资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.
1．在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（ ）
A． B．﹣ C．0 D．|﹣2|
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．
C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
4．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6
5．关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（ ）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
6．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
8．一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为
正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
11．化简：÷＝ ．
12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．
13从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ．
14．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 ．
15．以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是 ．
16．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是 ．
三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）
17．先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．
18．分别按下列要求解答：
（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；
（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
19．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
20．根据全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：
解答下列问题：
（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；
（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD＝AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
23．设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；
（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.
1．（3分）在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（ ）
A． B．﹣ C．0 D．|﹣2|
【解答】解：|﹣2|＝2，
∵四个数中只有﹣，﹣为负数，
∴应从﹣，﹣中选；
∵|﹣|＞|﹣|，
∴﹣＜﹣．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．
C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【解答】解：A、﹣（﹣x+1）＝x﹣1，故本选项错误；
B、＝3﹣故本选项错误；
C、|﹣2|＝2﹣故本选项正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2故本选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
【解答】解：∵2x2+5x﹣3
＝（2x﹣1）（x+3），
2x﹣1与x+3是多项式的因式，
故选：A．
4．（3分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6
【解答】解：依题意得剩余部分为
（m+3）2﹣m2＝（m+3+m）（m+3﹣m）＝3（2m+3）＝6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是＝2m+3．
故选：C．
5．（3分）关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（ ）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【解答】解：△＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2，≥0，即△≥0，
∴原方程有两个实数根，当k＝2时，方程有两个相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
【解答】解：A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A选项正确；
B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B选项正确；
C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，故C选项正确；
D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D选项错误．
故选：D．
7．（3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【解答】解：设可打x折，则有1200×﹣800≥800×5%，
解得x≥7．
即最多打7折．
故选：B．
8．（3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为x+y＝k（矩形的面积是一定值），
整理得y＝﹣x+k，
由此可知y是x的一次函数，图象经过第一、二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，
所以只有A符合要求．
故选：A．
9．（3分）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为
正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补或相等，所以①错误．
②数据1，2，2，4，5，7，中位数是（2+4）＝3，其中2出现的次数最多，众数是2，所以②正确．
③等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以③错误．
④根据根与系数的关系有：a+b＝7，ab＝7，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣14＝35，
即：AB2＝35，
AB＝
∴AB边上的中线的长为．所以④正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB＝2，半径为2，
∴AE＝AB＝，PA＝2，
根据勾股定理得：PE＝＝1，
∵点A在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD＝．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a＝PD+DC＝2+．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）化简：÷＝ ．
【解答】解：原式＝•＝．
故答案为：
12．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
13．（3分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ．
【解答】解：
共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，
所以概率为．
故答案为：．
14．（3分）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 80° ．
【解答】解：由翻折可得∠B′＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠B′＝60°，
∵∠AFD＝∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF＝∠B′GF，
∵∠EGC＝∠FGB′，
∴∠EGC＝∠ADF＝80°．
故答案为：80°．
15．（3分）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是 ﹣4≤a≤﹣2 ．
【解答】解：当A、D两点重合时，PO＝PD﹣OD＝5﹣3＝2，此时P点坐标为a＝﹣2，
当B在弧CD时，由勾股定理得，PO＝＝＝4，此时P点坐标为a＝﹣4，
则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．
故答案为：﹣4≤a≤﹣2．
16．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是 （2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）． ．
【解答】解：（1）当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2，
∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2，
∴OA＝OP＝2，
∴P的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．
三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）
17．（6分）先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．
【解答】解：原式＝＝×＝，
当x＝2时，原式＝﹣＝﹣1．
18．（6分）分别按下列要求解答：
（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；
（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
19．（6分）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
【解答】解：（1）120×0.95＝114（元），
若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付114元；
（2）设所付钱为y元，购买商品价格为x元，
则按方案一可得到一次函数的关系式：y＝0.8x+168，
则按方案二可得到一次函数的关系式：y＝0.95x，
如果方案一更合算，那么可得到：
0.95x＞0.8x+168，
解得：x＞1120，
∴所购买商品的价格在1120元以上时，采用方案一更合算．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
20．（8分）根据第五次、第六次全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：
解答下列问题：
（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；
（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？
【解答】解：（1）450﹣36﹣55﹣180﹣49＝130（万人）；
（2）第五次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数的百分比是：1﹣3%﹣17%﹣38%﹣32%＝10%，
人数是400×10%＝40（万人），
∴第六次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数是55万人，
∴第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是：×100%＝37.5%．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）连接OD．设⊙O的半径为r．
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC．
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴＝，即10r＝6（10﹣r）．
解得r＝，
∴⊙O的半径为．
（2）四边形OFDE是菱形．理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠B．
∵∠DEF＝∠DOB，
∴∠B＝∠DOB．
∵∠ODB＝90°，
∴∠DOB+∠B＝90°，
∴∠DOB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝60°．
∵OD＝OE．
∴OD＝DE．
∵OD＝OF，
∴DE＝OF．
又∵DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形．
∵OE＝OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD＝AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【解答】（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD＝AE．
（2）答：直线OA垂直平分BC．
理由如下：连接BC，AO并延长交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO＝∠EAO，
即OA是∠BAC的平分线，
又∵AB＝AC，
∴OA⊥BC且平分BC．
23．（9分）设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【解答】解：∵，，，…，．
∴S1＝（）2，S2＝（）2，S3＝（）2，…，Sn＝（）2，
∵，
∴S＝，
∴S＝1+，
∴S＝1+1﹣+1+﹣+…+1+，
∴S＝n+1﹣＝．
六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
【解答】（1）解：∵∠BPA＝90°，PA＝PB，
∴∠PAB＝45°，
∵∠BAO＝45°，
∴∠PAO＝90°，
∴四边形OAPB是正方形，
∴P点的坐标为：（a，a）．
（2）证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，
∵∠BPE+∠EPA＝90°，∠EPB+∠FPB＝90°，
∴∠FPB＝∠EPA，
∵∠PFB＝∠PEA，BP＝AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE＝PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
（3）解：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE＝h，设∠APE＝α．
在直角△APE中，∠AEP＝90°，PA＝，
∴PE＝PA•cosα＝•cosα，
又∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），
∴0°≤α＜45°，
∴＜h≤．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；
（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意知，P（1，2）．若点E与点P重合，则k＝xy＝1×2＝2；
（2）①当0＜k＜2时，如图1所示．
根据题意知，四边形OAPB是矩形，且BP＝1，AP＝2．
∵点E、F都在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴E（，2），F（1，k）．则BE＝，PE＝1﹣，AF＝k，PF＝2﹣k，
∴S△OEF＝S矩形OAPB﹣S△OBE﹣S△PEF﹣S△OAF
＝1×2﹣××2﹣×（1﹣）×（2﹣k）﹣×1×k
＝﹣k2+1；
②当k＝2时，由（1）知，△OEF不存在；
③当k＞2时，如图2所示．点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形．
∵PF⊥PE，
∴S△FPE＝PE•PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE＝S△GEF，
∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△GEF﹣S△OCE
＝•k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1；
（3）当k＞0时，存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍．理由如下：
①如图1所示，当0＜k＜2时，S△PEF＝×（1﹣）×（2﹣k）＝，
S△OEF＝﹣k2+1，
则×2＝﹣k2+1，
解得，k＝2（舍去），或k＝；
②由（1）知，k＝2时，△OEF与△PEF不存在；
③如图2所示，当k＞2时，S△PEF＝﹣k2+k﹣1，S△OEF＝k2﹣1，
则2（﹣k2+k﹣1）＝k2﹣1，
解得k＝（不合题意，舍去），或k＝2（不合题意，舍去），
则E点坐标为：（3，2）．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．﹣2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．（x﹣3）2＝x2﹣9
C．（x2）3＝x5 D．5x2•x3＝5x5
6．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2 B．12cm2 C．15πcm2 D．12πcm2
7．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
9．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（ ）
A．2 B． C．﹣1 D． +1
10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（ ）
A． B．6 C．8 D．﹣4
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．因式分解：a2+2ab＝ ．
12．不等式的解集是 ．
13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为 度．
14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝ ．
三、解答题
17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°
（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝
18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．
（1）求证：△BOF≌△COE．
（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．
19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；
（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）
20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）
（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；
（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．
22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．
（1）求抛物线的表达式；
（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．
②AE最小值为 ．
23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．
（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克 元．
（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．
（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为 （日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）
24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．
（1）求AD的长；
（2）求证：△BEF∽△BDP；
（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；
（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为 ．
参考答案
一、选择题
1．解：因为a的相反数是﹣a，
所以﹣2019的相反数是2019．
故选：A．
2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，
故选：B．
3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，
故应最关心这组数据中的众数．
故选：C．
4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；
C、结果是x6，故本选项不符合题意；
D、结果是5x5，故本选项，符合题意；
故选：D．
6．解：圆锥的母线长＝＝5，
所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．
故选：C．
7．解：设原计划x天完成，根据题意得：
﹣＝5．
故选：B．
8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2019m+1＝0，
∴m2＝2019m﹣1，
∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2
＝m++1
＝+1
＝+1
＝2019+1
＝2020．
故选：C．
9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EBF＝90°，
∵AB＝1，∠BEF＝30°，
∴BE＝BF，
∴x+1＝x，
解得：x＝，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝，
∴AH＝AD+DH＝2+＝，
∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，
故选：C．
10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，
设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是וx＝k，
同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，
∴边EF上的高相等，
∴CD∥EF，
∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，
∵CD＝5AB，
∴AD＝3AB，
由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，
∴A（﹣1，0），B（0，），
∴OA＝1，OB＝，
∵OB∥DF，
∴＝＝＝，
∴DF＝3，AF＝3，
∴OF＝3﹣1＝2，
∴D（2，3），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×＝6，
故选：B．
二、填空题
11．解：原式＝a（a+2b），
故答案为：a（a+2b）
12．解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞0，
∴不等式组的解集为：0＜x≤．
故答案为：0＜x≤．
13．解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠AEC＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠AEC＝70°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝35°，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55
14．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，
∴B（0，b），
∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，
∴B（0，b），
当x＝﹣时，y＝2b，
∴C（﹣，2b），
∴△OAC的面积＝×2b＝，
∴b＝，
故答案为．
15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），
∴OC＝，AC＝a，
把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，
∴D点坐标为（，2﹣2），
∴CD＝2﹣2，
∵AE⊥CB，
∴CE＝BE＝BC＝1，
在Rt△ACE中，AC＝，
∴AE＝＝＝2，
∵y＝2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，
∴G（0，﹣2），F（1，0），
∴OG＝2，OF＝1，
∵AC∥y轴，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，
∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，
∴DE＝2AE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：
则四边形EMCH是矩形，
∴EM＝CH，CM＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，
在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，
同理：△ADE≌△CDE，
∴△ADE的面积＝△CDE的面积，
∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，
∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴A、B、F、E四点共圆，
∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∵EM⊥BC，
∴FM＝CM＝EH＝DH，
设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，
∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，
∴，
解得：x＝，
∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，
∴AF＝＝，
∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；
故答案为：．
三、解答题
17．解：（1）原式＝+2+1﹣
﹣＝2﹣2；
（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x
＝11x+16，
当x＝时，原式＝11×+16＝25．
18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，
∴BF＝CE，
在△BOF与△EOC中，，
∴△BOF≌△COE（AAS）；
（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，
∴∠C＝∠F＝30°，
∴AC＝2AE＝2，
∴CE＝1，
∵∠CEO＝∠DEO＝90°，
∴OC＝＝．
19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；
（2）树状图如下所示：
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．
20．解：（1）如图点D即为所求．
（2）如图点O即为所求．
21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径
∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∴∠E＝90°，
∴∠E＝∠AD
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