资源描述
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列各组数中结果相同的是（ ）
A. 32与23 B. |-3|3与(-3)3 C. (-3)2与-32 D. (-3)3与-33
2. 据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.442×107 B. 0.1442×107 C. 1.442×108 D. 0.1442×108
3. 下列计算中，错误的是（ ）
A. 5a3-a3=4a3 B. (-a)2⋅a3=a5
C. (a-b)3⋅(b-a)2=(a-b)5 D. 2m⋅3n=6m+n
4. 下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 某班班长统计去年1-8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数是58 B. 众数是42
C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月
6. 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
7. 下列命题错误的是（ ）
A. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B. 矩形一定有外接圆
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. 24+123 B. 16+123 C. 24+63 D. 16+63
9. 在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）
A. 12 B. 14 C. 38 D. 58
10. 运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A. 152 B. 43 C. 215 D. 55
12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=45；④S四边形ECFG=2S△BGE．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 分解因式：4ax2-ay2=______．
14. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为______．
15. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx上，且OA⊥OB，cosA=33，则k的值为______．
16. 如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17. 先化简，再求值：（2aa2-1-1a+1）÷a+2a2-a，其中a=5．
18. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
19. 计算：8+3tan30°+|1-2|-（-12）-2．
20. 将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）．A组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．
（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？
（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？
（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．
21. 某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？
22. 如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，323），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，
（1）⊙P的半径为______；
（2）求证：EF为⊙P的切线；
（3）若点H是CD 上一动点，连接OH、FH，当点P在PD 上运动时，试探究OHFH是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=52对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若AFFB=34，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A、32=9，23=8，故不相等；
B、|-3|3=27（-3）3=-27，故不相等；
C、（-3）2=9，-32=-9，故不相等；
D、（-3）3=-27，-33=-27，故相等，
故选：D．
利用有理数乘方法则判定即可．
本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是注意符号．
2.【答案】A
【解析】
解：14420000=1.442×107，
故选：A．
根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．
本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
3.【答案】D
【解析】
解：A、5a3-a3=4a3，正确，本选项不符合题意；
B、（-a）2•a3=a5，正确，本选项不符合题意；
C、（a-b）3•（b-a）2=（a-b）5，正确，本选项不符合题意；
D、2m•3n≠6m+n，错误，本选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则等知识求解即可求得答案．
本题考查的是合并同类项法则，同底数幂的乘法，需注意区别：同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘．
4.【答案】C
【解析】
解：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B，C，D是轴对称图形，也是中心对称图形．故选C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5.【答案】C
【解析】
解：A、每月阅读数量的平均数是=56.625，故A错误；
B、出现次数最多的是58，众数是58，故B错误；
C、由小到大顺序排列数据28，36，42，58，58，70，78，83，中位数是58，故C正确；
D、由折线统计图看出每月阅读量超过40天的有6个月，故D错误；
故选：C．
根据平均数的计算方法，可判断A；根据众数的定义，可判断B；根据中位数的定义，可判断C；根据折线统计图中的数据，可判断D．
本题考查的是折线统计图、平均数、众数和中位数．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位，关键是根据折线统计图获得有关数据．
6.【答案】D
【解析】
解：由题意这个正n边形的中心角=60°，
∴n==6，
∴这个多边形是正六边形，
故选：D．
求出正多边形的中心角即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】
解：A、一个多边形的外角和为360°，若外角和=内角和=360°，所以这个多边形是四边形，故此选项正确；
B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆，则矩形一定有外接圆，故此选项正确；
C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误；
本题选择错误的命题，
故选：D．
A、任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可；
B、判断一个四边形是否有外接圆，要看此四边形的对角是否互补，矩形的对角互补，一定有外接圆；
C、根据正方形的判定方法进行判断；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，四点共圆问题，正方形的判定，平行四边形的判定，掌握这些定理和性质是关键．
8.【答案】A
【解析】
解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱；
该六棱柱的棱长为2，正六边形的半径为2，
所以表面积为2×2×6+×2××6×2=24+12，
故选：A．
首先确定该几何体的形状，然后根据各部分的尺寸得到该几何体的表面积即可．
本题考查由三视图求表面积，考查由三视图还原直观图，注意求面积时，由于包含的部分比较多，不要漏掉，本题是一个基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，经过3次传球后，球仍回到甲手中的有2种情况，
∴经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是：=．
故选：B．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过三次传球后，球仍回到甲手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10.【答案】D
【解析】
解：∵3※2=1，
∴运算※就是找到第三列与第二行相结合的数，
∴（2※4）=3，（1※3）=3，
∴3※3=4．
故选：D．
根据题目提供的运算找到运算方法，即：3※2=1就是第三列与第二行所对应的数，按此规律计算出（2※4）※（1※3）的结果即可．
本题考查了学生们的阅读理解能力，通过观察例子，从中找到规律，进而利用此规律进行进一步的运算．
11.【答案】C
【解析】
解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，
∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，
∴DE=4，
∵DC∥AB，
∴，
∴，
∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，
∴BG=BF=2，
在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG===2，
故选：C．
先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．
此题是平行四边形的性质，主要考查了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是求出AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点．
12.【答案】B
【解析】
解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x-k）2+4k2，
∴x=，
∴sin∠BQP==，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE=BC，BF=BC，
∴BE：BF=1：，
∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，
∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．
故选：B．
首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．
13.【答案】a（2x+y）（2x-y）
【解析】
解：原式=a（4x2-y2）
=a（2x+y）（2x-y），
故答案为：a（2x+y）（2x-y）．
首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】π2+3
【解析】
解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，
在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=1，
∴圆B的半径为，
∴S△ABG=×1×=
在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S阴影=2（S△ABG-S扇形）+S扇形FBE=2×（-）+=+．
故答案为：+．
设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键．
15.【答案】-4
【解析】
解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO=∠ACO=90°，
则∠BOD+∠OBD=90°，
∵OA⊥OB，cosA=，
∴∠BOD+∠AOC=90°，tanA=，
∴∠BOD=∠OAC，
∴△OBD∽△AOC，
∴=（）2=（tanA）2=2，
又∵S△AOC=×2=1，
∴S△OBD=2，
∴k=-4．
故答案为：-4．
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，则面积的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
16.【答案】2+3或4+23
【解析】
解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，
∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，
则∠NAD=60°，
∴∠AND=90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT=x，则BC=EC=2x，
故2x2=2，
解得：x=1（负数舍去），
则AE=EC=2，EN==，
故AN=2+，
则AD=DC=4+2；
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，
∵BE=BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴设AB=y，则BE=2y，AE=y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE=2y2=2，
解得：y=1，故AE=，DE=2，
则AD=2+，
综上所述：CD的值为：2+或4+2．
故答案为：2+或4+2．
根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．
此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质等知识，根据题意画出正确图形是解题关键．
17.【答案】解：原式=[2a(a+1)(a-1)-a-1(a+1)(a-1)]÷a+2a(a-1)
=a+1(a+1)(a-1)•a(a-1)a+2
=aa+2，
当a=5时，
原式=55+2=5(5-2)(5+2)(5-2)=5-25．
【解析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
而EA=ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴BE：AE=BD：CD，即BE：4=6：3，
∴BE=8．
【解析】
根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线，则AE=DE，AF=DF，所以∠EAD=∠EDA，加上∠BAD=∠CAD，得到∠EDA=∠CAD，则可判断DE∥AC，同理DF∥AE，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上EA=ED，则可判断四边形AEDF为菱形，所以AE=DE=DF=AF=4，然后利用平行线分线段成比例可计算BE的长．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例．
19.【答案】解：原式=22+3×33+2-1-4=22+1+2-1-4=32-4．
【解析】
依据二次根式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质进行化简，然后再进行计算即可．
本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握二次根式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质是解题的关键．
20.【答案】解：（1）∵A组占10%，有5人，
∴这部分男生共有：5÷10%=50（人）；
∵只有A组男人成绩不合格，
∴合格人数为：50-5=45（人）；
（2）∵C组占30%，共有人数：50×30%=15（人），B组有10人，D组有15人，
∴这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，
∴成绩的中位数落在C组；
∵D组有15人，占15÷50=30%，
∴对应的圆心角为：360°×30%=108°；
（3）成绩优秀的男生在E组，含甲、乙两名男生，记其他三名男生为a，b，c，
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，他俩至少有1人被选中的有14种情况，
∴他俩至少有1人被选中的概率为：1420=710．
【解析】
（1）根据题意可得：这部分男生共有：5÷10%=50（人）；又由只有A组男人成绩不合格，可得：合格人数为：50-5=45（人）；
（2）由这50人男生的成绩由低到高分组排序，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，可得：成绩的中位数落在C组；又由D组有15人，占15÷50=30%，即可求得：对应的圆心角为：360°×30%=108°；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他俩至少有1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率以及直方图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：（1）设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，
根据题意，得x+y=0.63x+2y=1.3，
解得：x=0.1y=0.5．
答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元．
（2）设建m（m为整数）个地上停车位，则建（50-m）个地下停车位，
根据题意，得：12＜0.1m+0.5（50-m）≤13，
解得：30≤m＜32.5．
∵m为整数，
∴m=30，31，32，共有3种建造方案．
①建30个地上停车位，20个地下停车位；
②建31个地上停车位，19个地下停车位；
③建32个地上停车位，18个地下停车位．
【解析】
（1）设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，根据题意列出方程就可以求出结论；
（2）设建m个地上停车位，则建（50-m）个地下停车位，根据题意建立不等式组就可以求出结论
本题考查了二元一次方程组的运用及解法，一元一次不等式及不等式组的运用及解法．在解答中要注意实际问题中未知数的取值范围的运用．
22.【答案】5
【解析】
解：（1）连接PC，
∵AC平分∠OAB，
∴∠BAC=∠OAC，
∵PA=PC，
∴∠PCA=∠PAC，
∴∠BAC=∠ACP，
∴PC∥AB，
∴△OPC∽△OAB，
∴，
∵A（-8，0），B（0，），
∴OA=8，OB=，
∴AB=，
∴=，
∴PC=5，
∴⊙P的半径为5；
故答案为：5；
（2）证明：连接CP，
∵AP=CP，
∴∠PAC=∠PCA，
∵AC平分∠OAB，
∴∠PAC=∠EAC，
∴∠PCA=∠EAC，
∴PC∥AE，
∵CE⊥AB，
∴CP⊥EF，
即EF是⊙P的切线；
（3）是定值，=，
连接PH，
由（1）得AP=PC=PH=5，
∵A（-8，0），
∴OA=8，
∴OP=OA-AP=3，
在Rt△POC中，OC===4，
由射影定理可得OC2=OP•OF，
∴OF=，
∴PF=PO+OF=，
∵=，==，
∴，又∵∠HPO=∠FPH，
∴△POH∽△PHF，
∴，
当H与D重合时，．
（1）连接PC，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠OAC，根据等腰三角形的性质得到∠PCA=∠PAC，等量代换得到∠BAC=∠ACP，推出PC∥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）连接CP，根据等腰三角形的性质得到∠PAC=∠PCA，由角平分线的定义得到∠PAC=∠EAC，等量代换得到∠PCA=∠EAC，推出PC∥AE，于是得到结论；
（3）连接PH，由（1）得AP=PC=PH=5，根据勾股定理得到OC===4，根据射影定理得到OF=，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：（1）由题意可得-b2a=52c=5a+b+c=1，
解得a=1，b=-5，c=5；
∴二次函数的解析式为：y=x2-5x+5，
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，设对称轴交x轴于Q．
则AFFB=MQQN=34，
∵MQ=32，
∴NQ=2，B（92，114）；
∴k+m=192k+m=114，
解得k=12m=12，
∴yl=12x+12，D（0，12），
同理可求，yBC=-12x+5，
∵S△BCD=S△BCG，
∴①DG∥BC（G在BC下方），yDG=-12x+12，
∴-12x+12=x2-5x+5，
解得，x1=32，x2=3，
∵x＞52，
∴x=3，
∴G（3，-1）．
②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，
∴yG2G3=-12x+192，
∴-12x+192=x2-5x+5，
解得x1=9+3174，x2=9-3174，
∵x＞52，
∴x=9+3174，
∴G（9+3174，67-3178），
综上所述点G的坐标为G（3，-1），G（9+3174，67-3178）．
（3）由题意可知：k+m=1，
∴m=1-k，
∴yl=kx+1-k，
∴kx+1-k=x2-5x+5，
解得，x1=1，x2=k+4，
∴B（k+4，k2+3k+1），
设AB中点为O′，
∵P点有且只有一个，
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，
∴O′P⊥x轴，
∴P为MN的中点，
∴P（k+52，0），
∵△AMP∽△PNB，
∴AMPM=PNBN，
∴AM•BN=PN•PM，
∴1×（k2+3k+1）=（k+4-k+52）（k+52-1），
∵k＞0，
∴k=-6+466=-1+263．
【解析】
（1）根据已知列出方程组求解即可；
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，求出直线l的解析式，再分两种情况分别分析出G点坐标即可；
（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．
此题主要考查二次函数的综合问题，会
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
24. 下列各组数中结果相同的是（ ）
A. 32与23 B. |-3|3与(-3)3 C. (-3)2与-32 D. (-3)3与-33
25. 据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为（ ）
A. 1.442×107 B. 0.1442×107 C. 1.442×108 D. 0.1442×108
26. 下列计算中，错误的是（ ）
A. 5a3-a3=4a3 B. (-a)2⋅a3=a5
C. (a-b)3⋅(b-a)2=(a-b)5 D. 2m⋅3n=6m+n
27. 下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
28. 某班班长统计去年1-8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数是58 B. 众数是42
C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月
29. 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
30. 下列命题错误的是（ ）
A. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B. 矩形一定有外接圆
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
31. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. 24+123 B. 16+123 C. 24+63 D. 16+63
32. 在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）
A. 12 B. 14 C. 38 D. 58
33. 运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
34. 如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（ ）
A. 152 B. 43 C. 215 D. 55
35. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=45；④S四边形ECFG=2S△BGE．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
36. 分解因式：4ax2-ay2=______．
37. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为______．
38. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx上，且OA⊥OB，cosA=33，则k的值为______．
39. 如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
40. 先化简，再求值：（2aa2-1-1a+1）÷a+2a2-a，其中a=5．
41. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
42. 计算：8+3tan30°+|1-2|-（-12）-2．
43. 将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：米）．A组：5.25≤x＜6.25；B组：6.25≤x＜7.25；C组：7.25≤x＜8.25；D组：8.25≤x＜9.25；E组：9.25≤x＜10.25，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定x≥6.25为合格，x≥9.25为优秀．
（1）这部分男生有多少人？其中成绩合格的有多少人？
（2）这部分男生成绩的中位数落在哪一组？扇形统计图中D组对应的圆心角是多少度？
（3）要从成绩优秀的学生中，随机选出2人介绍经验，已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀，求他俩至少有1人被选中的概率．
44. 某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？
45. 如图，△AOB中，A（-8，0），B（0，323），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，
（1）⊙P的半径为______；
（2）求证：EF为⊙P的切线；
（3）若点H是CD 上一动点，连接OH、FH，当点P在PD 上运动时，试探究OHFH是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．
46. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=52对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若AFFB=34，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A、32=9，23=8，故不相等；
B、|-3|3=27（-3）3=-27，故不相等；
C、（-3）2=9，-32=-9，故不相等；
D、（-3）3=-27，-33=-27，故相等，
故选：D．
利用有理数乘方法则判定即可．
本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是注意符号．
2.【答案】A
【解析】
解：14420000=1.442×107，
故选：A．
根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．
本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
3.【答案】D
【解析】
解：A、5a3-a3=4a3，正确，本选项不符合题意；
B、（-a）2•a3=a5，正确，本选项不符合题意；
C、（a-b）3•（b-a）2=（a-b）5，正确，本选项不符合题意；
D、2m•3n≠6m+n，错误，本选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则等知识求解即可求得答案．
本题考查的是合并同类项法则，同底数幂的乘法，需注意区别：同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘．
4.【答案】C
【解析】
解：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B，C，D是轴对称图形，也是中心对称图形．故选C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5.【答案】C
【解析】
解：A、每月阅读数量的平均数是=5
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