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中学自主招生数学试卷
一、选择题
1. 某车间2019年4月上旬生产零件的次品数如下(单位:个):0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】
A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25
2. 如图所示，A,B,C均在⊙O上，若∠OAB=40O ，是优弧，则∠C的度数为 【 】
A. 40O
B.45O
C. 50O
D. 55O
3. 若二次函数y=ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数值为 【 】
A. a+c B. a - c C. - c D. c
4. 已知在锐角△ABC中，∠A=550 ，AB﹥BC。则∠B的取值范围是 【 】
A.35o ﹤∠B﹤55o B. 40o ﹤∠B﹤55o
C. 35o ﹤∠B﹤70o D. 70o ﹤∠B﹤90o
5. 正比例函数y1=k1x（k1＞0）与反比例函数 （k2＞0）部分图象如图所示，
则不等式k1x＞的解集在数轴上表示正确的是 【 】
A. B.
C. D.
6. 定义运算符号“*”的意义为a*b=a+bab（a、b均不为0）.下面有两个结论：
①运算“*”满足交换律；
②运算“*”满足结合律
其中 【 】
A.只有①正确 B. 只有②正确
C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确
7. 已知且，那么的值为 【 】
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
8. 如图，点A的坐标为（0,1），点 B是 x轴正半轴上的一动点，以 AB为边作等腰直角 △ABC ，使ÐBAC=90O，设点 B的横坐标为 x，点 C的纵坐标为 y，能表示 y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D
9．已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积为a，DEFG是半圆O的内接正方形，面积等于b，那么的值为 【 】
A. 2 B. C. D.
10. 横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数的图象上整点的个数是【 】
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11.如图，五边形是正五边形，若，
则 ．
12.实数a、b、c满足a2-6b= -17,b2+8c= - 23,c2+2a=14,则a+b+c=_______
13.把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则b=_______，c=________
14.对于正数x，规定，则
15.如图，在△ABC内的三个小三角形的面积分别
是10、16、20，若△ABC的面积S，则S=_____
16.工人师傅在一个长为25cm、宽为18cm的矩形铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙A后，在剩余部分的废料上再剪出一个最大的⊙B，则圆B的半径是___cm
三、解答题
17. （本题满分10分）
甲、乙两船从河中A地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B地和C地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B地的航程大于A地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2．试比较t1和t2的大小关系．
18. （本题满分10分）
关于三角函数有如下的公式：
①
②
③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：
如图所示，直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角a为60o，底端C点的俯角b为75 o，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
19. （本题满分12分）
某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
校本课程
频数
频率
A
36
0.45
B
0.25
C
16
b
D
8
合计
a
1
（图1） （图2）
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a= ，b= ；
（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
20.（本题满分12分）
阅读以下的材料：
（1）如果两个正数a，b，即a>0，b>0，有下面的不等式：
当且仅当a=b时取到等号，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。
（2）茎叶图是一个与直方图相类似的特殊工具，但又与直方图不同，茎叶图保留原始资料的资讯，直方图则失去原始资料的讯息。茎叶图的思路是将一组数中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。例如：将2、10、15、20、23、27这6个数据用茎叶图表示如右图。
下面举两个例子：
例1：已知x>0，求函数的最小值。
解：令a=x，，则有，得，当且仅当即x=2时，函数有最小值，最小值为2。
例2：已知a>0,b>0,且
解：因为a>0,b>0，所以
当且仅当 即 时取等号,
根据上面回答下列问题：
①已知x>1，则当x=______时，函数取到最小值，最小值为______；
②为保障中考期间的食品安全，某县城对各考点进行食品检查，如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，若m>0,n>0且m+n=a+b求的最小值；
③已知x>0，则自变量x取何值时，函数 取到最大值，
最大值为多少？
21.（本题满分12分）
如此巧合！
下面是小刘对一道题目的解答.
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，
，，求的面积.
解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.
根据切线长定理，得，，.
根据勾股定理，得.整理，得.
所以.
小刘发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮他完成下面的探索.
已知：的内切圆与相切于点，，.
可以一般化吗？
（1）若，求证：的面积等于.
倒过来思考呢？
（2）若，求证.
改变一下条件……
（3）若，用
中学自主招生数学试卷
一、选择题
1. 某车间2019年4月上旬生产零件的次品数如下(单位:个):0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】
A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25
2. 如图所示，A,B,C均在⊙O上，若∠OAB=40O ，是优弧，则∠C的度数为 【 】
A. 40O
B.45O
C. 50O
D. 55O
3. 若二次函数y=ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数值为 【 】
A. a+c B. a - c C. - c D. c
4. 已知在锐角△ABC中，∠A=550 ，AB﹥BC。则∠B的取值范围是 【 】
A.35o ﹤∠B﹤55o B. 40o ﹤∠B﹤55o
C. 35o ﹤∠B﹤70o D. 70o ﹤∠B﹤90o
5. 正比例函数y1=k1x（k1＞0）与反比例函数 （k2＞0）部分图象如图所示，
则不等式k1x＞的解集在数轴上表示正确的是 【 】
A. B.
C. D.
6. 定义运算符号“*”的意义为a*b=a+bab（a、b均不为0）.下面有两个结论：
①运算“*”满足交换律；
②运算“*”满足结合律
其中 【 】
A.只有①正确 B. 只有②正确
C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确
7. 已知且，那么的值为 【 】
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
8. 如图，点A的坐标为（0,1），点 B是 x轴正半轴上的一动点，以 AB为边作等腰直角 △ABC ，使ÐBAC=90O，设点 B的横坐标为 x，点 C的纵坐标为 y，能表示 y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D
9．已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积为a，DEFG是半圆O的内接正方形，面积等于b，那么的值为 【 】
A. 2 B. C. D.
10. 横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数的图象上整点的个数是【 】
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11.如图，五边形是正五边形，若，
则 ．
12.实数a、b、c满足a2-6b= -17,b2+8c= - 23,c2+2a=14,则a+b+c=_______
13.把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则b=_______，c=________
14.对于正数x，规定，则
15.如图，在△ABC内的三个小三角形的面积分别
是10、16、20，若△ABC的面积S，则S=_____
16.工人师傅在一个长为25cm、宽为18cm的矩形铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙A后，在剩余部分的废料上再剪出一个最大的⊙B，则圆B的半径是___cm
三、解答题
17. （本题满分10分）
甲、乙两船从河中A地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B地和C地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B地的航程大于A地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2．试比较t1和t2的大小关系．
18. （本题满分10分）
关于三角函数有如下的公式：
①
②
③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：
如图所示，直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角a为60o，底端C点的俯角b为75 o，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
19. （本题满分12分）
某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
校本课程
频数
频率
A
36
0.45
B
0.25
C
16
b
D
8
合计
a
1
（图1） （图2）
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a= ，b= ；
（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
20.（本题满分12分）
阅读以下的材料：
（1）如果两个正数a，b，即a>0，b>0，有下面的不等式：
当且仅当a=b时取到等号，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。
（2）茎叶图是一个与直方图相类似的特殊工具，但又与直方图不同，茎叶图保留原始资料的资讯，直方图则失去原始资料的讯息。茎叶图的思路是将一组数中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。例如：将2、10、15、20、23、27这6个数据用茎叶图表示如右图。
下面举两个例子：
例1：已知x>0，求函数的最小值。
解：令a=x，，则有，得，当且仅当即x=2时，函数有最小值，最小值为2。
例2：已知a>0,b>0,且
解：因为a>0,b>0，所以
当且仅当 即 时取等号,
根据上面回答下列问题：
①已知x>1，则当x=______时，函数取到最小值，最小值为______；
②为保障中考期间的食品安全，某县城对各考点进行食品检查，如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，若m>0,n>0且m+n=a+b求的最小值；
③已知x>0，则自变量x取何值时，函数 取到最大值，
最大值为多少？
21.（本题满分12分）
如此巧合！
下面是小刘对一道题目的解答.
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，
，，求的面积.
解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.
根据切线长定理，得，，.
根据勾股定理，得.整理，得.
所以.
小刘发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮他完成下面的探索.
已知：的内切圆与相切于点，，.
可以一般化吗？
（1）若，求证：的面积等于.
倒过来思考呢？
（2）若，求证.
改变一下条件……
（3）若，用
中学自主招生数学试卷
一、选择题
1. 某车间2019年4月上旬生产零件的次品数如下(单位:个):0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，则在这10天中该车间生产零件的次品数的 【 】
A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25
2. 如图所示，A,B,C均在⊙O上，若∠OAB=40O ，是优弧，则∠C的度数为 【 】
A. 40O
B.45O
C. 50O
D. 55O
3. 若二次函数y=ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数值为 【 】
A. a+c B. a - c C. - c D. c
4. 已知在锐角△ABC中，∠A=550 ，AB﹥BC。则∠B的取值范围是 【 】
A.35o ﹤∠B﹤55o B. 40o ﹤∠B﹤55o
C. 35o ﹤∠B﹤70o D. 70o ﹤∠B﹤90o
5. 正比例函数y1=k1x（k1＞0）与反比例函数 （k2＞0）部分图象如图所示，
则不等式k1x＞的解集在数轴上表示正确的是 【 】
A. B.
C. D.
6. 定义运算符号“*”的意义为a*b=a+bab（a、b均不为0）.下面有两个结论：
①运算“*”满足交换律；
②运算“*”满足结合律
其中 【 】
A.只有①正确 B. 只有②正确
C. ①和②都正确 D. ①和②都不正确
7. 已知且，那么的值为 【 】
A. 2 B. 3 C. 4 D.5
8. 如图，点A的坐标为（0,1），点 B是 x轴正半轴上的一动点，以 AB为边作等腰直角 △ABC ，使ÐBAC=90O，设点 B的横坐标为 x，点 C的纵坐标为 y，能表示 y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A B C D
9．已知△ABC是⊙O的内接正三角形，△ABC的面积为a，DEFG是半圆O的内接正方形，面积等于b，那么的值为 【 】
A. 2 B. C. D.
10. 横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数的图象上整点的个数是【 】
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11.如图，五边形是正五边形，若，
则 ．
12.实数a、b、c满足a2-6b= -17,b2+8c= - 23,c2+2a=14,则a+b+c=_______
13.把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则b=_______，c=________
14.对于正数x，规定，则
15.如图，在△ABC内的三个小三角形的面积分别
是10、16、20，若△ABC的面积S，则S=_____
16.工人师傅在一个长为25cm、宽为18cm的矩形铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙A后，在剩余部分的废料上再剪出一个最大的⊙B，则圆B的半径是___cm
三、解答题
17. （本题满分10分）
甲、乙两船从河中A地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B地和C地．已知河中各处水流速度相同，且A地到B地的航程大于A地到C地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B地和C地驶回A地所需的时间为t1和t2．试比较t1和t2的大小关系．
18. （本题满分10分）
关于三角函数有如下的公式：
①
②
③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：
如图所示，直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角a为60o，底端C点的俯角b为75 o，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。
19. （本题满分12分）
某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
校本课程
频数
频率
A
36
0.45
B
0.25
C
16
b
D
8
合计
a
1
（图1） （图2）
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a= ，b= ；
（2）“D”对应扇形的圆心角为 度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
20.（本题满分12分）
阅读以下的材料：
（1）如果两个正数a，b，即a>0，b>0，有下面的不等式：
当且仅当a=b时取到等号，我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。
（2）茎叶图是一个与直方图相类似的特殊工具，但又与直方图不同，茎叶图保留原始资料的资讯，直方图则失去原始资料的讯息。茎叶图的思路是将一组数中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。例如：将2、10、15、20、23、27这6个数据用茎叶图表示如右图。
下面举两个例子：
例1：已知x>0，求函数的最小值。
解：令a=x，，则有，得，当且仅当即x=2时，函数有最小值，最小值为2。
例2：已知a>0,b>0,且
解：因为a>0,b>0，所以
当且仅当 即 时取等号,
根据上面回答下列问题：
①已知x>1，则当x=______时，函数取到最小值，最小值为______；
②为保障中考期间的食品安全，某县城对各考点进行食品检查，如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，若m>0,n>0且m+n=a+b求的最小值；
③已知x>0，则自变量x取何值时，函数 取到最大值，
最大值为多少？
21.（本题满分12分）
如此巧合！
下面是小刘对一道题目的解答.
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，
，，求的面积.
解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.
根据切线长定理，得，，.
根据勾股定理，得.整理，得.
所以.
小刘发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?
请你帮他完成下面的探索.
已知：的内切圆与相切于点，，.
可以一般化吗？
（1）若，求证：的面积等于.
倒过来思考呢？
（2）若，求证.
改变一下条件……
（3）若，用
中学自主招生数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．9的平方根为（ ）
A．3
B．-3
C．±3
D．±
2．如图的几何体，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（-3mn）2=-6m2n2
B．4x4+2x4+x4=6x4
C．（xy）2÷（-xy）=-xy
D．（a-b）（-a-b）=a2-b2
4．如图，AE∥CD，△ABC为等边三角形，若∠CBD=15°，则∠EAC的度数是（ ）
A．60°
B．45°
C．55°
D．75°
5．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（a-2，b）和点B（a，b+4），则k的值为（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2
6．如图，△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD的度数是（ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
7．直线l1：y=-x+1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法正确的是（ ）
A．将l1向下平移2个单位得到l2
B．将l1向右平移2个单位得到l2
C．将l1向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到l2
D．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2
8．如图，BD为菱形ABCD的一条对角线，E、F在BD上，且四边形ACEF为矩形，若EF=BD，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是（ ）
A．35°
B．46°
C．55°
D．70°
10．关于x的二次函数y=mx2+（m-4）x+2（m＜0），下列说法：①二次函数的图象开口向下；②二次函数与x轴有两个交点；③当x＜-，y随x的增大而增大；④二次函数图象顶点的纵坐标大于等于6，其中正确的论述是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
11．不等式的最小整数解为
12．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 度
13．若直线y=-x+m与双曲线y=（x＞0）交于A（2，a），B（4，b）两点，则mn的值为 .
14．如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF=AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．计算：
16．解方程：
17．如图，已知四边形ABCD中，AD＜BC，AD∥BC，∠B为直角，将这个四边形折叠使得点A与点C重合，请用尺规作图法找出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，AB∥CD，且AB=CD，连接BC，在线段BC上取点E、F，使得CE=BF，连接AE、DF．求证：AE∥DF．
19．我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．
组别
捐款额x/元
人数
A
1≤x＜10
B
10≤x＜20
100
C
20≤x＜30
D
30≤x＜40
E
x≥40
（1）a= ，本次抽样调查样本的容量是 ；
（2）补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元．
20．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向2千米处．有一艘小船在观测点A北偏西60°的方向上航行，一段时间后，到达点C处，此时，从观测点B测得小船在北偏西15°方向上．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号）
21．为了美化环境，建设最美西安，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用为y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为100元/m2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少费用为多少元？
22．甲、乙、丙、丁4人聚会，吗，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起．
（1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是 ；
（2）甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点O为AB上一点，且3AO=AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F．
（1）求证：CB与⊙O相切；
（2）若AB=6，求DF的长度．
24．已知抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）若将抛物线L沿y轴平移后得到抛物线L′，抛物线L′经过点E（4，1），与y轴的交点为C′，顶点为D′，在抛物线L′上是否存在点M，使得△MCC′的面积是△MDD′面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．发现问题：如图1，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为 ；
探究问题：如图2，Rt△ABC中，∠DAC=∠BAC，DA=2，求△ABC面积的最小值；
拓展应用：如图3，矩形花园ABCD的长AD为400米，宽CD为300米，供水点E在小路AC上，且AE=2CE，现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN，使得MN经过E，并在四边形AMCN围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值，及面积取最小时点M、N的位置．（小路的宽忽略不计）
参考答案与试题解析
1. 【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．
【解答】解：9的平方根有：±=±3．
故选：C．
【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
2. 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 【分析】根据积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，即可解答．
【解答】解：A、（-3mn）2=9m2n2，故错误；
B、4x4+2x4+x4=7x4，故错误；
C、正确；
D、（a-b）（-a-b）=-（a2-b2）=b2-a2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，解决本题的关键是熟记相关法则．
4. 【分析】如图，延长AC交BD于H．求出∠CHB即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AC交BD于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB=∠CBD+∠CHB，∠CBD=15°，
∴∠CHB=45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAC=∠CHB=45°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5. 【分析】由正比例函数y=kx可得k=，将点A与B代入可得，求出b=2a-4，再将A点代入即可求解．
【解答】解：由正比例函数y=kx可得k=，
∵图象经过点A（a-2，b）和点B（a，b+4），
∴，
∴b=2a-4，
∴A（a-2，2a-4），
将点A代入y=kx可得2a-4=k（a-2），
∴k=2，
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的性质；能够根据已知点建立方程求出b=2a-4是解题的关键．
6. 【分析】根据∠ECD=∠DCB-∠ECB，求出∠DCB，∠ECB即可．
【解答】解：∵∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=×90°=45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-65°=25°，
∴∠ECD=45°-25°=20°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 【分析】设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-x+1上，代入可得直线l2解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断．
【解答】解：设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-x+1上，
∴-y=-（2-x）+1，
∴直线l2的解析式为：y=-（x-2）+1，
∴将l1向右平移2个单位得到l2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是解题的关键．
8. 【分析】由菱形的性质可知对角线垂直且互相平分，由矩形的性质可知对角线又互相平分且相等，再加上EF=BD，可以得到OA=OC=OE=OF=OB=BD，设OA=x，用勾股定理可以表示出AE、AD，进而求出他们的比值，再做出选择．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∵AFCE是矩形，
∴AC=EF=2OF=2OE，
又∵EF=BD，
∴OA=OF，OB=2OA，
设OA=x，则OE=x，OB=2x，
在Rt△AOE和Rt△AOB中，
，
故选：A．
【点评】考查菱形的性质、矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，合理的转化以及设参数是解决问题常用方法．
9. 【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解．
【解答】解：连接BC，
∵∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC═55°，
∵CD⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCD=90°-55°=35°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．
10. 【分析】①由m＜0即可判断出①；②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求出根的判别式△＞0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．
【解答】解：①∵m＜0，∴二次函数的图象开口向下，故①正确，
②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求△=（m-8）2-48，
∵m＜0，
∴△=（m-8）2-48＞0，
∴二次函数与x轴有两个交点，故②正确，
③抛物线开口向下，对称轴，
∵，
∴，
所以当时，y随x的增大而增大，故③错误，
④y=
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