中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及答案解析.doc

中考数学平行四边形的综合压轴题专题复习及答案解析一、平行四边形1操作与证明：如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN（1）连接AE，求证：AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论结论1：DM、MN的数量关系是 ；结论2：DM、MN的位置关系是 ；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出ABEADF，得到AE=AF，从而证明出AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MNAE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到DMN=DGE=90从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，B=ADF=90，CEF是等腰直角三角形，C=90，CE=CF，BCCE=CDCF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；在RtADF中DM是斜边AF的中线，AF=2DM，MN是AEF的中位线，AE=2MN，AE=AF，DM=MN；DMF=DAF+ADM，AM=MD，FMN=FAE，DAF=BAE，ADM=DAF=BAE，DMN=FMN+DMF=DAF+BAE+FAE=BAD=90，DMMN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，B=ADF，CE=CF，又BC+CE=CD+CF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，在RtADF中，点M为AF的中点，DM=AF，DM=MN，ABEADF，1=2，ABDF，1=3，同理可证：2=4，3=4，DM=AM，MAD=5，DGE=5+4=MAD+3=90，MNAE，DMN=DGE=90，DMMN所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质2已知RtABD中，边AB=OB=1，ABO=90问题探究：（1）以AB为边，在RtABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 （2）以AB为边，在RtABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由【答案】(1)、；(2)、；(3)、.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在RtODC中，根据OD=计算即可(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OC在RtOCE中，根据OC=计算即可(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM分别求出MH、OM、FH即可解决问题【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=1，C=90 在RtODC中，C=90，OC=2，CD=1，OD=(2)、如图2中，作CEOB于E，CFAB于F，连接OCFBE=E=CFB=90， 四边形BECF是矩形， BF=CF=，CF=BE=，在RtOCE中，OC=(3)、如图3中，当OFDE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DMFD=FE=DE=1，OFDE， DH=HE，OD=OE，DOH=DOE=22.5， OM=DM，MOD=MDO=22.5， DMH=MDH=45， DH=HM=， DM=OM=，FH=， OF=OM+MH+FH=OF的最大值为考点：四边形综合题3如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE6，F为AB上一动点，把BEF沿EF折叠，点B落在点B处，当AFB恰好为直角三角形时，BD的长为？【答案】或【解析】【分析】分两种情况分析：如图1，当ABF=90时，此时A、B、E三点共线，过点B作BMAB，BNAD，由三角形的面积法则可求得BM=2.4，再由勾股定理可求得BN=3.2，在RtCBN中，由勾股定理得，BD=；如图2，当AFB=90时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2，过点B作BNAD，则四边形AFBN为矩形，在RtCBN中，由勾股定理得，BD=；【详解】如图1，当ABF=90时，此时A、B、E三点共线，B=90，AE=10，BE=BE=6，AB=4，BF=BF，AF+BF=AB=8，在RtABF中，ABF=90，由勾股定理得，AF2=FB2+AB2，AF=5，BF=3，过点B作BMAB，BNAD，由三角形的面积法则可求得BM=2.4，再由勾股定理可求得BN=3.2，AN=BM=2.4，DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在RtCBN中，由勾股定理得，BD= = ；如图2，当AFB=90时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2，过点B作BNAD，则四边形AFBN为矩形，AN=BF=6，BN=AF=2，DN=AD-AN=2，在RtCBN中，由勾股定理得，BD= = ；综上，可得BD的长为或.【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.4如图，四边形是知形，点是线段上一动点(不与重合)，点是线段延长线上一动点，连接交于点.设，已知与之间的函数关系如图所示.（1）求图中与的函数表达式;（2）求证:;（3）是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y2x+4（0x2）；（2）见解析；（3）存在，x或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；（2）证明CDEADF，得ADFCDE，可得结论；（3）分三种情况：若DEDG，则DGEDEG，若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，若DGEG，则GDEGED，分别列方程计算可得结论【详解】（1）设ykx+b，由图象得：当x1时，y2，当x0时，y4，代入得：，得，y2x+4（0x2）；（2）BEx，BC2CE2x，四边形ABCD是矩形，CDAF90，CDEADF，ADFCDE，ADF+EDGCDE+EDG90，DEDF；（3）假设存在x的值，使得DEG是等腰三角形，若DEDG，则DGEDEG，四边形ABCD是矩形，ADBC，B90，DGEGEB，DEGBEG，在DEF和BEF中，DEFBEF（AAS），DEBEx，CE2x，在RtCDE中，由勾股定理得：1+（2x）2x2，x；若DEEG，如图，作EHCD，交AD于H，ADBC，EHCD，四边形CDHE是平行四边形，C90，四边形CDHE是矩形，EHCD1，DHCE2x，EHDG，HGDH2x，AG2x2，EHCD，DCAB，EHAF，EHGFAG，（舍），若DGEG，则GDEGED，ADBC，GDEDEC，GEDDEC，CEDF90，CDEDFE，CDEADF，2x，x，综上，x或或【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键5如图1，在ABC中，ABAC，ADBC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CEEF，延长FE交AD的延长线于G（1）求证：AEEG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BGBF，求证：BEEG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB5，求EM的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：CADG，可得AEEG；（2）作辅助线，证明BEFGEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EMDNAC，计算可得结论【详解】证明：（1）如图1，过E作EHCF于H，ADBC，EHAD，CEHCAD，HEFG，CEEF，CEHHEF，CADG，AEEG；（2）如图2，连接GC，ACBC，ADBC，BDCD，AG是BC的垂直平分线，GCGB，GBFBCG，BGBF，GCBE，CEEF，CEF1802F，BGBF，GBF1802F，GBFCEF，CEFBCG，BCECEF+F，BCEBCG+GCE，GCEF，在BEF和GCE中，BEFGEC（SAS），BEEG；（3）如图3，连接DM，取AC的中点N，连接DN，由（1）得AEEG，GAEAGE，在RtACD中，N为AC的中点，DNACAN，DANADN，ADNAGE，DNGF，在RtGDF中，M是FG的中点，DMFGGM，GDMAGE，GDMDAN，DMAE，四边形DMEN是平行四边形，EMDNAC，ACAB5，EM【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键6如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，如图2，连接AG，DE，求证：AG=DE，AGDE；（3）在（2）的条件下，正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为（0180），若AON是等腰三角形，请直接写出的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的值是22.5或45或112.5或135或157.5【解析】【分析】（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=GE，根据三角形的中位线的性质得到CDGE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到结论；（2）如图2，延长ED交AG于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，AOD=COD=90，由四边形OEFG是正方形，得到OG=OE，EOG=90，由旋转的性质得到GOD=EOC，求得AOG=COE，根据全等三角形的性质得到AG=DE，AGO=DEO，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】（1）证明：四边形OEFG是正方形，ME=GE，OG=2OD、OE=2OC，CDGE，CD=GE，CD=GE，四边形CDME是平行四边形；（2）证明：如图2，延长ED交AG于H，四边形ABCD是正方形，AO=OD，AOD=COD=90，四边形OEFG是正方形，OG=OE，EOG=90，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，GOD=EOC，AOG=COE，在AGO与ODE中，AGOODEAG=DE，AGO=DEO，1=2，GHD=GOE=90，AGDE；（3）正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO-ADO=22.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90-45=45；正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO+90=112.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90+45=135，、当AN=AO时，旋转角a=ANO+90=67.5+90=157.5，综上所述：若AON是等腰三角形时，的值是22.5或45或112.5或135或157.5【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当AON是等腰三角形时，求的度数是本题的难点7定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O（1）求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，若ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得AOE和AOB是友好三角形；（2）AOE和DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得ABE、ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形ADCB是平行四边形，求出BC和AD推出ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ，求出ADC的面积即可求出ABC的面积试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，AE=BF，四边形ABFE是平行四边形，OE=OB，AOE和AOB是友好三角形（2）AOE和DOE是友好三角形，SAOE=SDOE，AE=ED=AD=3，AOB与AOE是友好三角形，SAOB=SAOE，AOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF=46-243=12探究：解：分为两种情况：如图1，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OB，AO=CO，四边形ADCB是平行四边形，BC=AD=2，过B作BMAC于M，AB=4，BAC=30，BM=AB=2=BC，即C和M重合，ACB=90，由勾股定理得：AC=，ABC的面积是BCAC=22=2；如图2，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OA，BO=CO，四边形ABDC是平行四边形，AC=BD=2，过C作CQAD于Q，AC=2，DAC=BAC=30，CQ=AC=1，SABC=2SADC=2SADC=2ADCQ=221=2；即ABC的面积是2或2考点：四边形综合题8猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到ADEF，得到FME和AMH全等，得到HM=EM，根据RtHDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到ADEF，得到FME和AMH全等，得到HM=EM，根据RtHDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出FCE=45，FCA=45，根据RTADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RTAEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是矩形，ADEF，EFM=HAM，又FME=AMH，FM=AM，在FME和AMH中，FMEAMH（ASA）HM=EM，在RTHDE中，HM=DE，DM=HM=ME，DM=ME（1）、如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是矩形，ADEF，EFM=HAM，又FME=AMH，FM=AM，在FME和AMH中，FMEAMH（ASA）HM=EM，在RTHDE中，HM=EMDM=HM=ME，DM=ME，（2）、如图2，连接AE，四边形ABCD和ECGF是正方形，FCE=45，FCA=45，AE和EC在同一条直线上，在RTADF中，AM=MF，DM=AM=MF，在RTAEF中，AM=MF，AM=MF=ME，DM=ME考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.9（1）问题发现：如图，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为 ；（2）深入探究：如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使ABC=AMN，AM=MN，连接CN，试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长【答案】（1）NCAB；理由见解析；（2）ABC=ACN；理由见解析；（3）；【解析】分析：（1）根据ABC，AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且BAC=MAN=60从而得到BAC-CAM=MAN-CAM，即BAM=CAN，证明BAMCAN，即可得到BM=CN（2）根据ABC，AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且ABC=AMN，根据相似三角形的性质得到，利用等腰三角形的性质得到BAC=MAN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到ABC=BAC=45，MAN=45，根据相似三角形的性质得出，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案详解：（1）NCAB，理由如下：ABC与MN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在ABM与ACN中， ，ABMACN（SAS），B=ACN=60，ANC+ACN+CAN=ANC+60+CAN=180，ANC+MAN+BAM=ANC+60+CAN=BAN+ANC=180，CNAB； （2）ABC=ACN，理由如下：=1且ABC=AMN，ABCAMN，AB=BC，BAC=（180ABC），AM=MNMAN=（180AMN），ABC=AMN，BAC=MAN，BAM=CAN，ABMACN，ABC=ACN；（3）如图3，连接AB，AN，四边形ADBC，AMEF为正方形，ABC=BAC=45，MAN=45，BACMAC=MANMAC即BAM=CAN，ABMACN，=cos45=，BM=2，CM=BCBM=8，在RtAMC，AM=，EF=AM=2点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键10如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EFCE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H（1）如图2，当点F与点B重合时，CE=，CG=；如图3，当点E是BD中点时，CE=，CG=； （2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想EBG的形状？并加以证明； （3）在图1，的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由； （4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围【答案】（1）， ，5， ；（2）EBG是直角三角形，理由详见解析；（3） ；（4）S=x2x+48（0x）【解析】【分析】（1）利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；（3）只要证明DCEBCG，即可解决问题；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】（1）如图2中，在RtBAD中，BD=10，SBCD=CDBC=BDCE，CE=CG=BE=如图3中，过点E作MNAM交AB于N，交CD于MDE=BE，CE=BD=5，CMEENF，CG=EF=，（2）结论：EBG是直角三角形理由：如图1中，连接BH在RtBCF中，FH=CH，BH=FH=CH，四边形EFGC是矩形，EH=HG=HF=HC，BH=EH=HG，EBG是直角三角形（3）F如图1中，HE=HC=HG=HB=HF，C、E、F、B、G五点共圆，EF=CG，CBG=EBF，CDAB，EBF=CDE，CBG=CDE，DCB=ECG=90，DCE=BCG，DCEBCG，（4）由（3）可知：，矩形CEFG矩形ABCD，CE2=（-x）2+）2，S矩形ABCD=48，S矩形CEFG= （-x）2+（）2.矩形CEFG的面积S=x2-x+48（0x）【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题11小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处，再折出PB、PC，最后用笔画出PBC(图1)（1）求证：图1中的 PBC是正三角形： （2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN求证：IH=IJ请求出NJ的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；12-6（3）3a4，a4【解析】分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）利用“HL”证RtIHMRtIJN即可得；IJ上取一点Q，使QI=QN，由RtIHMRtIJN知HIM=JIN=15，继而可得NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x、QJ=x，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可（1）证明：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB与DC重合，得到折痕EFPB=PC沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处PB=BCPB=PC=BCPBC是正三角形：（2）证明：如图矩形AHIJH=J=90MNJ是等边三角形MI=NI在RtMHI和RtJNI中 RtMHIRtJNI（HL）HI=IJ在线段IJ上取点Q，使IQ=NQRtIHMRtIJN，HIM=JIN，HIJ=90、MIN=60，HIM=JIN=15，由QI=QN知JIN=QNI=15，NQJ=30，设NJ=x，则IQ=QN=2x，QJ=x，IJ=6cm，2x+x=6，x=12-6，即NJ=12-6（cm）（3）分三种情况：如图：设等边三角形的边长为b，则0b6，则tan60=，a=，0b=；如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，a=sin60DE=，当DE与DA重合时，a=，a；如图DEF是等边三角形FDC=30DF=a点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大12如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是ACP的平分线上一点，若AMN=60，求证：AM=MN（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是DCP的平分线上一点，若AMN=90，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2An“，其它条件不变，请你猜想：当An2MN=_时，结论An2M=MN仍然成立（不要求证明） 【答案】【解析】分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明AEMMCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明AEMMCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME在正ABC中，B=BCA=60，AB=BCNMC=180-AMN-AMB=180-B-AMB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=60，AEM=120N是ACP的平分线上一点，ACN=60，MCN=120在AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCN，AEMMCN（ASA），AM=MN（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180-AMN-AMB=180-B-AMB=MAB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=45，AEM=135N是DCP的平分线上一点，NCP=45，MCN=135在AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCN，AEMMCN（ASA），AM=MN（3）由（1）（2）可知当An-2MN等于n边形的内角时，结论An-2M=MN仍然成立；即An-2MN=时，结论An-2M=MN仍然成立；故答案为点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力难度较大13已知：在矩形ABCD中，AB10，BC12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE2（1）如图，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积；（2）如图，当四边形EFGH为菱形，且BFa时，求GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，GFC的面积能否等于2？请说明理由【答案】（1）10；（2）12a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GMBC于M在正方形EFGH中，HEF90，EHEF，AEHBEF90AEHAHE90，AHEBEF又AB90，AHEBEF同理可证MFGBEFGMBFAE2FCBCBF10（2）过点G作GMBC交BC的延长线于M，连接HFADBC，AHFMFHEHFG，EHFGFHAHEMFG又AGMF90，EHGF，AHEMFGGMAE2（3）GFC的面积不能等于2说明一：若SGFC2，则12a2，a10此时，在BEF中，在AHE中，AHAD，即点H已经不在边AD上，故不可能有SGFC2说明二：GFC的面积不能等于2点H在AD上，菱形边EH的最大值为，BF的最大值为又函数SGFC12a的值随着a的增大而减小，SGFC的最小值为又，GFC的面积不能等于