固体物理金属电子论一公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

第一章第一章 金属电子论（金属电子论（1）第1页第一节第一节 德鲁特电子气模型及复德鲁特电子气模型及复习习第2页德鲁特电子气模型德鲁特电子气模型金属具有下列性质金属具有下列性质电的良导体电的良导体热的良导体热的良导体Question：Why？德鲁特于德鲁特于1900年提出了关于金属电子运动的年提出了关于金属电子运动的典型模型。典型模型。第3页鲁特认为，金属中的原子在形成金属时，本来封闭的内层电子（芯电子）仍然被束缚在一起与原子核形成原子实。原子实在金属中形成长程的周期性结构。封闭壳层外的电子（价电子）受原子核束缚较弱，可以自由移动，德鲁特将其称为自自由电子气系统由电子气系统。而金属中的导电、导热特性就由价电子拟定。电子气的特性参量可作如下估算：1）价电子浓度。设金属原子原子量为A，密度为 ,每个原子提供Z个传导电子；则每立方厘米价电子数n为其中 为每立方厘米原子摩尔数，是阿伏伽德罗常数。2)电子典型半径 由下式拟定：第4页将金属中的电子当作电子气，德鲁特假定：将金属中的电子当作电子气，德鲁特假定：1）电子与电子、电子与原子实之间的互相作用很弱，可以2)电子与原子实的碰撞是瞬时事件。除此之外，电子运动不受内部互相作用的影响，即价电子运动仅仅受外力的影响。3)平均自由时间（）与电子的位置和速度无关，即 是常量。应用典型力学和电子气体服从典型的麦克斯韦-波尔兹曼统计分布规律，该模型可以对金属中的电子行为进行计算。并得到了关于金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和金属电子的热容的计算结果。第5页典型电子论的成就：典型电子论的成就：揭示金属的特性：电导、热导、温差电、电流磁输运等。揭示金属的特性：电导、热导、温差电、电流磁输运等。典型电子论的困难：典型电子论的困难：1)关于固体热容量，按照典型统计法的能量均分定理，关于固体热容量，按照典型统计法的能量均分定理，N个个价电子构成的电子有价电子构成的电子有3N个自由度，电子对热容量的奉献为：个自由度，电子对热容量的奉献为：.然而对大多数金属，实验上测得的热容量只有理论值的然而对大多数金属，实验上测得的热容量只有理论值的1%.2)例如对于电子自由程，测量值比德鲁特模型的估计大的多。例如对于电子自由程，测量值比德鲁特模型的估计大的多。第6页复习复习 德鲁特理论取得了巨大成功，也存在很大的局限和困难。为此，在现代固体理论中我们发展了另外的理论来克服它的不足。这套理论是建立在能带论及费米统计基础上的。为此，我们先复习一些基本概念。能带结构在固体物理学中，固体的能带在固体物理学中，固体的能带结构（又称电子能带结构）描结构（又称电子能带结构）描述了严禁或允许电子所带有的述了严禁或允许电子所带有的能量。即由于周期势场的作用，能量。即由于周期势场的作用，电子在固体中的能谱变成了一电子在固体中的能谱变成了一系列被禁代隔开的能带。材料系列被禁代隔开的能带。材料的能带结构决定了材料的多种的能带结构决定了材料的多种特性，特别是它的电子学和光特性，特别是它的电子学和光学性质。学性质。第7页态密度态密度第8页于是,在固体物理中我们经常有设 在能量 内电子数量为 ,则电子态密度定义为第9页自由电子近似下的态密度自由电子近似下的态密度此时，k空间等能量面为球面，设电子能量为 .则在 范围内态总数为其中因子2来源于电子的自旋。在 范围内能量变化第10页这是三维情况下的态密度。两维情况下态密度可以类推。第11页电子加速度、有效质量、准动量变化电子加速度、有效质量、准动量变化第12页第二节第二节 费米统计费米统计第13页一一 费米分布函数费米分布函数能带理论是单电子近似，每个电子的运动可以近似地认为是独立的，具有一系列拟定的本征态，由不同的波函数k标志，（如果不限于导带，则还要加上一个能带标号n）这样一个单电子近似描述的宏观状态可以由电子在这些本征态间的统计分布描述。对于平衡态，该统计归结于一个费米统计分布函数第14页第15页二二 化学势的最低阶近似化学势的最低阶近似第16页第17页三三 化学势的高阶修正化学势的高阶修正 第18页第19页第20页第21页一个两维的例子一个两维的例子先求态密度先求态密度因而，对这样的系统化学势与温度无关。因而，对这样的系统化学势与温度无关。第22页第三节第三节 电子热容量电子热容量 在早期，德鲁特电子模型阶段，电子热容量是一个令人困惑的问题。在早期，德鲁特电子模型阶段，电子热容量是一个令人困惑的问题。然而，实验上，比热容仅仅为预期的然而，实验上，比热容仅仅为预期的1%左右，尤其在低温下。左右，尤其在低温下。利用电子服从费米分布可以解决这个问题。利用电子服从费米分布可以解决这个问题。第23页电子热容量的费米分布解释电子热容量的费米分布解释第24页第25页 在进行相关计算前对于近自由电子系统估算一下费米能。在进行相关计算前对于近自由电子系统估算一下费米能。第26页 为讨论电子比热容，我们引入函数为讨论电子比热容，我们引入函数 按照与讨论化学势完全类似的办法讨论，我们有按照与讨论化学势完全类似的办法讨论，我们有第27页第28页下面考察一种重要的情况，对近自由电子系统，下面考察一种重要的情况，对近自由电子系统，从而从而 我们可以计算出比热容为我们可以计算出比热容为第29页第30页但在低温下，由于晶格振动的热容量以温度的三次方趋于零但在低温下，由于晶格振动的热容量以温度的三次方趋于零而电子激发的热容量以温度的一次方趋于零，因此，这两者而电子激发的热容量以温度的一次方趋于零，因此，这两者的热容量可以相比，如图所示。的热容量可以相比，如图所示。第31页第32页研究金属热容量的意义研究金属热容量的意义一般情况下，低温时，一般情况下，低温时，第第285页表页表6-1列出了若干金属的比热系数的实验值列出了若干金属的比热系数的实验值第33页第34页重费米子系统重费米子系统第35页第四节第四节 金属电导率金属电导率分布函数分布函数 平衡时，平衡时，第36页下面考虑分布函数随时间的演化。下面考虑分布函数随时间的演化。第37页由此我们可以得到著名的波耳兹曼方程，由此我们可以得到著名的波耳兹曼方程，第38页第39页碰撞项（散射项）碰撞项（散射项）下面考虑细致平衡原理对下面考虑细致平衡原理对W的限制。的限制。第40页第41页 假设电子碰撞为弹性碰撞，或散射为弹性散射。假设电子碰撞为弹性碰撞，或散射为弹性散射。（电子与声子碰撞即电子与振荡的原子碰撞，由于（电子与声子碰撞即电子与振荡的原子碰撞，由于Mme,这这种碰撞不改变电子的能量。而电子种碰撞不改变电子的能量。而电子-电子碰撞由于泡利不相容电子碰撞由于泡利不相容原理，几率很小）原理，几率很小）第42页现在引入驰豫时间近似，现在引入驰豫时间近似，第43页电导率电导率 假设仅有外加电场假设仅有外加电场E，且金属是均匀的，电场不依赖于位置。，且金属是均匀的，电场不依赖于位置。则系统处于稳态时，各个物理量与时间无关，与空间位置无关。则系统处于稳态时，各个物理量与时间无关，与空间位置无关。第44页处于平衡状态的金属不加外电场时无电流，我们知道处于平衡状态的金属不加外电场时无电流，我们知道第45页 从而得到电导率张量为从而得到电导率张量为电导率张量是二阶对称张量。电导率张量是二阶对称张量。第46页两点阐明：两点阐明：1）第47页第48页2）第49页从而我们得到电导率的典型公式：从而我们得到电导率的典型公式：第50页例子例子对于两维系统，石墨烯，求其电导率。对于两维系统，石墨烯，求其电导率。我们先求费米面的态密度我们先求费米面的态密度 cond-mat/0604113第51页第五节第五节 各向同性弹性散射和驰豫时间各向同性弹性散射和驰豫时间上一节为讨论金属的电导率我们采用了驰豫时间近似，引入上一节为讨论金属的电导率我们采用了驰豫时间近似，引入了驰豫时间的概念。然而，驰豫时间具有非常复杂的行为。了驰豫时间的概念。然而，驰豫时间具有非常复杂的行为。驰豫时间由什么拟定以及如何计算是一个非常复杂的问题，驰豫时间由什么拟定以及如何计算是一个非常复杂的问题，它依赖于具体的材料。本节对于一个非常重要的特例，讨论它依赖于具体的材料。本节对于一个非常重要的特例，讨论驰豫时间的性质。也就是对晶格完全各向同性并且电子是弹驰豫时间的性质。也就是对晶格完全各向同性并且电子是弹性散射的情况计算驰豫时间。性散射的情况计算驰豫时间。第52页两个假定两个假定：首先，我们采用的是近自由电子模型，电子能量仅是波矢大首先，我们采用的是近自由电子模型，电子能量仅是波矢大小的函数小的函数,另一方面，散射是弹性的。另一方面，散射是弹性的。第53页第54页但是在我们的假定下，可以简化。由于但是在我们的假定下，可以简化。由于W仅仅依赖于散射仅仅依赖于散射前波矢与散射后波矢的夹角，由上面的假定我们可以猜想前波矢与散射后波矢的夹角，由上面的假定我们可以猜想驰豫时间仅仅依赖于波矢的大小而与方向无关。驰豫时间仅仅依赖于波矢的大小而与方向无关。第55页显然这些分析与具体的原子结构无关！显然这些分析与具体的原子结构无关！第56页第57页第58页第六节第六节 散射和电导散射和电导电子散射电子散射(碰撞碰撞)是非相对论情况下一切输运问题的一个主线环节。对于直是非相对论情况下一切输运问题的一个主线环节。对于直流电导，在外场作用下，电子的受外场作用，使得其分布偏离平衡分布，流电导，在外场作用下，电子的受外场作用，使得其分布偏离平衡分布，而散射使得电子分布趋于平衡分布。两者互相竞争使最后的分布达到平衡，而散射使得电子分布趋于平衡分布。两者互相竞争使最后的分布达到平衡，就形成了直流电导。在抱负的完全规则排列的原子周期场中，电子将不受就形成了直流电导。在抱负的完全规则排列的原子周期场中，电子将不受到散射，因而就不存在电阻。到散射，因而就不存在电阻。显然，如果我们可以理解电子的散射机制并算出了散射几率，我们就可以显然，如果我们可以理解电子的散射机制并算出了散射几率，我们就可以计算弛豫时间以及电导率。计算弛豫时间以及电导率。从物理上看，由于热运动，原子不会静止在格点上而是不断的做热运动。从物理上看，由于热运动，原子不会静止在格点上而是不断的做热运动。由于热运动的存在，原子偏离格点，而这种偏离会散射电子，从而影响电由于热运动的存在，原子偏离格点，而这种偏离会散射电子，从而影响电子的输运特性。子的输运特性。同时，金属一般情况下不也许是纯净的，必然有杂质存在，这种杂质的存同时，金属一般情况下不也许是纯净的，必然有杂质存在，这种杂质的存在也会破坏晶格的周期性排列，从而引起电子散射。下面我们分别讨论这在也会破坏晶格的周期性排列，从而引起电子散射。下面我们分别讨论这两种散射。两种散射。第59页晶格散射晶格散射我们用声子模型来描述晶格振动对电子的散射。我们用声子模型来描述晶格振动对电子的散射。第60页现在仅考虑简朴格子而不考虑复杂格子，则此时只有声学现在仅考虑简朴格子而不考虑复杂格子，则此时只有声学波而没有光学波。波而没有光学波。第61页第62页第63页下面计算跃迁矩阵。下面计算跃迁矩阵。在近自由电子情况下，不考虑自旋，电子的布洛赫波函数为，在近自由电子情况下，不考虑自旋，电子的布洛赫波函数为，在每个原胞体积内有归一化公式在每个原胞体积内有归一化公式第64页第65页对于发射和吸取声子的过程，由于声子速度远小于电子的运动速度，对于发射和吸取声子的过程，由于声子速度远小于电子的运动速度，声子的特性能量远小于电子的特性能量，因而在发射吸取声子的过声子的特性能量远小于电子的特性能量，因而在发射吸取声子的过程中电子能量是守恒的。然而该过程中电子动量不守恒，守恒的是程中电子能量是守恒的。然而该过程中电子动量不守恒，守恒的是电子加声子的总动量（对于电子加声子的总动量（对于N过程）。过程）。第66页第67页现在我们估算现在我们估算A的值。的值。第68页第69页第70页第71页杂质散射杂质散射杂质散射的讨论比较简朴，诸多教材有较好的简介。我们这里仅举杂质散射的讨论比较简朴，诸多教材有较好的简介。我们这里仅举例讨论一下杂质散射，其思想可以推广到一般的情况。例讨论一下杂质散射，其思想可以推广到一般的情况。第72页设杂质浓度为设杂质浓度为ns。一般地，杂质的浓度是很小的，因而电子受杂。一般地，杂质的浓度是很小的，因而电子受杂质散射时，可以合理的假定每次只和一个杂质原子发生互相作用，质散射时，可以合理的假定每次只和一个杂质原子发生互相作用，也就是说电子受杂质的散射是独立的。也就是说电子受杂质的散射是独立的。我们同时假设杂质原子是固定的原子，因而电子每次散射时能量我们同时假设杂质原子是固定的原子，因而电子每次散射时能量守恒。同时，杂质可以由一个静态势守恒。同时，杂质可以由一个静态势U(r)描写。描写。第73页第74页第75页第76页第77页从该公式中我们发现杂质散射与晶格散射最大的不同是，杂质散从该公式中我们发现杂质散射与晶格散射最大的不同是，杂质散射的弛豫时间与温度无关。即使温度为零，杂质散射以及由杂质射的弛豫时间与温度无关。即使温度为零，杂质散射以及由杂质散射引起的电阻仍然存在。散射引起的电阻仍然存在。第78页第七节第七节 金属的热导率和热电势金属的热导率和热电势本节将讨论金属的导热能力。我们知道，材料的导热性有两个方本节将讨论金属的导热能力。我们知道，材料的导热性有两个方面的奉献，一是由于晶格振动引起的声子传热，二是材料中的自面的奉献，一是由于晶格振动引起的声子传热，二是材料中的自由电子导热。由于绝缘体的导热能力比金属差诸多，我们可以预由电子导热。由于绝缘体的导热能力比金属差诸多，我们可以预期金属较强的导热能力是由传导电子引起的。因而本节主要考虑期金属较强的导热能力是由传导电子引起的。因而本节主要考虑金属中电子的热导率。金属中电子的热导率。第79页金属中电子热传导金属中电子热传导:当金属中存在温度梯度时，导电电子由温度高的区域向温度低的区当金属中存在温度梯度时，导电电子由温度高的区域向温度低的区域扩散。电子的扩散，引起电荷密度的不均匀。电荷密度的不均匀域扩散。电子的扩散，引起电荷密度的不均匀。电荷密度的不均匀又产生一个反向的扩散。又产生一个反向的扩散。在均匀金属中，无论在何种情况下，电子流都会扩散，不妨假定一在均匀金属中，无论在何种情况下，电子流都会扩散，不妨假定一个一维的情况，电子存在正向和反向扩散。当不存在温度梯度时，个一维的情况，电子存在正向和反向扩散。当不存在温度梯度时，平衡时（细致平衡原理）正向扩散的电子流等于反向扩散的电子流。平衡时（细致平衡原理）正向扩散的电子流等于反向扩散的电子流。当金属中存在温度梯度时，正向扩散的电子流当金属中存在温度梯度时，正向扩散的电子流(延温度梯度的方向延温度梯度的方向)不小于反向扩散的电子流，热能由温度高的区域向温度低的区域的不小于反向扩散的电子流，热能由温度高的区域向温度低的区域的输运。此时温度高的区域电子数目减少，呈现正电性，温度低的区输运。此时温度高的区域电子数目减少，呈现正电性，温度低的区域电子数目增长，呈现负电性，即金属中出现温差电场此电场的域电子数目增长，呈现负电性，即金属中出现温差电场此电场的方向与净余扩散电子流的方向相同导电电子在电场力的作用下又方向与净余扩散电子流的方向相同导电电子在电场力的作用下又产生一个与电场方向相反的漂移电子流，即此电场对净余扩散起到产生一个与电场方向相反的漂移电子流，即此电场对净余扩散起到一个阻滞作用当净余扩散电子流与漂移电子流的和为零，即净正一个阻滞作用当净余扩散电子流与漂移电子流的和为零，即净正向扩散和净反向扩散相等时，导电电子达到一个稳定分布。向扩散和净反向扩散相等时，导电电子达到一个稳定分布。第80页第81页平衡分布函数为平衡分布函数为代入得漂移项为代入得漂移项为第82页该方程同时还表明，当仅有温度梯度时，金属中会产生电流，这该方程同时还表明，当仅有温度梯度时，金属中会产生电流，这效应称为热电效应。效应称为热电效应。第83页假定温度梯度方向假定温度梯度方向(因而电场方向因而电场方向)都在都在X轴上。轴上。该式分为两部分，一部分与电场无关，为热电效应部分。另一该式分为两部分，一部分与电场无关，为热电效应部分。另一部分是由电场引起的电流密度，显然，对于近自由电子系统，部分是由电场引起的电流密度，显然，对于近自由电子系统，这部分数值为这部分数值为第84页考虑热电效应部分，它是高阶效应。考虑热电效应部分，它是高阶效应。第85页当不存在外电场仅存在温度梯度时，先有电荷流动，电荷流动引起当不存在外电场仅存在温度梯度时，先有电荷流动，电荷流动引起电荷积累。该电荷积累引起电场分布从而阻碍电荷流动，最后电场电荷积累。该电荷积累引起电场分布从而阻碍电荷流动，最后电场分布形成的阻碍力与温度梯度引起的电荷流动达到平衡，净的电荷分布形成的阻碍力与温度梯度引起的电荷流动达到平衡，净的电荷流动消失。这时每一层都没有电荷的净流入和净流出，达到静态平流动消失。这时每一层都没有电荷的净流入和净流出，达到静态平衡。这时，假设温度梯度方向是由右指向左的（左边温度高，右边衡。这时，假设温度梯度方向是由右指向左的（左边温度高，右边温度低），左边流得快而右边流动较慢，平衡时左边电子密度将略温度低），左边流得快而右边流动较慢，平衡时左边电子密度将略小于右边电子密度。小于右边电子密度。第86页第87页从而热导率表达式为从而热导率表达式为第88页第89页第90页对于先前讨论的近自由电子系统，对于先前讨论的近自由电子系统，故，故，对于金属，不存在杂质时，驰豫时间反比于温度，导热性对温度的依对于金属，不存在杂质时，驰豫时间反比于温度，导热性对温度的依赖不明显。赖不明显。第91页 是个与材料无关的常数！是个与材料无关的常数！该式表明，金属的热导率与电导率的比值在固定温度下是个常数，该式表明，金属的热导率与电导率的比值在固定温度下是个常数，与金属的具体结构无关。这一定律被称为与金属的具体结构无关。这一定律被称为“维德曼维德曼-费兰兹定律费兰兹定律”。注意，该定律是建立在自由电子模型基础上的，对于自由电子模型注意，该定律是建立在自由电子模型基础上的，对于自由电子模型不合用的系统，该定律不合用。不合用的系统，该定律不合用。洛伦兹常数洛伦兹常数第92页第93页本章简介本章简介德鲁特电子气模型及复习德鲁特电子气模型及复习费米统计分布及化学势费米统计分布及化学势金属中电子热容量金属中电子热容量金属的电导率金属的电导率弛豫时间弛豫时间散射和电导散射和电导金属的热导率金属的热导率第94页本部分内容的合用范围本部分内容的合用范围在第一章我们讨论了用波尔兹曼方程处理电导问题以及电子输运在第一章我们讨论了用波尔兹曼方程处理电导问题以及电子输运问题。在这种用波尔兹曼方程的处理中我们将电子当作点粒子。问题。在这种用波尔兹曼方程的处理中我们将电子当作点粒子。从量子力学的观点看，电子具有波粒二象性，因而我们事实上应从量子力学的观点看，电子具有波粒二象性，因而我们事实上应当把电子当作一个波包。当把电子当作一个波包。该理论的合用范围如何？该理论的合用范围如何？第95页第96页在计算电导等输运过程中，只有当自由程远不小于原胞大小的在计算电导等输运过程中，只有当自由程远不小于原胞大小的情况下，才可以把电子当作准典型粒子，采用玻耳兹曼方程的情况下，才可以把电子当作准典型粒子，采用玻耳兹曼方程的办法。这个条件对一般金属材料来说是可以满足的。但是，在办法。这个条件对一般金属材料来说是可以满足的。但是，在有些情况，例如非晶态材料，就不一定满足，这时必须将波尔有些情况，例如非晶态材料，就不一定满足，这时必须将波尔兹曼推广。兹曼推广。推广的理论的最一般的形式就是推广的理论的最一般的形式就是Kubo理论，它是更一般的讨理论，它是更一般的讨论电导的办法，在自由程很大的情况，论电导的办法，在自由程很大的情况，Kubo公式与玻耳兹曼公式与玻耳兹曼方程的结果是一致的，但自由程不远远不小于原胞时，他们的方程的结果是一致的，但自由程不远远不小于原胞时，他们的结论并不一致，这时我们应当用结论并不一致，这时我们应当用Kubo理论。理论。Kubo理论是建立在线性响应理论的基础上理论是建立在线性响应理论的基础上 的。的。第97页