
考查了关于轴、轴对称的点的坐标，
解析：0；
【分析】
平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，依此列出关于的方程求解即可．
【详解】
解：根据对称的性质，得，
解得．
故答案为：0．
【点睛】
考查了关于轴、轴对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．
十一、填空题
11．4
【分析】
根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【详解】
解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线A
解析：4
【分析】
根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【详解】
解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，PE=PN=2，
∴MN=2+2=4．
故答案为4．

十二、填空题
12．72
【分析】
根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，由平角的定义即可求得．
【详解】
解：如图，
长方形的两边平行，
，
折叠，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠的
解析：72
【分析】
根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，由平角的定义即可求得．
【详解】
解：如图，

长方形的两边平行，
，
折叠，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
十三、填空题
13．11
【分析】
由外角的性质和平行线的性质求出的度数，即可求出的度数，进而求出的度数，求得的度数，即可求出的度数．
【详解】
解：如图，
，
，
，
，
折叠，
，
，
，
，
故答案为：11．
解析：11
【分析】
由外角的性质和平行线的性质求出的度数，即可求出的度数，进而求出的度数，求得的度数，即可求出的度数．
【详解】
解：如图，

，
，
，
，
折叠，
，
，
，
，
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了角之间的计算，解题的关键是理解折叠就是轴对称，利用轴对称的性质求解．
十四、填空题
14．， 1
【分析】
根据题意，可以写出前几项的值，从而可以发现这列数的变化特点，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：由题意可得，
当a1＝﹣1时，
a2＝＝＝，
a3＝＝＝
解析：， 1
【分析】
根据题意，可以写出前几项的值，从而可以发现这列数的变化特点，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：由题意可得，
当a1＝﹣1时，
a2＝＝＝，
a3＝＝＝2，
a4＝﹣1，…，
∵2020÷3＝673…1，
∴a1+a2+a3+…+a2020
＝（﹣1++2）×673+（﹣1）
＝×673+（﹣1）
＝﹣
＝，
a1×a2×a3×…×a2020
＝[（﹣1）××2]673×（﹣1）
＝（﹣1）673×（﹣1）
＝（﹣1）×（﹣1）
＝1，
故答案为：，，1．
【点睛】
本题考查有理数的运算，熟练掌握运算律及-1的指数幂运算是解题关键．
十五、填空题
15．（5，0）或（﹣5，0）或（0，5）或（0，﹣5）
【分析】
根据点A（0，0）及点B和点A在同一坐标轴上可知点B在x轴上或在y轴上，再根据坐标轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．
【详解】
解
解析：（5，0）或（﹣5，0）或（0，5）或（0，﹣5）
【分析】
根据点A（0，0）及点B和点A在同一坐标轴上可知点B在x轴上或在y轴上，再根据坐标轴上到一点距离相等的点有两个，可得答案．
【详解】
解：∵点A（0，0），点B和点A在同一坐标轴上，
∴点B在x轴上或在y轴上，
∵|AB|=5，
∴当点B在x轴上时，点B的坐标为（5，0）或（﹣5，0），
当点B在y轴上时，点B的坐标为（0，5）或（0，﹣5）；
故答案为：（5，0）或（﹣5，0）或（0，5）或（0，﹣5）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是要注意坐标轴上到一点距离相等的点有两个，以防遗漏．
十六、填空题
16．【分析】
根据图象结合动点P第一次、第二次、第三次、第四次运动后的坐标特点可发现各点的横坐标与运动次数相同，纵坐标是按2，0，1，0循环，由此规律可求解．
【详解】
解：由图象可得：动点按图中箭头
解析：
【分析】
根据图象结合动点P第一次、第二次、第三次、第四次运动后的坐标特点可发现各点的横坐标与运动次数相同，纵坐标是按2，0，1，0循环，由此规律可求解．
【详解】
解：由图象可得：动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到，……可知各点的横坐标与运动次数相同，纵坐标是按2，0，1，0循环，
∵，
∴经过第2021次运动后，动点P的坐标为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是根据题意得到点的坐标基本规律．
十七、解答题
17．（1）-3；（2）-11．
【分析】
（1）分别计算乘方，立方根，绝对值，再合并即可得到答案；
（2）利用乘法的分配律先计算乘法，再计算加减运算即可得到答案．
【详解】
（1）解：原式=
（2）解
解析：（1）-3；（2）-11．
【分析】
（1）分别计算乘方，立方根，绝对值，再合并即可得到答案；
（2）利用乘法的分配律先计算乘法，再计算加减运算即可得到答案．
【详解】
（1）解：原式=

（2）解：原式
=
=．
【点睛】
本题考查的是乘法的分配律的应用，乘方运算，求一个数的立方根，求一个数的绝对值，掌握以上知识是解题的关键．
十八、解答题
18．（1）x＝；（2）x＝．
【分析】
（1）利用平方根的定义求解；
（2）利用立方根的定义求解．
【详解】
解：（1）4x2﹣25＝0，
4x2＝25，
x2＝，
x＝；
（2）(2x﹣1)3＝﹣64
解析：（1）x＝；（2）x＝．
【分析】
（1）利用平方根的定义求解；
（2）利用立方根的定义求解．
【详解】
解：（1）4x2﹣25＝0，
4x2＝25，
x2＝，
x＝；
（2）(2x﹣1)3＝﹣64，
2x﹣1＝﹣4，
2x＝﹣3，
x＝．
【点睛】
本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．
十九、解答题
19．对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO=∠F，可证AB∥DF，可得结论．
【详解】
解析：对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO=∠F，可证AB∥DF，可得结论．
【详解】
解：∵CF和BE相交于点O，
∴∠COB=∠EOF；（对顶角相等），
而O是CF的中点，那么CO=FO，又已知EO=BO，
∴△COB≌△FOE（SAS），
∴BC=EF，（全等三角形对应边相等），
∴∠BCO=∠F，（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥DF，（内错角相等，两直线平行），
∴∠ACE和∠DEC互补．（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：对顶角相等；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
二十、解答题
20．（1）见解析，，；（2）5；（3） 或
【分析】
（1）根据平移的性质画出对应的平移图形，然后求出点的坐标即可；
（2）根据的面积等于其所在的矩形减去周围几个三角形的面积求解即可；
（3）设P点
解析：（1）见解析，，；（2）5；（3） 或
【分析】
（1）根据平移的性质画出对应的平移图形，然后求出点的坐标即可；
（2）根据的面积等于其所在的矩形减去周围几个三角形的面积求解即可；
（3）设P点得坐标为 ，因为以 ，，P为顶点得三角形得面积为 ，
所以 ，求解即可.
【详解】
解：（1） 如图， 为所作．
（0，3），（4，0）；

（2） 计算 的面积 ．
（3）设P点得坐标为（t，0），
因为以 ，， 为顶点得三角形得面积为 ，
所以 ，解得 或 ，
即 点坐标为 （3，0） 或（5，0）．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，平移作图，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
二十一、解答题
21．（1），;（2）；（3）
【分析】
（1）根据的范围确定出、的值；
（2）求出，的范围，即可求出、的值，代入求出即可；
（3）将代入中即可求出．
【详解】
解：（1），
，
，，
故答案是：，；
（
解析：（1），;（2）；（3）
【分析】
（1）根据的范围确定出、的值；
（2）求出，的范围，即可求出、的值，代入求出即可；
（3）将代入中即可求出．
【详解】
解：（1），
，
，，
故答案是：，；
（2），
，，
的小数部分为：，
的整数部分为：3；
故答案是：；
（3），
，
的平方根为：．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用、求平方根，解题的关键是读懂题意及求出．
二十二、解答题
22．（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：
解析：（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：（1）∵正方形纸片的面积为，
∴正方形的边长，
∴．
故答案为：．
（2）不能；
根据题意设长方形的长和宽分别为和．
∴长方形面积为：，
解得：，
∴长方形的长边为．
∵，
∴他不能裁出．
【点睛】
本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根计算及无理数大小比较是解题的关键．
二十三、解答题
23．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）
解析：（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，

∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
【点睛】
此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
二十四、解答题
24．（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；
解析：（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；
（2）过点作，过点作，先根据（1）可得，再根据（1）同样的方法可得，由此即可得出结论；
（3）过点作，过点作，先根据（1）可得，再根据平行线的性质、平行公理推论可得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，过点作，

，
，
，
，
，
又，且点运动到线段上，
，
平分，平分，
，
；
（2）猜想，证明如下：
如图，过点作，过点作，

由（1）已得：，
同理可得：，
；
（3），证明如下：
如图，过点作，过点作，

由（1）已得：，
即，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
，
，
即．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
二十五、解答题
25．（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s
【分析】
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性
解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s
【分析】
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【详解】
（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，

∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，

∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°，
故答案为：15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，

∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°−105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；
（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，

∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，
∵DE＋EF＋DF＝35cm，
∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），
即四边形DEAD′的周长为45cm；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，

∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴3t＝30，
解得：t＝10；
BC∥EF时，如图6，

∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，

∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴3t＝120，
解得：t＝40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．