资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.
1．在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（ ）
A． B．﹣ C．0 D．|﹣2|
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．
C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
4．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6
5．关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（ ）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
6．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
8．一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为
正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
11．化简：÷＝ ．
12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．
13从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ．
14．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 ．
15．以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是 ．
16．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是 ．
三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）
17．先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．
18．分别按下列要求解答：
（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；
（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
19．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
20．根据全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：
解答下列问题：
（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；
（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD＝AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
23．设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；
（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.
1．（3分）在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（ ）
A． B．﹣ C．0 D．|﹣2|
【解答】解：|﹣2|＝2，
∵四个数中只有﹣，﹣为负数，
∴应从﹣，﹣中选；
∵|﹣|＞|﹣|，
∴﹣＜﹣．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．
C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【解答】解：A、﹣（﹣x+1）＝x﹣1，故本选项错误；
B、＝3﹣故本选项错误；
C、|﹣2|＝2﹣故本选项正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2故本选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
【解答】解：∵2x2+5x﹣3
＝（2x﹣1）（x+3），
2x﹣1与x+3是多项式的因式，
故选：A．
4．（3分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6
【解答】解：依题意得剩余部分为
（m+3）2﹣m2＝（m+3+m）（m+3﹣m）＝3（2m+3）＝6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是＝2m+3．
故选：C．
5．（3分）关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（ ）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【解答】解：△＝k2﹣4（k﹣1）
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2，≥0，即△≥0，
∴原方程有两个实数根，当k＝2时，方程有两个相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
【解答】解：A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A选项正确；
B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B选项正确；
C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，故C选项正确；
D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D选项错误．
故选：D．
7．（3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【解答】解：设可打x折，则有1200×﹣800≥800×5%，
解得x≥7．
即最多打7折．
故选：B．
8．（3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为x+y＝k（矩形的面积是一定值），
整理得y＝﹣x+k，
由此可知y是x的一次函数，图象经过第一、二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，
所以只有A符合要求．
故选：A．
9．（3分）下列说法中
①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等
②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2
③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形
④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为
正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补或相等，所以①错误．
②数据1，2，2，4，5，7，中位数是（2+4）＝3，其中2出现的次数最多，众数是2，所以②正确．
③等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以③错误．
④根据根与系数的关系有：a+b＝7，ab＝7，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣14＝35，
即：AB2＝35，
AB＝
∴AB边上的中线的长为．所以④正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB＝2，半径为2，
∴AE＝AB＝，PA＝2，
根据勾股定理得：PE＝＝1，
∵点A在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD＝．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a＝PD+DC＝2+．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）化简：÷＝ ．
【解答】解：原式＝•＝．
故答案为：
12．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15 度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
13．（3分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ．
【解答】解：
共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，
所以概率为．
故答案为：．
14．（3分）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为 80° ．
【解答】解：由翻折可得∠B′＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠B′＝60°，
∵∠AFD＝∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF＝∠B′GF，
∵∠EGC＝∠FGB′，
∴∠EGC＝∠ADF＝80°．
故答案为：80°．
15．（3分）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是 ﹣4≤a≤﹣2 ．
【解答】解：当A、D两点重合时，PO＝PD﹣OD＝5﹣3＝2，此时P点坐标为a＝﹣2，
当B在弧CD时，由勾股定理得，PO＝＝＝4，此时P点坐标为a＝﹣4，
则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．
故答案为：﹣4≤a≤﹣2．
16．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是 （2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）． ．
【解答】解：（1）当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝2，
∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴OA＝2，
∴OA＝OP＝2，
∴P的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．
三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）
17．（6分）先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．
【解答】解：原式＝＝×＝，
当x＝2时，原式＝﹣＝﹣1．
18．（6分）分别按下列要求解答：
（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；
（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
19．（6分）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
【解答】解：（1）120×0.95＝114（元），
若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付114元；
（2）设所付钱为y元，购买商品价格为x元，
则按方案一可得到一次函数的关系式：y＝0.8x+168，
则按方案二可得到一次函数的关系式：y＝0.95x，
如果方案一更合算，那么可得到：
0.95x＞0.8x+168，
解得：x＞1120，
∴所购买商品的价格在1120元以上时，采用方案一更合算．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
20．（8分）根据第五次、第六次全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：
解答下列问题：
（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；
（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？
【解答】解：（1）450﹣36﹣55﹣180﹣49＝130（万人）；
（2）第五次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数的百分比是：1﹣3%﹣17%﹣38%﹣32%＝10%，
人数是400×10%＝40（万人），
∴第六次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数是55万人，
∴第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是：×100%＝37.5%．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）连接OD．设⊙O的半径为r．
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC．
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴＝，即10r＝6（10﹣r）．
解得r＝，
∴⊙O的半径为．
（2）四边形OFDE是菱形．理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠B．
∵∠DEF＝∠DOB，
∴∠B＝∠DOB．
∵∠ODB＝90°，
∴∠DOB+∠B＝90°，
∴∠DOB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝60°．
∵OD＝OE．
∴OD＝DE．
∵OD＝OF，
∴DE＝OF．
又∵DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形．
∵OE＝OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证：AD＝AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【解答】（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD＝AE．
（2）答：直线OA垂直平分BC．
理由如下：连接BC，AO并延长交BC于F，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO＝∠EAO，
即OA是∠BAC的平分线，
又∵AB＝AC，
∴OA⊥BC且平分BC．
23．（9分）设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【解答】解：∵，，，…，．
∴S1＝（）2，S2＝（）2，S3＝（）2，…，Sn＝（）2，
∵，
∴S＝，
∴S＝1+，
∴S＝1+1﹣+1+﹣+…+1+，
∴S＝n+1﹣＝．
六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
【解答】（1）解：∵∠BPA＝90°，PA＝PB，
∴∠PAB＝45°，
∵∠BAO＝45°，
∴∠PAO＝90°，
∴四边形OAPB是正方形，
∴P点的坐标为：（a，a）．
（2）证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，
∵∠BPE+∠EPA＝90°，∠EPB+∠FPB＝90°，
∴∠FPB＝∠EPA，
∵∠PFB＝∠PEA，BP＝AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE＝PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上．
（3）解：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE＝h，设∠APE＝α．
在直角△APE中，∠AEP＝90°，PA＝，
∴PE＝PA•cosα＝•cosα，
又∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），
∴0°≤α＜45°，
∴＜h≤．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；
（3）是否存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意知，P（1，2）．若点E与点P重合，则k＝xy＝1×2＝2；
（2）①当0＜k＜2时，如图1所示．
根据题意知，四边形OAPB是矩形，且BP＝1，AP＝2．
∵点E、F都在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴E（，2），F（1，k）．则BE＝，PE＝1﹣，AF＝k，PF＝2﹣k，
∴S△OEF＝S矩形OAPB﹣S△OBE﹣S△PEF﹣S△OAF
＝1×2﹣××2﹣×（1﹣）×（2﹣k）﹣×1×k
＝﹣k2+1；
②当k＝2时，由（1）知，△OEF不存在；
③当k＞2时，如图2所示．点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形．
∵PF⊥PE，
∴S△FPE＝PE•PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1，
∴四边形PFGE是矩形，
∴S△PFE＝S△GEF，
∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△GEF﹣S△OCE
＝•k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1；
（3）当k＞0时，存在点E使△OEF 的面积为△PEF面积的2倍．理由如下：
①如图1所示，当0＜k＜2时，S△PEF＝×（1﹣）×（2﹣k）＝，
S△OEF＝﹣k2+1，
则×2＝﹣k2+1，
解得，k＝2（舍去），或k＝；
②由（1）知，k＝2时，△OEF与△PEF不存在；
③如图2所示，当k＞2时，S△PEF＝﹣k2+k﹣1，S△OEF＝k2﹣1，
则2（﹣k2+k﹣1）＝k2﹣1，
解得k＝（不合题意，舍去），或k＝2（不合题意，舍去），
则E点坐标为：（3，2）．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．
A．9×1011 B．9×104 C．9×1012 D．9×1010
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．2的相反数是2 B．2的绝对值是2
C．2的倒数是2 D．2的平方根是2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3
10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2＝x的解是 ．
12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝ ．
13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是 ．
15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°
18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．
19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．
（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）证明：△ABC∽△BDC．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 ；
（2）补全折线统计图．
（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ，m的值为 ；
（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．
21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．
（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．
24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2，求图中阴影部分的面积；
（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．
25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求a，c的值；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．
2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．
A．9×1011 B．9×104 C．9×1012 D．9×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90000亿＝9×1012，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．2的相反数是2 B．2的绝对值是2
C．2的倒数是2 D．2的平方根是2
【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．
【解答】解：A、2的相反数是﹣2，错误；
B、2的绝对值是2，正确；
C、2的倒数是，错误；
D、2的平方根是±，错误；
故选：B．
【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5
C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝a，符合题意；
D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．
【解答】解：由数轴可得：﹣2＜x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）
A．75° B．85° C．60° D．65°
【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．
【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3＝115°，
又∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1＝∠3﹣∠A＝115°﹣30°＝85°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．
【解答】解：∵OC∥AB，
∴∠C＝∠A＝20°，
又∵∠O＝2∠A＝40°，
∴∠1＝∠O+∠C＝20°+40°＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键．
8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有2种结果，
所以点（a，b）在第二象限的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3
【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据tan∠AOE＝＝，构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．
由题意：tan∠AOE＝＝，
∵A（t，2），
∴AE＝2，OE＝﹣t，
∴＝，
∴t＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
