一类具有相互干扰和Holling-III功能反应模型的定性分析.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(3),1046-1057 Published Online March 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.133099 文章引用文章引用:杨薇,戴高丰,张学友.一类具有相互干扰和 Holling-III 功能反应模型的定性分析J.应用数学进展,2024,13(3):1046-1057.DOI:10.12677/aam.2024.133099 一一类具类具有有相相互干扰和互干扰和Holling-III功能反应模型功能反应模型的定性分析的定性分析 杨杨 薇，戴高丰，张学友薇，戴高丰，张学友 湖南工业大学理学院，湖南 株洲 收稿日期：2024年2月27日；录用日期：2024年3月21日；发布日期：2024年3月28日 摘摘 要要 通过分析模型在平衡点处的线性近似系统，发现该模型在某些条件下具有独特的正平衡点。当给定模型通过分析模型在平衡点处的线性近似系统，发现该模型在某些条件下具有独特的正平衡点。当给定模型具有正平衡点时，具有正平衡点时，运用运用Bendixson-Dulac定理获得系统在第一象限中的闭合轨道。定理获得系统在第一象限中的闭合轨道。借助借助Linard变换，利变换，利用张芷芬的唯一性定理得到用张芷芬的唯一性定理得到该该系统极限环的存在性和唯一性。最后，利用系统极限环的存在性和唯一性。最后，利用Mathematica软件对模型进行软件对模型进行了了四四组数值模拟，验证了组数值模拟，验证了所得所得结结论论的的合理合理性性。关键词关键词 捕食捕食食饵食饵模型模型，平衡点平衡点，稳定性稳定性，极限极限环环 Qualitative Analysis on a Class of Holling-III Function Response Models with Mutual Interference Wei Yang,Gaofeng Dai,Xueyou Zhang School of Science,Hunan University of Technology,Zhuzhou Hunan Received:Feb.27th,2024;accepted:Mar.21st,2024;published:Mar.28th,2024 Abstract In this paper,by analyzing the linear approximation system of the model at the equilibrium point,we first find that the model has a unique positive equilibrium point under some conditions.When the given model has positive equilibrium point,the closed orbit of the system in the first quadrant is obtained via Bendixson-Dulac theorem.By using the Linard transformation and the unique-杨薇 等 DOI:10.12677/aam.2024.133099 1047 应用数学进展 ness theorem of Zhang Zhifen,the existence and uniqueness of the limit cycle of the system is ob-tained.Finally,four numerical simulations of the model are given to illustrate the validity of our results by using Mathematica software.Keywords Predator-Prey Model,Equilibrium Point,Stability,Limit Cycle Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.前前言言 1965 年 C.S.Holling 在实验的基础上，对于不同类型的物种，提出了三种形式的功能性反应函数，具有这三类功能反应函数的食饵捕食系统已经有大量的研究1 2 3 4 5。然而人们又发现，当营养资源达到一个较高水平时，对某些个体的增长率呈抑制作用，基于这样的生物背景，文献6提出了 Monod-Haldane 型功能反应函数。后来人们将 Monod-Haldane 型功能反应函数称之为 Holling-IV 函数7。在一般情况下，具有 Holling 类型的功能反应的捕食被捕食系统可表述为下面的微分方程组模型8：()()()()d,dd,dxxg xyxtyyq ykyxt=+其中()g x为被捕食者种群的相对增长率(当没有捕食者时)，()x为捕食者功能反应函数，()q y为捕食者种群的死亡率，k 为常数。由于食饵种群的生存环境可能会因为各种原因而遭到不同程度的破坏，所以食饵种群的增长率遵循的函数是非线性函数()g x；又因为捕食者种群在捕食过程中相互之间可能会存在干扰，设定()01mm为系统中的干扰系数，同时捕食者种群的功能性反应函数()x也是非线性的。基于上述文献的讨论提出如下具相互干扰和 Holling-III 功能反应模型：()()22222d,d1d,d1mxkx yx abxcxh xtxyekxydtx=+=+(1)其中：x，y 分别表示在 t 这个时刻食饵和捕食者种群密度，a，b，c 分别表示食饵种群的内禀增长率、密度制约系数和移除的比例系数，函数()2abxcxh x表示该食饵种群内部增长率；e，d 分别表示捕 食者种群内的变换系数(捕获食饵后转化为生育率的比例系数)和死亡率，而221kxx+表示 Holling-III 功能性反应函数。显然系数,a b c d e km均是正的常数，且01m 同时，根据模型的生态意义，需在第一象限内讨论种群模型，记 Open AccessOpen Access杨薇 等 DOI:10.12677/aam.2024.133099 1048 应用数学进展 ()()+,0,0,0,0.x y xyx y xy=RR 2.预备知识预备知识 定义定义 1 9设常系数齐次线性系统 11 112221 1222,xa xa xya xa x=+=+?的向量形式：xx=?A，其中：1111221222,xaaaax=xA，用 T 表示矩阵 A 的迹，D 表示矩阵 A 的行列式，设24=TD。对于系统的平衡点()0,0O，此时0D，那么称()0,0O为初等奇点；当0D时，称()0,0O为高次奇点。对于初等奇点，有如下的分类：1)当0D时，平衡点为鞍点；2)当0D，0，()00TT时，平衡点为稳定(不稳定)结点；3)当0D，0，()00TT时，平衡点为稳定(不稳定)焦点；4)当0D，0=T时，平衡点为中心。定义定义 2 9考察非线性振动方程()()22dd0ddxxfxg xtt+=，可通过变换()0,dtxx yg xt=，化为一阶方程组：()()d,dd.dxyF xtyg xt=(2)该方程组称为 Linard 方程组，而该方程组对应的方程称作 Linard 方程，变换xx=，()0dtyg xt=称为 Linard 变换。引理引理 1 8考虑 Linard 方程组，若曲线()()12F xF x=与曲线()()12G xG x=在区域：()120221010201,0,0,Dx xxxxxxx=内无交点，这里()()0dxG xg tt=，则 Linard 方程在带域0201xxx，()2000abxcxh x+时，()000,Pxy是+R内唯一的正平衡点。因为系统在平衡点()0,0O处的线性近似系统为ddxaxt=，dddyyt=，该线性近似系统对应的矩阵为：100ad=A，易知()1det0A且()1det0A，由此即知()0,0O是鞍点。令()()2,Q xbxcxh xa=+由()00Qa=，当0 x 时，()Q x有唯一的正零点1x。当0，10 xx时，系统在平衡点()1,0E x处的近似系统对应的矩阵2A为：()()()()21212111111221120 xxbxc xhxxmxd+=A。显然()()()212111111120 xxbxc xhx+，200 xd=，所以有()210mxd，得到()2det0，100 xx时，()210mxdA，()2tr0，()2000abxcxh x+，()00P，则0P是系统(1)的稳定(不稳定)焦点或结点；若0，()2000abxcxh x+，0P=，则0P是系统(1)的中心焦点型奇点。3.2.闭轨的不存在性闭轨的不存在性 定理定理 1 当0时，系统(1)不存在全部位于+R内的闭轨线。证明证明 作 Dulac 函数(),rB x yx y=，这里,r是待定常数。根据系统(1)可得()()()122211rrBPxyxabxcxh xxy+=+，()12rBQmx yxd+=。对(),x y+R，总有 杨薇 等 DOI:10.12677/aam.2024.133099 1050 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()()()()()()222222211311312321312.BPBQBramdramxrbb xxyrbb xrcc xrcc xrh xrx h xxxhxrxy+=+令10r+=，()()310a rm+=。解得1r=，21am=。由0+=+=+=+=从而有()()0BPBQxy+且函数()h x满足条件()()()00,0,1,2,3,4,0,nhhxnx=则()000,Pxy在+R内是全局渐近稳定。证明证明 仅须证明系统(5)在+R内无极限环，为此记()()()22dd.mxdmdG xg xxxm xlxx=+由引理 1 仅须证明两曲线()()()()0,0,F uF vG uG vuxv=+可得：()()()()()()()()()()()222222000000220001112121.axbxxxcuvxxh vh uvh vuh uvuxxvuvu+(7)下面证明：()()()()0,x xvh vuh uxh xvu=(8)()()()0 x xh vh uh xvuvux=(9)先证明式(8)成立。记()()H xxh x=。由泰勒公式有：()()()()()()()()22020101.2H vH uHxHvxHuxvuvu=+由()()00000 xvxxuxuu=，可得：()()()()()()()()()()()()2222010021230021102,.HvxHuxuxHHuxH=+所以在定理条件下式(8)得证。为证式(9)成立，由式(8)的证明知仅须证 杨薇 等 DOI:10.12677/aam.2024.133099 1052 应用数学进展 ()()0,0,1,2,3.nh xxnx=因为()()()()122,h xxhxh xExxxx=()()()()()223322,h xx hxxhxh xExxxx+=()()()()()()()()3332344366.h xx hxx hxxhxh xExxxx+=又因为()100E=，()()10Exxhx=，所以()10Ex。同理可得()()()()322200,0,EExx hx=所以()20Ex。同理有()300E=，()()()4330Exx hx=，所以()30Ex。从而式(9)得证。将式(8)和式(9)代入式(7)得：()()()()()()()()()()00222222000000220001112121.x xx xaxbxxxcuvxxh xxxh xxxP=+=但由已知条件有0P，产生矛盾。从而式(6)代表的两曲线无交点，定理证毕。定理定理 3 如果 P0是不稳定的焦点或者结点，即0，()2000abxcxh x+，当0P 时，且()h x满足条件：()()()00,0,1,2,3,4,0.nhhxnx=则系统(4)在+R内存在唯一极限环。证明证明 首先证明系统极限环的存在性。作直线11:Lxx=，则当0y 时，121d0,dLxx yt=所以 L1是无切直线，系统(4)轨线自右而左穿过 L1。再作直线 21:0,0,Lym xnxx+=当 n 充分大时，则()()()()()2223ddd10,dddy n m xLyxmm xxabxcxh xmd nm xttt=+=+及20dx=，有()()()()()()2222100000002222220022222222222222221121211123234422644bxxcxxxx hxxh xbdxbdxbdxbdxbdxb xb xb xb xb xcdxcdxcdxcdxcdxc xc +时，()10sx；当00 xx时，()10sx，因此()()()()1101100,0,sxsxSxSx=同理可得()()2200SxSx=。即()()()()22100000211.xx hxxh x+因此()()()()()()()()()()()()()()2222000002232211422.xdfmxx h xxh xgxxdx hxhxxh xh xxh xx h xh xx h x。所以当0 xx时，()0Wx；当00 xx时，()0Wx，从而当0 x+时，有()()()2200,xdfmW xW xgx=所以0fg，由引理 2 知唯一性得证，证毕。通过对系统的稳定点和极限环的定性分析可以推出一些特殊形式的食饵捕食者系统如下，同样可以得出类似的结论。推论推论 1 系统()22222dd1dd1mxkx yx abxcxtxyekxydtx=+=+其中,a b c d e km所有的系数均为正数，且01m，2时，系统在第一象限存在极限环的充要条件是该系统在第一象限存在唯一的不稳定奇点。显然当极限环存在时则必唯一。杨薇 等 DOI:10.12677/aam.2024.133099 1055 应用数学进展 推论推论 2 系统()201222dd1dd1mnnxkx yx cc xc xtxyekxydtx=+=+?其中,a b c d e km所有的系数均为正数，且01m，2，3n 时，系统在第一象限存在极限环的充要条件是该系统在第一象限存在唯一的不稳定奇点。显然当极限环存在时则必唯一。4.数值仿真数值仿真 下面分四种情况进行数值仿真，以验证所得结果的正确性。第 1 种情况：取6a=，0.5b=，0.5c=，2d=，0.5e=，1m=，2k=，4=，()0h x=，于是有10=，02x=，且()2000abxcxh x+，0P，此时系统(3)从第一象限出发的初值不同的轨线均无限趋近于正平衡点()02,12 2P(如图 2 所示)。第 3 种情况：取16a=，0.25b=，0.25c=，1d=，0.5e=，1m=，3k=，2=，()0h x=，于是有0.50ekd=，02x=，且()2000abxcxh x+，0P，即使取不同的初值，系统(3)始终在 正平衡点087 22,4P的外围存在唯一稳定的极限环(如图 3 所示)。第 4 种情况：取30a=，14b=，18c=，1d=，0.5e=，1m=，3k=，2=，()318h xx=，于是 有0.50=，02x=，且()2000abxcxh x+，0P，即使取不同的初值，系统(3)在正平衡点()02,42 2P的外围存在唯一稳定的极限环(如图 4 所示)。杨薇 等 DOI:10.12677/aam.2024.133099 1056 应用数学进展 Figure 2.Positive equilibrium point P0 asymptotic stable phase diagram 图图 2.正平衡点 P0点渐近稳定相图 Figure 3.Positive equilibrium point P0 unique phase diagram of the outer limit ring of the point 图图 3.正平衡点 P0点外围极限环唯一相图 Figure 4.Unique phase diagram of the limit ring outside the positive equi-librium point P0 图图 4.正平衡点 P0点外围极限环唯一相图 杨薇 等 DOI:10.12677/aam.2024.133099 1057 应用数学进展 5.结语结语 基于生态环境的复杂性以及捕食者种群在捕食过程中相互之间存在一定的干扰，该模型考虑的因素相对来说要更加全面，得到的结果也更加的会符合实际捕食食饵种群的数量变化情况。通过对生态模型(1)在平衡点处线性近似系统的分析，首先得出该模型在一定的条件下存在唯一的正平衡点，当模型(1)的正平衡点存在时，利用 Bendixson-Dulac 定理分析得出系统存在全部位于第一象限的闭轨线；然后在Linard 变换的基础上，再利用张芷芬唯一性定理得到该系统极限环的存在性及唯一性；最后利用Mathematica 软件对模型的不同情况进行了四组具有代表性的数值仿真，数值模拟结果表明所得定性结论的有效性。同时，数值模拟所得图形表明，理论分析较好地反映了该类具相互干扰和 Holling-III 功能反应模型在食饵种群内部增长率、捕食者种群内的变换系数和死亡率满足一定条件时，食饵和捕食者的比例最后会趋于一个常量。基金项目基金项目 湖南省大学生创新训练项目(编号：202211535022)；湖南省教育厅科研课题资助项目(编号：19C0556)。参考文献参考文献 1 王玉億,邹兰.功能反应函数的演化对食饵捕食系统动力学的影响J.四川师范大学学报(自然科学版),2022,45(1):41-47.2 赖尾英,张敬华.具有 Holling III 功能性反应的捕食系统的全局稳定性J.黑龙江大学自然科学学报,2021,38(3):283-287.3 司政.具有非光滑Holling-型功能反f应函数的专性(或兼性)捕食者-食饵模型的全局动力学D:硕士学位论文.武汉:华中师范大学,2021:1-3.4 马超,赵治涛.具比率依赖 Holling 型功能性反应的非自治捕食者-食饵系统的正周期解J.黑龙江大学自然科学学报,2021,38(5):521-528.5 傅金波,陈兰荪.一类具有相互干扰的食饵-捕食者模型的定性分析J.系统科学与数学,2017,37(4):1166-1178.6 张强.具有密度依赖的 Monod-Haldane 反应项捕食模型的动态分歧和跃迁J.应用数学,2020,33(4):807-813.7 李冰森,赵育林,张子龙.具收获率的 Holling-IV 型两种群生物系统的定性分析J.湖南工业大学学报,2020,34(1):1-8.8 王霞.一类具 Holling-型功能反应捕食者-食饵模型的分支分析D:硕士学位论文.哈尔滨工业大学,2021:1-6.9 杨琪琪.一类具有强弱 Allee 效应的捕食模型的分析D:硕士学位论文.西北大学,2021:8-13.10 匡继昌.常用不等式M.济南:山东科学技术出版社,2004:132.