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中学自主招生数学试卷
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．估计﹣2的值在（ ）
A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间
2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5
4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（ ）
A． B．2 C．π D．π
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣9a＝ ．
12．方程＝的解是 ．
13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为 ．
14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是 ．
15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是 ．
三．解答题
17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）
18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．
19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．
20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO垂直平分BC．
（2）若，求的值．
22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F
（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；
（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．
23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）∠AOB的大小是 ；
（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．
25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；
（3）若＝，求证：CD＝DH．
参考答案
1．B．
2．B．
3．D．
4．D．
5．B．
6．A．
7．C．
8．C．
9．A．
10．D．
11．a（a+3）（a﹣3）．
12．x＝﹣4
13．π+．
14．x＝3．
15．y＝﹣．
16．．
17．解：将原方程整理，得
x2+2x＝15（1分）
两边都加上12，得
x2+2x+12＝15+12（2分）
即（x+1）2＝16
开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）
∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）
18．
解：（1）如图点P即为所求；
（2）如图点Q即为所求；
19．解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
20．解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：
（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
21．（1）证明：延长AO交BC于H．
∵＝，
∴OA⊥BC，
∴BH＝CH，
∴AO垂直平分线段BC．
（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，
∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，
在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，
∴r＝k，
∴OH＝AH＝OA＝k，
∵BK是直径，
∴∠BCK＝90°，
∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，
∴OA∥CK，
∵BO＝OK，BH＝HC，
∴CK＝2OH＝k，
∵CK∥OA，
∴△AOD∽△CKD，
∴＝＝＝．
22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab
∵△AOE的面积为1，
∴k＝1，k＝2；
答：k的值为：2．
（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，
∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，
∴E（，2），F（4，），
∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，
∴＝，
由△EB′F∽△B′CF得：，
∵DE＝2，
∴B′C＝1，
在Rt△B′FC中，由勾股定理得：
12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，
答：k的值为：3．
23．解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），
∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．
答：B、C两地的距离大约是6千米．
24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣3，2）和点B（2，）
∴ 解得：
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x﹣
（2）当x＝0时，y＝ax2+bx﹣＝﹣
∴C（0，﹣）
设直线AC解析式为：y＝kx+c
∴ 解得：
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣
当y＝0时，﹣x﹣＝0，解得：x＝﹣1
∴D（﹣1，0）
（3）如图1，连接AB
∵A（﹣3，2），B（2，）
∴OA2＝32+（2）2＝21，OB2＝22+（）2＝7，AB2＝（2+3）2+（）2＝28
∴OA2+OB2＝AB2
∴∠AOB＝90°
故答案为：90°．
（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．
①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，
∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）
∴OM＝OC＝，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90°
∴MD'＝＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°
∵∠MOD'＝∠AOB＝90°
∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM
即∠BOD'＝∠AOM
∵OA＝，OB＝
∴
∴△BOD'∽△AOM
∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，
∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2
∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2
∴（t）2+（t﹣2）2＝28
解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3
∴AM＝3，BM＝1
∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH
∴MH＝
②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，
∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD'
即∠AOM＝∠BOD'
∴同理可证：△AOM∽△BOD'
∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，
∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD'
设BD'＝t（t＞0），则AM＝t，BM＝BD'+MD'＝t+2
∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2
∴（t）2+（t+2）2＝28
解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）
∴AM＝2，BM＝4
∵S△AMB＝AM•BM＝AB•MH
∴MH＝
综上所述，点M到AB的距离为或．
25．（1）证明：连接OA，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵BD是直径，
∴∠DAB＝∠DAE＝90°，
在△DAB和△DAE中，
，
∴△DAB≌△DAE，
∴AB＝AE，又∵OB＝OD，
∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，
∴OA⊥AH，
∴AH是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACD，
∴AE＝AC＝AB＝6．
在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，
∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；
（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，
∴OA∥DE，OA＝DE．
∴△CDF∽△AOF，
∴＝＝，
∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，
∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝HE＝CE，
∴CD＝CH，
∴CD＝DH．
中学自主招生数学试卷
一、 选择题( 本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上)
1. 结果是 （ ）
A. B. C. D.
2. 在函数中，自变量的取值范围 （ ）
A. B. C. D.
3．江苏省占地面积约为107200平方公里．将107200用科学记数法表示应为（ ）
C
（第4题）
1
1
A
B
D
E
A．0.1072×106 B．1.072×105
C．1.072×106 D．10.72×104
4．如图，∠1＝50°，如果AB∥DE，那么∠D的度数为（ ）
A. 40° B. 50°
C. 130° D. 140°
5、若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6． 若是方程的一个根，则这个方程的另一个根是 （ ）
A．－2 B．2 C．4 D．－5
7. 已知一个圆锥的侧面积是10cm2，它的侧面展开图是一个圆心角为144°的扇形，则这个圆锥
的底面半径为 （ ）
A. cm B. cm C. 2 cm D. cm
8. 如图，在楼顶点处观察旗杆测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°.
已知楼高 m，则旗杆的高度为（ ）
A. m B. m C. m D. m
（第9题）
B
A
D
C
E
F
第10题
9． 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，
连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B
运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为（s），△ADP的面积为（cm2），则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相应的位置上)
11．在实数范围内分解因式：= ．
12. 已知a－2b＝－5，则8－3a＋6b的值为 ．
13. 一组数据2、3、4、5、6的方差等于 ．
14．抛物线的顶点坐标为 第15题
15．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度．
16． 如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于
点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和
△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为 .
17. 如图，在边长为10 的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，
交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是
第16题 第17题 第18题
18. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于A（1，12）和B（6，2）两点，点P是线段AB上一
动点(不与点A和B重合)，过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图像于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的
计算过程、推演步骤或文字说明）
19．(本题满分5分）计算：
20．(本题满分5分）解不等式组:
21．(本题满分6分） 先化简，再求值：，其中a＝．
A
B
D
C
F
E
22．(本题满分6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AD＝2，∠DAC＝30°，求△ABC的周长．
23．（7分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
24．（本题满分8分）在地铁入口处检票进闸时，3个进闸通道 A、B、C中，可随机选择其中的一个通过．
（1）如果你经过此进闸口时，选择A通道通过的概率是 ；
（2）求两个人经过此进闸口时，选择不同通道通过的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程.)
25. (本题满分8分) 如图1，线段=12厘米，动点从点出发向点运动，动点从点出
发向点运
中学自主招生数学试卷
一．选择题（共 10 小题）
1．在数轴上，与原点的距离是 2 个单位长度的点所表示的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．据统计，我市常住人口为 268.93 万人，用科学记数法表示 268.93 万人为（ ）
A．268.93×104 人 B．2.6893×107 人
C．2.6893×106 人 D．0.26893×107 人
3．下列运算正确的是（ ）
2
3
5
A． + =
B． 4 - = 4
C． 2 ´ = 2
D．4+ ＝2
3
3
3
3
2
2
4．下列 4 个图形中：①圆；②正五边形；③正三角形；④菱形、从中任意取两个图形，都是中心对称图形的概率
为（ ）
3 1
A． B． C． D．
4 3
5．已知直线 y1=2x+1，y2=－2x+1，则下列说法正确的是（ ）
A．两直线互相平行 B．两直线互相垂直
C．两直线关于 x 轴对称 D．两直线关于 y 轴对称
6．小明骑自行车到学校上学，若每小时骑 15 千米，可早到 10 分钟，若每小时骑 13 千米，则迟到 5 分钟，设他家到学校的路程为 x 千米，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若 m＞n，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣3 B．m﹣5＜n﹣5 C．﹣2m＞﹣2n D．3m＜4n
8．如图，在正方形 ABCD 纸片中，EF 是 BC 的垂直平分线，按以下四种方法折叠纸片，图中不能折出 30°角的是（ ）
A． B． C． D．
9．直角三角形的三边为 x，x﹣y，x+y 且 x、y 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）
A．31 B．41 C．51 D．61
10．如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点，且 EF∥BC，若 AE：EB＝m，BD：
DC＝n，则（ ）
A．若 m＞1，n＞1，则 2S△AEF＞S△ABD B．若 m＞1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD
C．若 m＜1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD D．若 m＜1，n＞1，则 2S△AEF＜S△ABD
二．填空题（共 5 小题）
11．分解因式：4x2﹣4＝ ．
12．已知圆弧的长为 10πcm，弧的半径为 20cm，则圆弧的度数为 ．
13．如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1 的大小为 ．
15．已知实数 m，n 满足 m²-6m=n+3，且满足不等式
m - 2 × (7 - m) > 0，则 n 的取值范围 。
16．在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，∠BED 的平分线交 DC 于点 F，若 AB＝
12，点 F 恰为 DC 的三等分点，则 BC＝ （结果保留根号）
三．解答题（共 8 小题）
17．为了解学生身高，某校随机抽取了 25 位同学的身高，按照身高分为：A，B，C，D，E 五个小组，并绘制了如下的统计图，其中每组数据均包含最小值，不包含最大值．
请结合统计图，解决下列问题：
（1）这组数据的中位数落在 组；
（2）根据各小组的组中值，估计该校同学的平均身高；
（3）小明认为在题（2）的计算中，将 D，E 两组的组中值分别用 1.70m 和 1.90m 进行替换，并不影响计算结果．他的想法正确吗？清说明理由．
18．如图，在▱ ABCD 中，E 是 DC 上一点，连接 AE．F 为 AE 上一点，且∠BFE＝∠
C
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）已知 AF=2，FE=3，AB=4，求 DE 的长。
19．阅读理解：
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 2 倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形 A1B1C1D1 是矩形 ABCD 的“加倍”矩形．请你解决下列问题：
（1）边长为 a 的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
（2）当矩形的长和宽分别为 m，n 时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x 与反比例函数 y＝（x＞0）在第一象限内的图象相交于点 A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线 x 向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点 B，与 y 轴交于点 C，且△ABO 的面积为
，求直线 BC 的解析式．
21．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3．，OB＝4，线段 OA’绕点 O 顺时针旋转ɑ角（0≤ɑ≤180°），
OA’交边 AB 于点 F。
（1）当旋转ɑ角度后，A’点恰好落在 AB 上，记为 C 点，求 CB 的长度；
（2）当 OA’绕点 O 旋转与 AB 平行时，记为 OG，连接 CG，交 OB 于 E，分别求出 OE 长度和∠COB 的正弦值；
A' F
（3）在旋转过程中，请直接写出
的最大值．
FO
22．已知二次函数 y＝（x－a－2）（x+a）+3．
（1）求该二次函数的图象的对称轴．
（2）对于该二次函数图象上的两点 P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
①当 x≥m 时，y 随 x 的增大而增大，写出一个符合条件的 m 值；
②当 m≤x2≤m+2，当 x1≤﹣1 时，均有 y1≥y2，求 m 的取值范围；
（3）当二次函数过（0，3）点时，且与直线 y=kx+2 交于 A、B 两点，其中有一交点的横坐标 x0 满足 1＜x0＜3， 求 k 的取值范围．
23．如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 以 lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动，运动时间为 t（s），连结 BE，过点 E 作 EF⊥BE，交 CD 于 F，以 EF 为直径作⊙O．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）如图 2，连结 BF，交⊙O 于点 G，并连结 EG．已知 AB＝4，AD＝6．
①用含 t 的代数式表示 DF 的长
②连结 DG，若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形，求 t 的值；
（3）连结 OC，当 tan∠BFC＝3 时，恰有 OC∥EG，请直接写出 tan∠ABE 的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．C．2．C．3．D．4．B．5．D．6．A．7．A．8．B．9．C．10．D． 二．填空题（共 5 小题）
4
11． 4（x+1）（x－1） ．12． 90° ．13． 14° ．14． ＜ ．16．－12≤n＜4．16． 4+8 或 8+ ．
三．解答题（共 8 小题）
17．解：（1）从直方图可得出这组数据的中位数位于 D 组；故答案为：D；
（2）（1.45×2+1.55×3+1.65×7+1.75×9+1.85×4）÷25＝1.69（米）；
答：该校同学的平均身高为 1.69 米；
（3）不正确，理由：组中值是这一小组的最小值和最大值的平均数， 如果将 D，E 两组的组中值分别用 1.70m 和 1.90m 进行替换，
平均数就会增加了， 故不正确．
18．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°．
∵∠AFE+∠BFE＝180°且∠BFE＝∠C．
∴∠D＝∠AFB．
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△EAD．
（2）
19．解：（1）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 2 时，则面积比必定是 4，所以不存在．
（相同解答均可给分，如：满足周长是 2 倍时，则面积就成了 4 倍，所以不存在）（4 分）
（2）存在．（5 分）
设“加倍”矩形的长和宽分别为 x，y．
则： ．（7 分）
x，y 就是关于 A 的方程 A2﹣2（m+n）A+2mn＝0 的两个正根．（8 分）
∵△＝[﹣2（m+n）]2﹣8mn＝4（m2+n2）（9 分）．当 m，n 不同时为零时，此题中，m＞0，n＞0．
∴△＝4（m2+n2）＞0．（10 分）
∴方程有两个不相等的正实数根 x 和 y（11 分）
即：存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形（12 分）
20．解：（1）
（2）．
21．解：（1）
22．解：（1）．
（2）．
（3）
23．解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠AEB＝∠1，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠2+∠DEF＝90°，
∴∠AEB＝∠2，
∴∠1＝∠2；
（2）①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，
∴△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝t，DE＝6﹣t，
∴
，
∴DF＝
；
②当 EG＝ED 时，
∴∠EGD＝∠EDG，
∵∠EGD＝∠EFD，∠EDG＝∠EFG，
∴∠EFD＝∠EFG＝∠AEB，
∵∠A＝∠EDF＝∠BEF，
∴△BAE∽△EDF∽△BEF，
∴＝＝，
∴AE＝DE，
∴t＝6﹣t，
∴t＝3；
当 GE＝GD 时，∴∠GED＝∠GDE，
∵∠EDG＝∠BFE，∠GED＝∠BFC，
∴∠BFE＝∠BFC，
∵∠BEF＝∠C＝90°，BF＝BF，
∴△BEF≌△BCF（AAS），
∴BE＝BC＝6，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴42+t2＝62，
∴t＝2；
综上所述，若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形，t 的值为 3 或 ；
（3）tan∠ABE＝1，
理由：如图 2，过 O 作 OH⊥CD 于 H，
∵tan∠BFC＝＝3， 设 CF＝a，BC＝3a，
∵AE＝t，
∴DE＝3a﹣t，
∵OH⊥CD，AD⊥CD，
∴OH∥DE，
∵OF＝OE，
∴OH＝DE＝，
∵OC∥EG，EG⊥FG，
∴OC⊥FG，
∴tan∠COH＝tan∠BFC＝3，
∴CH＝3OH＝ ，FH＝ ，
∴DF＝7a﹣3t，AB＝8a﹣3t，
由△ABE∽△DEF，得
中学自主招生数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，共78.0分）
1. 已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（ ）
A. -18 B. 0 C. 1 D. 98
2. 已知函数y=|8-2x-x2|和y=kx+k（k为常数），则不论k为何常数，这两个函数图象的交点个数恒为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 将1，2，3，4，5，6，7，8，这八个数分别填写于一个圆周的八等分点上，使得圆周上任意两个相邻位置的数之和为质数，如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）
A. 4种 B. 8种 C. 12种 D. 16种
4. 三个等圆O1、O2、O3有公共点M，点A、B、C是其他交点，则点M是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心
5. 如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，EF与对角线AC交于点P．若AEEB=ab，AFFD=mn（a、b、m、n均为正数），则APPC的值为（ ）
A. aman+bm B. bnan+bm C. amam+an+bm D. bnan+bm+bn
6. 如图，记二次函数y=-x2+1的图象与x轴正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份．设分点分别为P1，P2，…，Pn-1．过每个分点作x轴的垂线，分别与该图象交Q1，Q2，…，Qn-1再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2…，这样就有S1=n2-12n3，S2=n2-42n3，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，W最接近的常数是（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 23
7. 设a是正实数，若函数y=x2-6ax+10a2+x2+2ax+5a2（x可取任意实数）的最小值为10，则a= ______ ．
8. 今年3月12日植树节活动中，某单位的职工分成两个小组植树，已知他们植树的总数相同，均为100多棵，如果两个小组人数不等，第一组有一人植了6棵，其他每人都植了13棵；第二组有一人植了5棵，其他每人都植了10棵，则该单位共有职工______ 人．
9. 如图，已知直线y=12x与双曲线y=kx（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为双曲线y=kx（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC面积为6，则点C的坐标为______ ．
10. 某广场地面铺满了边长为36cm的正六边形地砖，现在向上抛掷半径为63的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是______ ．
11. 50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有______ 块木块完全喷不到漆．
12. 满足25{x}+[x]=25的所有实数x的和是______ （其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}=x-[x]表示x的小数部分）．
二、解答题（本大题共5小题，共72.0分）
13. 已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，…，α2010和β2010，α2011和β2011．试求（1α1+1α2+…+1α2010+1α2011）+（1β1+1β2+…+1β2010+1β2011）的值．
14. 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CB，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB=8，CD=6，求△PQS的面积；
（3）若△PQS与△AOD的面积比为4：5，求CD：AB的值．
15. 如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥AB．
16. 据气象台预报，一台风中心位于某沿海城市A东偏南θ（cosθ=210）方向300km的海面B处，正以20km/h的速度向西偏北45°方向移动（如图所示），台风影响的范围为圆形区域，半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．求几小时后该市开始受到台风的影响，受影响的时间是多长？
17. 如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
参考答案
1.【答案】B
【解析】
解：∵a2+b2=1，∴可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴a4+ab+b4=cos4θ+cosθs
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