2016年辽宁省锦州市中考数学试题（解析）.docx

2016年辽宁省锦州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．|﹣6|的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
【考点】绝对值；相反数．
【分析】根据相反数的概念即可解答．
【解答】解：|﹣6|=6，6的相反数是﹣6，
故选：B．
【考点】此题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A．a3（﹣3a）2=6a5 B． C．（﹣2a﹣1）2=4a2+4a+1 D．2a2+3a3=5a5
【考点】整式的混合运算；分式的乘除法．
【分析】A、根据积的乘方和同底数幂的乘法解答；
B、根据同底数幂的除法分式乘法解答；
C、根据完全平方公式解答；
D、根据合并同类项法则解答．
【解答】解：A、原式=a39a2=9a5，故本选项错误；
B、原式，故本选项错误；
C、原式=（2a+1）2=4a2+4a+1，故本选项错误；
D、2a2与3a3不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：C．
【考点】】本题考查了整式的混合运算、分式的乘除法，熟悉运算法则是解题的关键．
3．一个正方体的每个面上都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与“价”字相对的字是（　　）

A．记 B．心 C．间 D．观
【考点】正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可求得答案．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“价”与“记”是相对面，
“值”与“间”是相对面，
“观”与“心”是相对面，
故选：A．

22

【考点】】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．某商场试销售某品牌男款运动鞋，一个月内销售情况如下表：
型号（cm）
38
39
40
41
42
43
44
数量（件）
5
7
12
15
23
25
14
商场经理要想了解哪种型号需求量最大，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【考点】统计量的选择．
【分析】商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
【解答】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的运动鞋的销售数量，即众数．
故选：D．
【考点】】本题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用．
5．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【分析】根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：根据图示，
∵黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是：
=．
故选：D．
【考点】】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=黑色区域的面积与总面积之比．
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧分别交于M、N两点，过M、N两点的直线交AC于点E，若AC=6，BC=3，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠CBA=90°，由作图可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AE=EB，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠CBA=90°，
由作图可得MN是AB的垂直平分线，
∴AE=EB=6﹣CE，
∴CE2+BC2=BE2，
即CE2+32=（6﹣CE）2，
∴CE=，
故选：A．
【考点】】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
7．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a与反比例函数的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】分别根据a＞0和a＜0讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确；
当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D错误；
故选：C．
【考点】】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
8．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的x与y的部分对应值如下表：

有下列结论：
①a＞0；
②4a﹣2b+1＞0；
③x=﹣3是关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣3≤x≤n时，ax2+（b﹣1）x+c≥0．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】抛物线与x轴的交点；一元二次方程的解；二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据表中x与y的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断①，由对称轴x=﹣1可得b=2a，代入4a﹣2b+1可判断②，根据直线y=x过点（﹣3，﹣3）、（n，n）可知直线y=x与抛物线y=ax2+bx+c交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），即可判断③，根据直线y=x与抛物线在坐标系中位置可判断④．
【解答】解：根据表中x与y的部分对应值，画图如下：

由抛物线开口向上，得a＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为x==﹣1，即﹣=﹣1，
∴b=2a，
则4a﹣2b+1=4a﹣4a+1=1＞0，故②正确；
∵直线y=x过点（﹣3，﹣3）、（n，n），
∴直线y=x与抛物线y=ax2+bx+c交于点（﹣3，﹣3）、（n，n），
即x=﹣3和x=n是方程ax2+bx+c=x，即ax2+（b﹣1）x+c=0的两个实数根，故③正确；
由图象可知当﹣3≤x≤n时，直线y=x位于抛物线y=ax2+bx+c上方，
∴x≥ax2+bx+c，
∴ax2+（b﹣1）x+c≤0，故④错误；
故选：B．
【考点】】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方程间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．分解因式：ax4﹣ay4=　 　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式=a（x4﹣y4）=a（x2+y2）（x2﹣y2）=a（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．
【考点】】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10．上海中信大厦是中国第一、世界第二高的摩天大楼，它塔冠上的风力发电机每年可以产生1189000千瓦时的绿色电力，1189000这个数用科学记数法可表示为　 　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：1189000=1.189×106．
故答案为：1.189×106．
【考点】】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
11．如图，直线AB经过原点O，与双曲线交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，且△ABC的面积是8，则k的值是　 　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】由题意得：S△ABC=2S△AOC，又S△AOC=|k|，则k的值即可求出．
【解答】解：设A（x，y），
∵直线与双曲线y=交于A、B两点，
∴B（﹣x，﹣y），
∴S△BOC=|xy|，S△AOC=|xy|，
∴S△BOC=S△AOC，
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=2S△AOC=8，S△AOC=|k|=4，则k=±8．
又由于反比例函数位于二四象限，k＜0，故k=﹣8．
故答案为﹣8．
【考点】】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
12．关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是　 　．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．
【解答】解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=﹣；
当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵方程3kx2+12x+2=0有实数根，
∴△≥0，即△=122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6．
∴k的取值范围是k≤6．
故答案为：k≤6．
【考点】】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系，同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．
13．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量为　 　个．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.7，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
【解答】解：因为共摸了100次球，发现有71次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.7，
所以估计这个口袋中红球的数量为10×0.7=7（个）．
故答案为7．
【考点】】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
14．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=　 　．

【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由DE与BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF与CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，即=，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴=，即=，
解得：AF=，
则EF=AE﹣AF=10﹣=，
故答案为：
【考点】】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．

15．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【分析】解分式方程得x=m+2，根据方程的解为正数得出m+2＞0，且m+2≠2，解不等式即可得．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），
解得：x=m+2，
∵方程的解为正数，
∴m+2＞0，且m+2≠2，
解得：m＞﹣2，且m≠0，
故答案为：m＞﹣2且m≠0．
【考点】】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式的能力，解分式方程得出关于m的不等式是关键．
16．小明将量角器在桌面上进行连续翻转，如图为第1次、第2次翻转，若量角器的半径为1，则第2016次翻转后圆心O所走过的路径长为　 　．

【考点】轨迹．
【分析】根据题意得出量角器在桌面上进行第1次、第2次翻转，圆心O运动路径的长度为：2π×1=2π，进而即可求得第2016次翻转后圆心O所走过的路径长．
【解答】解：由图形可知，第1次翻转，圆心旋转圆的周长，再向前走的是一条线段，长度为半圆的周长，第2次翻转圆心旋转圆的周长，
则第1次、第2次翻转圆心O运动路径的长度为：2π×1=2π，
2016÷2=1008，
所以2π×1008=2016π
故答案为：2016π．

【考点】】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作翻转所经过的路线并求出长度．
三、解答题（本大题共10小题，共80分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值；零指数幂．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．
【解答】解：，
=÷，
=×，
=．
x=﹣3﹣（π﹣3）0，
=×4﹣﹣1，
=2﹣﹣1，
=﹣1．
把x=﹣1代入得到：==．即=．
【考点】】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
（2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；
（3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为　　 ．

【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）根据平移的规律，将点O、A、B向右平移1个单位，得到O1、A1、B1，连接O1、A1、B1即可；
（2）连接OA1并延长到A2，使OA2=2OA1，连接OB1并延长到B2，使OB2=2OB1，连接OO1并延长到O2，使OO2=2OO1，然后顺次连接即可；
（3）分别根据平移和位似变换坐标的变化规律得出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△O1A1B1即为所求作三角形；

（2）如图，△O2A2B2即为所求作三角形；
（3）点P（a，b）为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为（2a+2，2b），
故答案为：（2a+2，2b）．
【考点】】本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
19．（7分）为了了解九年级学生参加体育活动的情况，某校对九年级部分学生进行问卷调查，其中一个问题是：“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：
A、1.5小时以上 B、1﹣1.5小时 C、0.5﹣1小时 D、0.5小时以下
（这里的1﹣1.5表示大于或等于1同时小于1.5，本题类似的记号均表示这一含义）
根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查采用的调查方式是　 　；共调查了学生　 　名；
（2）请补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该校有1500名九年级学生，估计该校九年级有多少名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．
【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据题意可得这次调查是抽样调查，进一步利用选A的人数÷选A的人数所占百分比即可算出总数；
（2）用总数减去选A、B、D的人数即可得到选C的人数，用B、D的人数除以总数可求B、D所占的百分数，再补全图形即可；
（3）根据样本估计总体的方法计算即可．
【解答】解：（1）本次调查采用的调查方式是抽样调查；
12÷30%=40（名）
答：共调查了学生40名；
（2）40﹣12﹣16﹣4=8（名）
16÷40=40%
4÷40=10%
如图所示：

（3）1500×（40%+30%）=1500×0.7=1050（名）
答：该校九年级有1050名学生平均每天参加体育活动的时间至少1小时．
故答案为：抽样调查；40．
【考点】】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．（7分）九年一班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，小强拿出一个箱子说：“这个不透明的箱子里装有红、白球各1个和若干个黄球，它们除了颜色外其余都相同，谁能同时摸出两个黄球谁就获得一等奖”．已知任意摸出一个球是黄球的概率为．
（1）请直接写出箱子里有黄球　 　个；
（2）请用列表或树状图求获得一等奖的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）设箱子里有黄球x个，根据概率公式得到=，然后解方程即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出同时摸出两个黄球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）设箱子里有黄球x个，
根据题意得=，解得x=2，
即箱子里有黄球2个；
故答案为2；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中同时摸出两个黄球的结果数为2，
所以获得一等奖的概率==．
【考点】】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．

【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，证出∠BAE=∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME=FN，证出四边形MENF是平行四边形，即可得出结论∴FM=EN．
【解答】解：FM=EN，FM∥EN；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠DCB，
∴∠BAE=∠DCF，
在△BAE和△DCF中，，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEB=∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点M、N分别为AE、CF的中点，
∴ME∥FN，ME=FN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴FM=EN，FM∥EN．
【考点】】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．（8分）“五•一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，乘坐缆车到达山顶C处，已知点A、B、C、D在同一平面内，从山脚A处看山顶C处的仰角为30°，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为60°，求山高CD．（结果精确到1米，）
（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，解直角三角形求出BF、AF，求出CE=BE，解直角三角形求出AD=CD，代入求出BE，即可求出答案．
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，

则∠BEC=90°，∠AFB=90°，∠ADC=∠BFD=∠BED=90°，
所以四边形BFDE是矩形，
所以BE=DF，BF=DE，
∵沿着坡度为5：12的山坡AB向上走了1300米，到达缆车站B处，
∴DE=BF=500米，AF=1200米，
∵∠CBE=60°，
∴CE=BE，
∵在Rt△ADC中，∠CAD=30°，
∴AD=CD，
∴1200米+BE=（500+BE）米，
解得：BE=（600﹣250）米，
∴CE=BE=（600﹣750）米，
∴CD=DE+CE=（600﹣250）米≈789米．
【考点】】此题考查了仰角的知识．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想应用．
23．（8分）如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，过点D作BC的垂线，垂足为点F，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连接CD、DE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=9，求DE的长．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接DO并延长交AC于M，证出，由垂径定理得出DM⊥AC，证出DM∥BC，由已知得出DF⊥DO，即可得出DF为⊙O的切线；
（2）由（1）得出DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ON⊥CE于N，连接OA，由垂径定理得出CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，设⊙O的半径为r，在△AOM中，由勾股定理求出半径，得出CN=EN=OM=2，CE=4，求出EF=4.5﹣4=0.5，再由勾股定理求出DE即可．
【解答】（1）证明：连接DO并延长交AC于M，如图1所示：

∵∠ACB=90°，AC＜BC，点D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴，
∴DM⊥AC，
∴DM∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥DO，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：AC∥DF，
∵点D为AB的中点，
∴DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，
作ON⊥CE于N，连接OA，如图2所示：

则CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，
设⊙O的半径为r，
在△AOM中，由勾股定理得：1.52+（4.5﹣r）2=r2，
解得：r=2.5，
∴CN=EN=OM=4.5﹣2.5=2，
∴CE=4，
∴EF=4.5﹣4=0.5，
∴DE===．
【考点】】本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，垂径定理等知识；熟练掌握切线的判定，由勾股定理求出半径是解决问题（2）的关键．
24．（8分）某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示．
（1）图中点P所表示的实际意义是　　 　　 　　 　　 　　；销售单价每提高1元时，销售量相应减少　 　件；
（2）请直接写出y与x之间的函数表达式　 　；自变量x的取值范围为　 　；
（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据坐标系中点的坐标的意义，即可写出点P的实际意义，再根据“销售单价每提升一元的销售减少量=销售减少数量÷增加价钱”即可列式算出结论；
（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，根据图象上点的坐标利用待定系数法即可求出该函数表达式，令y=0求出x值，即可得出自变量x的取值范围；
（3）设第二个月的利润为w元，根据“利润=单个利润×销售数量”即可得出w关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；
第一个月的该商品的售价为：20×（1+50%）=30（元），
销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为：（400﹣300）÷（35﹣30）=20（件）．
故答案为：当售价定为35元/件时，销售数量为300件；20．
（2）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
将点（30，400）、（35，300）代入y=kx+b中，
得：，，
∴y与x之间的函数表达式为y=﹣20x+1000．
当y=0时，x=50，
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50．
故答案为：y=﹣20x+1000；30≤x≤50．
（3）设第二个月的利润为w元，
由已知得：w=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣20x+1000）=﹣20x2+1400x﹣20000=﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x=35时，w取最大值，最大值为4500．
故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．
【考点】】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）熟悉坐标系中点的坐标的意义；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（3）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象上点的坐标利用待定系数法求出函数解析式．
25．（10分）阅读理解：
问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD+PF是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？
思路：我们可以将底边BC上的任意一点P移动到特殊的位置，如图②，将点P移动到底边的端点B处，这样，点P、D都与点B重合，此时，PD=0，PE=BE，这样PD+PE=BE．因此，在证明这一命题时，我们可以过点B作AC边上的高BF（如图③），证明PD+PE=BF即可．
请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：
如图④，在正方形ABCD中，一直角三角板的直角顶点E在对角线BD上运动，一条直角边始终经过点C，另一条直角边与射线DA相交于点F，过点F作FH⊥BD，垂足为H．
（1）试猜想EH与CD的数量关系，并加以证明；
（2）当点E在DB的延长线上运动时，EH与CD之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；
（3）如图⑥所示，如果将正方形ABCD改为矩形ABCD，∠ADB=θ，其它条件不变，请直接写出EH与CD的数量关系．

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）先证△ECP≌△EQF，得EC=EF，再证△EFH≌△CEG，得EH=CG，可知EH=CG=CD；
（2）根据题意画出图形，证明过程与（1）同理；
（3）作EQ⊥AD于Q，EP⊥CD于P，先证△EPC∽△EQF得=，过点C作CG⊥BD于G，再证△ECG∽△FEH可得==，即EH=CGtanθ，在Rt△CDG中，由∠DCG=∠ADB=θ可得CG=CDcosθ，从而可知EH=CDsinθ．
【解答】解：（1）EH=CD，
如图1，过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥AD于Q，

∴∠EQF=∠EPC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=45°，
∴四边形EPDQ是正方形，
∴EP=EQ，∠QEF+∠FEP=∠QEP=90°，
又∵∠FEP+∠PEC=∠FEC=90°，
∴∠QEF=∠PEC，
在△EQF和△EPC中，
∵，
∴△EQF≌△EPC（ASA），
∴EC=EF，
过点C作CH⊥BD于点H，
∴∠CHE=∠EHF，
∵∠FEH+∠CEH=∠FEH+∠EFH=90°，
∴∠CEH=∠EFH，
在△EFH和△CEG中，
∵，
∴△EFH≌△CEG（AAS），
∴EH=CG，
在RT△CDG中，
∵∠CDG=45°，
∴EH=CG=CDsin∠CDG=CD，
即EH=CD；
（2）如图2，EH=CD，

与（1）同理可得EF=EC，
过点C作CG⊥BD于G，
∴∠CGE=∠EHF=90°，
∴∠FEH+∠EFH=90°，
又∵∠FEH+∠CEG=90°，
∴∠EFH=∠CEG，
在△EFH和△CEG中，
∵，
∴△EFH≌△CEG（AAS），
∴EH=CG，
在RT△CDG中，
∵∠CDG=45°，
∴EH=CG=CDsin∠CDG=CD，
即EH=CD；
（3）EH=CDsinθ，
如图3，作EQ⊥AD于Q，EP⊥CD于P，

则四边形EPDQ是矩形，
∴EP=QD，∠QEP=90°，即∠QEF+∠FEP=90°，
∵∠FEP+∠PEC=90°，
∴∠QEF=∠CEP，
∴△EPC∽△EQF，
∴=，
过点C作CG⊥BD于G，
∴∠CGE=∠EHF=90°，即∠CEG+∠ECG=90°，
又∵∠CEG+∠FEH=90°，
∴△ECG∽△FEH，
∴==，
∴EH=CGtanθ，
∵在Rt△CDG中，∠DCG=∠ADB=θ，
∴cosθ=，即CG=CDcosθ，
∴EH=CDsinθ．
【考点】】本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，添加辅助线构建全等三角形或相似三角形将两条线段联系到一起是解题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P的坐标；
（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线过A、B两点，待定系数法求解可得；
（2）根据A、B、C三点坐标得出△ABC三边长度，从而判定△ABC为直角三角形且∠ABC=30°，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+），过点P作PE⊥OB于点E，则BE=3﹣m，PE=﹣m2+m+由△DPB∽△ACB知∠ABC=∠DBP=30°，得出∠PBE=60°，继而有tan∠PBE=，得出关于m的方程，解之可得；
（3）由点Q为点O关于直线BC的对称点可求出点Q的坐标，即可得BQ的长，再分BQ为菱形的边和BQ为菱形的对角线两种情况分别求解，①若BQ是菱形的边，则点N在过点Q且平行于BC的直线上，根据BQ=QN利用两点间的距离公式可求得；②若BQ是菱形的对角线，根据菱形的性质BQ与MN互相垂直平分，可先求得BQ解析式及中点H的坐标，由MN⊥BQ及中点H的坐标可得MN的解析式，结合直线BC的解析式可得M点的坐标，最后利用MN中点H的坐标，即可求得点N的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+中，
得：，解得：，
∴该抛物线的表达式为y=﹣x2+x+．
（2）当x=0时，y=．
∴C（0，），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB=4，AC=2，BC=2，
∵AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．且∠ABC=30°，
设直线BC的解析式为y=kx+，
将点B（3，0）代入y=kx+中，
得：0=3k+，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+．
当x=1时，y=，
∴D（1，）．
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+），
如图1，过点P作PE⊥OB于点E，

则BE=3﹣m，PE=﹣m2+m+，
在Rt△ABC中，
∵△DPB∽△ACB，
∴∠ABC=∠DBP=30°，
∴∠PBE=60°，
则tan∠PBE=，即=，
解得：m=2或m=3（舍），
∴点P的坐标为（2，）．
（3）根据题意，如图2，直线BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，

∴kOQ=，
设直线OQ解析式为y=x，点Q的坐标为（a，a），
则OQ的中点F坐标为（a，a），
将点Q代入直线BC的解析式为y=﹣x+，得：﹣a+=a，
解得：a=，
∴Q（，），
则BQ==3，
①当BQ是四边形BQNM的边时，
∵四边形BQNM是菱形，
∴NQ∥BC，且NQ=BQ，
∴kNQ=kBC=﹣，
∴直线NQ解析式为y=﹣（x﹣）+，即y=﹣x+2，
设N（m，﹣m+2），
由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣m+2﹣）2=9，
解得：m=，
此时点N的坐标为（，）、（，）；
若MQ∥BN，且BN=BQ，
根据菱形的性质可知BM垂直平分NQ，
∴点N与点O重合，即N（0，0）；
②当BQ为四边形BMQN的对角线时，
∵四边形BMQN是菱形，
∴BQ、MN互相垂直平分，
由B（3，0）、Q（，）可得yBQ=﹣x+3，BQ中点H（，），
∴kMN=，
则yMN=（x﹣）+=x，
由可得点M（，），
设点N坐标为（m，n），
由M、N的中点H（，）可得：
，解得：，
即点N的坐标为（3，），
综上，点N的坐标为（，）或（，）或（0，0）或（3，）．
【考点】】本题主要考查二次函数与轴对称、相似三角形的性质、相交线、平行线间的关系及菱形的性质，根据题意灵活运用所需知识点是解题的关键．