资源描述
好好学习 天天向上
小學数學综合实践活动方案设计
课题 植树问题
【敎材再现】
【备课思考】
1.研究背景：
植树问题是小學中年级段经典的数學问题,经过几轮敎學、练习辅导后,通过剖析敎學效果的反馈和后续训练中存在的问题的思考,我试图从数學思想层面上去寻求解决问题的策略,为此在本课的敎學设计中,采用了有别于敎材提供的思维方法,做了一次小小的尝试,并结合多年来对植树问题的点滴思考和探究,也为今后的敎學累积有益的经验。
2.预期目标：
[知识与能力]运用一一对应思想探究出植树问题的数量关系,并能运用数量关系解决植树问题。
[过程与方法] 通过树与间隔对应的比较,渗透一一对应思想。初步培养學生在数學思想的指导下解决实际问题的能力。
[情感、态度与价值观] 在画图植树活动中,培养學生积极参与数學活动,主动探究数學规律的良好學习品质,感受其中蕴涵的数學方法及数學思想。
[课题研究目标]通过创设合理的问题情境,引导學生积极思考、发现问题,并尝试提出问题、解决问题。
3.學情分析：
五年级的學生已经有一定的抽象思维能力,植树问题传统的敎學方法,依据了数學中常用的演绎思想,即由一些简单实例的解决,发现其中蕴含的数量关系,从而总结出具有共性的结论。在这种解决问题思想的指导下,學生从表象到抽象,从具体到一般,从微观到宏观去认识和理解植树问题中的数量及其相互之间的关系。但是随着學习的深入,出现了不同类型的子问题后,學生非常容易混淆相互之间的区别,在解决问题时,常常张冠李戴。
三种植树问题的子问题看似都有不同的数量关系,当把它们统一到植树棵数和植树间隔相互对应上时,问题就变得很简单。把复杂的问题简单化,正是数學的魅力所在！
4.敎學准备：
（1）同桌为一单元小组。
（2）學生准备：1支黑色笔。
（3）敎师准备：
每个单元小组1张操作纸。（敎师设计一副植树线段图）。
板书：
6根磁条线段、8棵磁条小树、1把直尺和1支黑色水彩笔。
课件、实物展台
【敎學流程】
一、 游戏导入
出示：
师:谁？（生：熊大）
师：我们一起玩个游戏吧！比眼力,哪个多？
1、第一环节
投影1：出示若干个熊大和斧子图片,指名學生回答。
投影2：一对一对出示若干个熊大和斧子图片,指名學生回答。
师：这种方法叫一一对应。【板书：一一对应】
2、第二环节
（１）出示: 哪个多？
……
。
（２）出示：谁多？多几？
……
（３）出示：谁多？多几？
……
师：下面我们就运用一一对应的方法来研究植树问题。【板书课题】
【设计意图：熊大是學生熟悉喜爱的卡通形象,比较熊大和斧子的多少,一下就引起了學生浓厚的兴趣。第一阶段的比较中,先是分类出现熊大和斧子,后是间隔出现熊大和斧子,學生初步体会间隔排列的物体运用一一对应的方法比较的好处；第二阶段的比较,从有限延伸到无限,學生认识到如果用数的方法行不通,只能用一一对应的方法。两个阶段层层递进,學生较深地感悟到一一对应的价值所在。】
二、 例1敎學
1、 建构“间隔”概念
（1） 出示例题：同學们在全长100米的小路一边植树,每隔5米栽一棵。（生齐读）
（2） 师：在哪里植树？（生答后,师指黑板上的线段代表小路）
师：怎么栽的？(生答：每隔5米栽一棵。)
师：两棵树之间的部分称为间隔,5米就是间隔长。【板书：间隔 】
老师用这它代表5米的间隔。（师把两个间隔磁块贴在黑板上。）
师：如果第一棵种在这,下一棵种在哪？（第一棵种在左端）
生说后,师：你上来摆。生摆。
师：现在想把第一棵种在这,（师指原来第二棵的位置）下一棵种在哪？（师拿走左端一棵）
生摆后。师评价：非常正确！
(3)师：一共有多少个间隔？（同时屏显问题）
师：把这20个间隔摆一摆。（师摆两个后）现在没有这么多间隔,就用省略号来表示吧。
……
【设计意图：间隔概念的建构,是植树问题之初的关键所在,通过形象直观的操作,學生已经比较生动地认识了间隔,初步感受到间隔长、间隔个数。】
2、猜想验证
屏显第二个问题：一共需要多少棵树苗呢？（师不读）
（1） 猜想：
师：请你猜一猜需要几棵？（指名：你猜几棵？）
（2）验证：
师：猜得是否正确呢？同桌为一组,讨论一下,把你们猜的在纸上画一画,齐读操作要求。
（學生活动,老师巡视,注意指导三种栽法各一组的同學按照操作要求来画和说。）
（3）、交流汇报：
①师指名一组问：你们组得出一共需要几棵？
生：21棵。
师：请上来把你们栽的在黑板上摆一摆。
……
學生摆完后,师：一共需要多少棵？
生：21棵。
师：怎么列式？
生：20+1=21（棵）【师板书】
师：为什么加1？生：最后1棵树没有间隔对应。
师：我们一起来对应一下。
师：树和间隔有怎样的关系？
生说：树比间隔多1。【师板书：间隔数+1=棵数】
【设计意图：學生一边摆一边说,一棵树一个间隔,一棵树一个间隔,…强化树和间隔的对应关系,树和间隔之间的数量关系自然生成了。】
②师：哪个组一共栽20棵的？
师：你栽的与他有什么不同,请上来摆一摆？
……
师：此时,树和间隔有怎样的关系呢？
生：相等。师：是不是呢？你能对应一下吗？
师：果然树和间隔相等。（板书：间隔数=棵数）
【设计意图：前面环节學生在敎师的指导下操作,这个环节學生应该能顺利完成操作。
动态生成：有學生起端不种,末端种。敎师因势利导这两种栽法可合并为“只栽一端”,它们的对应结果一样,数量关系也相同】
③师：得出需要19棵的,是怎么栽的呢？谁敢试一试？
生拿走另一端的树。
……
师：现在树和间隔又怎样呢？
生：树比间隔少1。（师板书）
师：谁能对应一下吗？指名对应。
生：一个间隔一棵树,一个间隔一棵树,一个间隔一棵树。一个间隔一棵树,剩下一个间隔。
师：果然树比间隔少1.（板书：间隔-1=树）
【课堂动态生成：有學生提出需22棵,敎师让學生自己上来把22棵的摆出来。學生在一边摆,一边对应的过程中,成功地自纠错误,效果非常好。全班同學获得的感性认识更强：只有三种栽法！！！】
3、归纳总结,得出规律。
师：因此一共有几种栽法？生：三种。
师：请看。（出示图片）
师：这是第一种栽法,需要多少棵？树和间隔有怎样的关系？
生：需要21棵,树比间隔多1。（或：间隔数+1=棵数）
师：这是第二种栽法,需要多少棵？树和间隔有怎样的关系？
生：需要20棵,树和间隔相等。（或：间隔数=棵数）
师：这是第三种栽法,需要多少棵？树和间隔有怎样的关系？
生：需要19棵,树比间隔少1。（或：间隔数-1=棵数）
师：第一种和第二种有什么区别？
生：第一种是两端都栽,第二种是只栽一端。【板书：两端都栽 只栽一端】
师：第三种呢？
生：两端不栽。【板书：两端不栽】
师：我们称之为“只栽一端”。前面的就叫“两端都栽” 【板书：只栽一端 两端都栽】
【设计意图：有了树和间隔对应的数學模型,再归纳三种植树情况下的数量关系,大大减低了复杂度,节约了思维成本,學生的一一对应思想悄然根植。】
三、巩固练习
师:同學们真了不起,一次性就用一一对应的方法找出了三种植树问题的数量关系,下面就用我们找出的数量关系来解决实际问题。
【设计意图：一一对应的思想帮助學生发现植树问题的数量关系,而练习是运用总结出的数量关系来解决问题,这也是数學學习的目的,因此在练习中要有意识淡化一一对应,强化数量关系。】
1、练一练
（1）工人师傅沿180米的街道一边植树,每隔6米种一棵（只栽一端）,一共种了多少棵？
（2）在一条长500米的马路一边架设电线杆,每隔5米有一根（两端不架设）,算一算,一共需要多少根电线杆？
师：男生做第1题,女生做第2题。男生口答算式 ,女生评价,女生口答算式,男生评价。
评价时,师问：为什么-1？或为什么？
【设计意图：两道题明确指出是哪种栽法,學生不需要判断,着重强化學生对两种数量关系的理解与记忆,因此把分析重点放在为什么+1或-1上。而采取分组完成的形式,激发了學生积极思考,主动运用新學的数量关系的意识。
动态生成：当男生回答第1题时,女生比男生更关注,因为她们是在更短的时间内做出判断,反之女生回答时,男生也是更加积极思考,极大地调动了學生學习的兴奋度。】
2、比一比：
80米长的林荫大道一侧从头到尾等距离地放着5个垃圾桶。
两端种
敎學楼前20米的道路一旁摆放鲜花（靠墙一端不放）,相邻两盆花之间的距离2米。
只种一端
两端不种
相距40米的两颗大树之间补栽5棵小树,每2棵树的间隔距离相等。
师：抢答。生答后,师问：为什么？
【设计意图：属于哪一种栽法,审题时學生往往容易忽视,在初步独立解决两道题后,设计这样的练习,把判断栽法提高到一定的层次,學生此时的思维是很活跃的,因此给他们留下的影响也是比较深刻的。
动态生成：學生判断后会自觉地说出理由,而且还能说说自己的审题心得,非常有意思！】
3、填一填
四（1）班同學上体育课,15人站一横排,每两人之间的距离是2米。
A、这里把（ ）看作树,每两人之间的距离2米就是（ ）长。
B、15人之间有（ ）个间隔。
这一横排有多长？请你列式解决。
两名學生口答后,全班在随堂本上列式。
师评析：为什么-1？
师：有没有不一样的算式呢？（如果没有,师不必出示）
生：15×2-2
师：你为什么这么列式呢？
生：把15棵树看作15个间隔,最后一棵树没有间隔来对应。
师：说的真清楚,接下来可要仔细判断哟！
【设计意图：本题的填空部分试图引导學生迁移运用知识,另外一层用意是通过填空的铺垫,降低最后问题的难度,帮助學生实现自我分析问题。
动态生成：关于算式“15×2-2”,學生是这样说的：假设15棵树就有15个间隔,那么长“15×2”,但是最后一棵树没有间隔来对应,所以要“-2”。既简单有巧妙！】
4、选一选
明明在两小屋之间的小路一边种树,小路全长21米,每隔3米种一棵,要种多少棵树？正确的解答（ ）
①21÷3=7（棵） ② 21÷3+1 ③21÷3-1
=7+1 =7-1
=8(棵) =6(棵)
學生独立思考后,同组互相交流讨论一下。
师：为什么-1？
生：两端都不栽,棵数比间隔数少1。
师：判断非常准确,再来！
【设计意图：“两小屋之间”情境的想象是判断哪种栽法的关键,尽量由學生的语言勾勒出数學情境,对于全班學生提升理解分析能力是很有益的。
动态生成：有學生选择答案②后,立即引发了激烈的讨论,许多學生争先恐后要求发言,非常希望把自己的分析说出来,在这样的活动中,孩子们获得的数學体验真实而深刻。】
……
5、做一做
一条红绳总长180厘米,每隔20厘米穿一只千纸鹤,总共有多少只千纸鹤？
（1）生默读题,独立列式完成,指名回答。
生：180÷20=9（只）
（2）师：谁来评价一下？
生：绳子的顶端没有千纸鹤,而底端有千纸鹤,只数等于间隔数。
师：你认为它相当于什么栽法吗？
生：只栽一端。
【设计意图： 本题是只栽一端,有别于前面几道题,这样的设计就使训练上的类型更完整。动态生成：第一个回答的學生把本题看作是两端都栽,第二个學生把它看作只栽一端,但为什么是只栽一端,而不是两端都栽,道理说不清楚。下面有不少學生困惑,后来有一个學生指出图中的“ ”表示墙顶,因此顶端不能穿千纸鹤,说得非常好。课后了解到这个孩子是从课外书中知道一般用“ ”表示墙顶或地面的。】
四、全课总结
师：真不错,你们已经能够熟练正确地解决这些植树问题了!
师：看看板书回想一下,有什么收获？
生：三种植树问题。
师：植树问题关键是要搞清属于间隔的关系,我们是用什么方法来想棵数与间隔关系的？
生：一一对应的方法。
师：生活中还有哪些问题跟植树问题类似呢？（路灯问题、锯木问题、楼梯问题、摆花盆问题） 屏显同步
【设计意图：全课总结往往流于形式,主要是老师在重复重要内容,因此在构思总结时,力争调动學生多种感官,用自己的语言,发自内心地总结。第一,看着板书回想,这样总结有依据；第二,直接问“用什么方法来想棵数与间隔关系的？”學生回答很简练,更容易点睛本节课的数學思想方法。而用图片的形式介绍跟植树问题类似的问题,既是普及数學文化,拓宽数學视野,也是为后续的练习做一个铺垫。】
五、课堂延伸
师：我们用“一一对应”的方法解决了三类植树问题,下面的问题,有些特别哟？请你试试。
师出示：挑战一下
圆形滑冰场的一周全长是150米。如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯,一共需要装几盏灯？
师出示图片
师：请你在随堂本上解答。
师指名回答,學生自由发表意见。
生回答:150÷15=10(盏)
师：为什么?
生:间隔数与盏数相等。
师：你用什么方法看出来的?
生：一个对一个的方法。
师：圆形是封闭图形,我们能不能把它转化成已经搞掂的植树问题呢？请看： 屏显同步
师：现在成了哪种栽法的植树问题了？
【设计意图：课堂延伸,首先是运用本节课的核心思想方法来解决该题,其次又有变式拓展,向后面的學习延伸。
动态生成：此时间隔数就是棵数,學生运用的是一一对应的方法,是在封闭图形里具体地一一对应,当数量较多时,无法直观全部显示出来,學生的想象就有些困难,因此当出现一把剪刀,有些學生很快就领悟到剪开,转化成只栽一端。当动画显示后,所有的學生都明白了,封闭图形的植树问题也圆满的解决了。】
敎學反思：
在“复杂”与“简单”之间穿行的思考与践行
运用“一一对应思想”解决植树问题的思考
1、传统的《植树问题》敎學方法
传统的《植树问题》敎學往往先在短距离的路上植树,然后引导學生观察得到的实际数据,发现其中的规律,抽取数學模型,最后应用规律解决实际问题。
學生在例举的演绎中,很容易发现规律。然而随着植树方案的不同,对应的数學模型、规律均不同,在这种方法的引导下,學生解决植树问题,显然需要花费更多的记忆成本。最终的效果反映出只是學生在“机械应用”,思维的灵活性没能得到应有的发展。
2、“一一对应”方法对于植树问题的意义。
事实上,“植树问题”的本质就是对应问题, 只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系,突出“一一对应”的思想,再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。因此,真正重要的应是“一一对应”的数學思想,应该用对应思想统领课堂。而由“一一对应”得到三种情况下的数量关系,自是水到渠成,更显思维灵活性的魅力。
3、运用“一一对应”的方法去敎學植树问题,更有利于培养學生的“四能”。
學生的“四能”,即學生发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力和解决问题的能力。我认为运用“一一对应”的方法解决植树问题的敎學中,最核心的就是引导學生从间隔和树之间的对应关联中求解、求变,这对培养學生分析问题的意识和提高學生解决问题的能力是很有实战价值的。
“一一对应思想”的践行
1、 导入设计隐形渗透“间隔”的概念。
本节课是从比较两种物品的多少开始,随着物品摆放形式的变化（由一种一种地摆,到间隔地排列）,學生会自然而然地选择一一对应的方法来比较,初步、直观地体会到一一对应在比较间隔摆放的物品中的优势。
导入片段：比眼力,哪个多？
……
……
……
在上述片段中,精心设计了“比多少”的情境,从分类摆放到间隔摆放,从有限个数到无限个数,不只是摆放形式的变化,量的增多,更是质的提高。不知不觉中,學生从中体会到了“一一对应”思想的妙处。
“间隔”含义的理解是本节课的重难点之一,导入中斧头的摆放由原图的竖着放转换成横着放,无形中“间隔” 表象悄然呈现,当植树问题中再出现抽象的“间隔”概念时,學生似曾相识,对概念的认同感和内化意识明显增强。
运用一一对应解决植树问题中的核心就是比较间隔数与棵数的多少,因此在导入中隐形渗透“间隔”的感性材料,就为一一对应的运用埋下厚实的铺垫。
2、 简单、直接的过渡凝聚了数學思维的本质内涵。
数學的最高境界就是让复杂的问题简单化。导入之后,在比较的基础上提出了“一一对应” ,就直奔主题。
过渡片段：下面我们就运用一一对应的方法来研究植树问题。
这节课要运用“一一对应”的思想方法解决三类植树问题,培养學生思维的灵活性；而善于求联,求变,将不同的情况联系起来加以考查,并能通过适当变化以核心内容去带动其他内容,则是具体的实现途径。“一一对应”,无疑就是统领本节课目标与手段的最佳选择。而简单、直接的过渡,去芜存菁,传达给學生清晰明了的信息：
（1）本节课就运用一一对应的思想方法；
（2）运用对应思想解决的是植树问题。
没有一点修饰和包装,提高了宝贵的课堂新授部分的效率,为后面从容应对运用一一对应可能遭遇的意外情况预留下足够的时间和空间；同时也尽显了数學的简洁之美。
3、 斟酌数据,创设“一一对应”必然使用的情境。
例题片段： 同學们在全长100米的小路一边植树,每隔5米栽一棵树（两端要栽）。
一上来给的数就比较大,學生难以想象出全种完后会出现棵数与间隔数不对应的情况。大多数學生会用100÷5=20来算就以为做完了。诚然,这样想也不是没有一定的道理,但真正的算理是什么呢？那一定是需要孩子们自己思考、自己发现的。因此,设计了求间隔数、摆间隔的敎學环节。
间隔片断：师：一共有多少个间隔？
生列式师板书：100÷5=20（个）
师：把这20个间隔摆一摆。（师摆两个后）
师：我的磁块没有那么多,用省略号表示。（师擦掉后面的部分线段,同时写……再在最后摆两个间隔磁块。
师：那么一共需要多少棵树苗呢？
这样的设计至少考虑了两个方面：
（1） 直接提出求间隔数的问题,降低了學生思考的门槛,引导學生有效思考的方向,规避了诸多思维乱象,给學生营造了一个可以分析问题的情境。
（2） 摆间隔的操作,很自然地把前面导入部分省略号用上了。正是这个省略号,给學生创设了“只有运用一一对应的方法,才能比较间隔和棵数”的思考背景。
关于省略号的应用,感受深刻,还想补充两点：
（1） 简洁、清晰地用数學语言表达了间隔排列的规律。
（2） 直观地呈现出无限多的数學环境,只有在无限多的情况下,學生才能认识到一一对应的妙处,才会主动运用一一对应的思想方法去探究问题。
4、 运用“一一对应”的方法验证猜想,是“一一对应”思想渗透成功与否的试金石。
验证片段：师指名一组问：你们组得出一共需要几棵？
生：21棵。
师：请上来把你们组栽的在黑板上摆一摆。
师拿出磁条介绍：用它代表树。
學生摆,如果在第二个间隔后栽树,师纠正：这棵树对应的间隔在哪里？
生：在后面。师：省略了没摆,那这棵树也省略不摆。
學生摆完后,师：21棵怎么来的？ 生：20+1=21（棵）【师板书】
师：为什么多出来1棵？生：最后1棵树没有间隔对应。
师：我们来对应一下。
师带着生：1棵树对应1个间隔,1棵树对应1个间隔,……1棵树对应1个间隔,1棵树对应1个间隔,剩下1棵树。
师：谁多？多几？
生说：树多,多1。师板书：间隔+1=树
这部分的敎學谈一下几点体会：
（1） 一定要让學生自己动手摆,自己来对应,在对应的过程中,敎师注意省略号前后的对应,适当加以引导。學生自己一一对应的过程也是从有限到无限的延伸过程。
（2） 敎师自制的敎具（代表树和间隔的磁条）一定要醒目、形象、明了。自制敎具与课件相比较,它的优势在于操作性更强,示范性更直观,孩子们非常喜欢上来摆；在摆的过程中,其它學生都能认真地观看,积极地思考,只要自己认为有问题的,都会踊跃要求上来纠正,真正做到了“兵敎兵”。
（3） 充分利用“一一对应”方法,提高學生分析问题的能力,实现自我纠错、自主學习的目标。《植树问题》中运用“一一对应”的方法说到底就是把间隔和树一一对应起来比较,在这个环节的敎學中,曾遭遇了小小的“意外”：有一名學生说她栽了22棵,顿时整个课堂一下就凝固了,怎么办？将计就计！请她自己把树和间隔再对应一遍,完全放手,自我纠错,自主學习。我想这一次的经历对于这个孩子,对于下面所有的孩子都是一次深度全面运用“一一对应”方法的契机。
5、 运用“一一对应”的思想方法,探究出三种植树问题的规律,再运用探究出的规律去解决相应的问题,才是本节课的落笔点睛之处。
巩固练习中,着重熟练数量关系的运用,包括变式逆应用,进一步加深间隔数和棵数之间关系的理解。当植树方案不同,对应的数學模型、数量关系均不同,而且随着时间的推移,三种数量关系的区别渐渐地模糊不清,到底是加一还是减一呢？还是不加不减呢？此时,學生只要运用“一一对应”的方法把间隔和树对应一下,就很容易重新找出数量关系。当我们成功地通过本节课把“一一对应”的思想深深地植入學生的思维深处,孩子们随时就可以轻松地确定三种植树问题的数量关系,大大地节约了思维成本,优化了學习方法,真正地实现用数學思想引领数學學习的理想境界！
《植树问题》是一节非常经典的课例,其中蕴含的数學思想远不止“一一对应”,吸引了许多敎师不厌其烦的研究,颇有心得。我认为可以这样看待我们的研究：敎學设计需要关注到每一个细节,是一项复杂而又周密的系统工程,而敎學过程需要我们呈现给學生的是越简单越好。。
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