备战中考数学专题复习平行四边形的综合题及答案解析.doc

备战中考数学专题复习平行四边形的综合题及答案解析一、平行四边形1如图，ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿DA以1cm/s的速度向终点A运动点Q沿DBD以2cm/s的速度运动，回到点D停止以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN将PQN绕QN的中点旋转180得到MNQ设四边形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0t3）（1）当点N落在边BC上时，求t的值（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值（3）当点Q沿DB运动时，求S与t之间的函数表达式（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0t时，四边形PQMN与ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当t时，四边形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形PQFEN（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时t，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值试题解析：（1）PQN与ABC都是等边三角形，当点N落在边BC上时，点Q与点B重合DQ=32t=3t=；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，PD=DQ，当0t时，此时，PD=t，DQ=2tt=2tt=0（不合题意，舍去），当t3时，此时，PD=t，DQ=62tt=62t，解得t=2； 综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，MN=BQPQ=MN=3t，BQ=32t3t=32t解得t=如图，当0t时，SPNQ=PQ2=t2；S=S菱形PQMN=2SPNQ=t2，如图，当t时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，MN=PQ=3t，NE=BQ=32t，ME=MNNE=PQBQ=5t3，EMF是等边三角形，SEMF=ME2=（5t3）2；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时t，t=1或考点：几何变换综合题2已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF（1）求证：DOEBOF（2）当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）当DOE=90时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案试题解析：（1）在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：DOEBOF，OE=OF，又OB=OD，四边形EBFD是平行四边形，EOD=90，EFBD，四边形BFDE为菱形考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定3如图，四边形ABCD中，BCD=D=90，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当B=70时，求AEC的度数；（3）当ACE为直角三角形时，求边BC的长.【答案】（1）；（2）AEC=105；（3）边BC的长为2或.【解析】试题分析：（1）过A作AHBC于H，得到四边形ADCH为矩形在BAH中，由勾股定理即可得出结论（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，得到AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，即可得到结论 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，解ABH即可得到结论当CAE=90时，易知CDABCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论试题解析：解：（1）过A作AHBC于H由D=BCD=90，得四边形ADCH为矩形在BAH中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=， 则（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ETAD，ETCD，AET=B=70又AD=AE=1，AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，AEC=7035=105 （3）分两种情况讨论：当AEC=90时，易知CBECAECAD，得BCE=30，则在ABH中，B=60，AHB=90，AB=2，得BH=1，于是BC=2当CAE=90时，易知CDABCA，又，则（舍负）易知ACE90，所以边BC的长为综上所述：边BC的长为2或点睛：本题是四边形综合题考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法4如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE6，F为AB上一动点，把BEF沿EF折叠，点B落在点B处，当AFB恰好为直角三角形时，BD的长为？【答案】或【解析】【分析】分两种情况分析：如图1，当ABF=90时，此时A、B、E三点共线，过点B作BMAB，BNAD，由三角形的面积法则可求得BM=2.4，再由勾股定理可求得BN=3.2，在RtCBN中，由勾股定理得，BD=；如图2，当AFB=90时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2，过点B作BNAD，则四边形AFBN为矩形，在RtCBN中，由勾股定理得，BD=；【详解】如图1，当ABF=90时，此时A、B、E三点共线，B=90，AE=10，BE=BE=6，AB=4，BF=BF，AF+BF=AB=8，在RtABF中，ABF=90，由勾股定理得，AF2=FB2+AB2，AF=5，BF=3，过点B作BMAB，BNAD，由三角形的面积法则可求得BM=2.4，再由勾股定理可求得BN=3.2，AN=BM=2.4，DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在RtCBN中，由勾股定理得，BD= = ；如图2，当AFB=90时，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2，过点B作BNAD，则四边形AFBN为矩形，AN=BF=6，BN=AF=2，DN=AD-AN=2，在RtCBN中，由勾股定理得，BD= = ；综上，可得BD的长为或.【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.5已知AD是ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当ABAC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与BPE面积相等的三角形（不包括BPE本身）【答案】（1）见解析；（2）APE、APF、CPF、PGH【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EGAP，EFBC，EF=BC，GHBC，GH=BC，推出EFGH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EFAP，推出EFEG，即可得出结论；（2）由APE与BPE的底AE=BE，又等高，得出SAPE=SBPE，由APE与APF的底EP=FP，又等高，得出SAPE=SAPF，由APF与CPF的底AF=CF，又等高，得出SAPF=SCPF，证得PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，推出SPGH=SAEF=SAPF，即可得出结果【详解】（1）证明：E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，EGAP，EFBC，EFBC，GHBC，GHBC，EFGH，EFGH，四边形EGHF是平行四边形，ABAC，ADBC，EFAP，EGAP，EFEG，平行四边形EGHF是矩形；（2）PE是APB的中线，APE与BPE的底AEBE，又等高，SAPESBPE，AP是AEF的中线，APE与APF的底EPFP，又等高，SAPESAPF，SAPFSBPE，PF是APC的中线，APF与CPF的底AFCF，又等高，SAPFSCPF，SCPFSBPE，EFGHBC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AEF底边EF上的高等于ABC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于PBC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，GHEF，SPGHSAEFSAPF，综上所述，与BPE面积相等的三角形为：APE、APF、CPF、PGH【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键6阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）（3）如图，等腰RtABD中，BAD90若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且ABBC，请求出ABC的度数【答案】（1） C ；（2）ABC的度数为60或90或150.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够故选C.（2）等腰RtABD中，BAD=90，AB=AD.AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，分三种情况讨论：若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，ABC=90；若AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，ABC是等边三角形，ABC=60；若AC=DC，如图 3，则可求ABC=150.考点：1.新定义；2菱形的性质；3正方形的判定和性质；4等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.7如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，如图2，连接AG，DE，求证：AG=DE，AGDE；（3）在（2）的条件下，正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为（0180），若AON是等腰三角形，请直接写出的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的值是22.5或45或112.5或135或157.5【解析】【分析】（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=GE，根据三角形的中位线的性质得到CDGE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到结论；（2）如图2，延长ED交AG于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，AOD=COD=90，由四边形OEFG是正方形，得到OG=OE，EOG=90，由旋转的性质得到GOD=EOC，求得AOG=COE，根据全等三角形的性质得到AG=DE，AGO=DEO，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】（1）证明：四边形OEFG是正方形，ME=GE，OG=2OD、OE=2OC，CDGE，CD=GE，CD=GE，四边形CDME是平行四边形；（2）证明：如图2，延长ED交AG于H，四边形ABCD是正方形，AO=OD，AOD=COD=90，四边形OEFG是正方形，OG=OE，EOG=90，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OEFG，GOD=EOC，AOG=COE，在AGO与ODE中，AGOODEAG=DE，AGO=DEO，1=2，GHD=GOE=90，AGDE；（3）正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO-ADO=22.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90-45=45；正方形OEFG的边OG与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，、当AN=AO时，OAN=45，ANO=AON=67.5，ADO=45，=ANO+90=112.5；、当AN=ON时，NAO=AON=45，ANO=90，=90+45=135，、当AN=AO时，旋转角a=ANO+90=67.5+90=157.5，综上所述：若AON是等腰三角形时，的值是22.5或45或112.5或135或157.5【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当AON是等腰三角形时，求的度数是本题的难点8如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF连接DE，过点E作EGDE，使EG=DE，连接FG，FC（1）请判断：FG与CE的关系是_；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断【答案】（1）FG=CE，FGCE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FGCE；（2）构造辅助线后证明HGECED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FGCE；（3）证明CBFDCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形试题解析：解：（1）FG=CE，FGCE；（2）过点G作GHCB的延长线于点HEGDE，GEH+DEC=90GEH+HGE=90，DEC=HE在HGE与CED中，GHE=DCE，HGE=DEC，EG=DE，HGECED（AAS），GH=CE，HE=CDCE=BF，GH=BFGHBF，四边形GHBF是矩形，GF=BH，FGCH，FGCE四边形ABCD是正方形，CD=BC，HE=BC，HE+EB=BC+EB，BH=EC，FG=EC；（3）四边形ABCD是正方形，BC=CD，FBC=ECD=90在CBF与DCE中，BF=CE，FBC=ECD，BC=DC，CBFDCE（SAS），BCF=CDE，CF=DEEG=DE，CF=EGDEEG，DEC+CEG=90CDE+DEC=90，CDE=CEG，BCF=CEG，CFEG，四边形CEGF平行四边形，FGCE，FG=CE9(1)问题发现如图1,点E.F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,EAF=45，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=90,点E.F分别在边BC、CD上,EAF=45，若B，D都不是直角，则当B与D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在ABC中,BAC=90,AB=AC,点D、E均在边BC上,且DAE=45，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程。【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，证出AFGAFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（2）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，证出AFEAFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（3）把ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明AFEAFG（SAS），则EF=FG，C=ABF=45，BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断试题解析：(1)理由是：如图1，AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，如图1，ADC=B=90，FDG=180，点F. D. G共线，则DAG=BAE，AE=AG，FAG=FAD+GAD=FAD+BAE=9045=45=EAF，即EAF=FAG，在EAF和GAF中，AF=AF，EAF=GAF，AE=AG，AFGAFE(SAS)，EF=FG=BE+DF；(2)B+D=180时，EF=BE+DF；AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，如图2，BAE=DAG，BAD=90,EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC+B=180，FDG=180，点F. D. G共线，在AFE和AFG中，AE=AG，FAE=FAG，AF=AF，AFEAFG(SAS)，EF=FG，即：EF=BE+DF，故答案为：B+ADC=180；(3)BD2+CE2=DE2.理由是：把ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则FAB=CAE.BAC=90,DAE=45，BAD+CAE=45，又FAB=CAE，FAD=DAE=45，则在ADF和ADE中，AD=AD，FAD=DAE，AF=AE，ADFADE，DF=DE,C=ABF=45，BDF=90，BDF是直角三角形,BD2+BF2=DF2，BD2+CE2=DE2.10如图1，若分别以ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形（1）发现：如图2，当C=90时，求证：ABC与DCF的面积相等（2）引申：如果C90时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形已知ABC中，AC=3，BC=4当C=_时，图中阴影部分的面积和有最大值是_【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，ACB=DCF=90，BC=FC，所以ABCDFC，从而ABC与DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点Q得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP=DCQ所以APCDQC于是AP=DQ又因为SABC=BCAP，SDFC=FCDQ，所以SABC=SDFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即C是90度时，阴影部分的面积和最大所以S阴影部分面积和=3SABC=334=18（1）证明：在ABC与DFC中，ABCDFCABC与DFC的面积相等；（2）解：成立理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作APBP于点P；过点D作DQFC于点QAPC=DQC=90四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP+PCD=90，DCQ+PCD=90，ACP=DCQ，APCDQC（AAS），AP=DQ又SABC=BCAP，SDFC=FCDQ，SABC=SDFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即C是90度时，阴影部分的面积和最大S阴影部分面积和=3SABC=334=18考点：四边形综合题11如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是ACP的平分线上一点，若AMN=60，求证：AM=MN（2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是DCP的平分线上一点，若AMN=90，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2An“，其它条件不变，请你猜想：当An2MN=_时，结论An2M=MN仍然成立（不要求证明） 【答案】【解析】分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明AEMMCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明AEMMCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME在正ABC中，B=BCA=60，AB=BCNMC=180-AMN-AMB=180-B-AMB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=60，AEM=120N是ACP的平分线上一点，ACN=60，MCN=120在AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCN，AEMMCN（ASA），AM=MN（2）解：结论成立；理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180-AMN-AMB=180-B-AMB=MAB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=45，AEM=135N是DCP的平分线上一点，NCP=45，MCN=135在AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCN，AEMMCN（ASA），AM=MN（3）由（1）（2）可知当An-2MN等于n边形的内角时，结论An-2M=MN仍然成立；即An-2MN=时，结论An-2M=MN仍然成立；故答案为点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力难度较大12已知：在矩形ABCD中，AB10，BC12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE2（1）如图，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积；（2）如图，当四边形EFGH为菱形，且BFa时，求GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，GFC的面积能否等于2？请说明理由【答案】（1）10；（2）12a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GMBC于M在正方形EFGH中，HEF90，EHEF，AEHBEF90AEHAHE90，AHEBEF又AB90，AHEBEF同理可证MFGBEFGMBFAE2FCBCBF10（2）过点G作GMBC交BC的延长线于M，连接HFADBC，AHFMFHEHFG，EHFGFHAHEMFG又AGMF90，EHGF，AHEMFGGMAE2（3）GFC的面积不能等于2说明一：若SGFC2，则12a2，a10此时，在BEF中，在AHE中，AHAD，即点H已经不在边AD上，故不可能有SGFC2说明二：GFC的面积不能等于2点H在AD上，菱形边EH的最大值为，BF的最大值为又函数SGFC12a的值随着a的增大而减小，SGFC的最小值为又，GFC的面积不能等于213如图，在ABC中，AB=7，tanA=，B=45点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQAB交折线AC-CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求t的值（3）求S与t之间的函数关系式（4）如图，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2（平方单位）（0S1S2），直接写出当S23S1时t的取值范围【答案】(1) PQ=7-t(2) t=(3) 当0t时，S=当t4，当4t7时，（4）或或【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；（3）当0t时，当t4，当4t7时；（4）或或试题解析：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t当点Q在线段BC上时，PQ=7-t（2）当点M落在边BC上时，如图，由题意得：t+t+t=7，解得：t=当点M落在边BC上时，求t的值为（3）当0t时，如图，S=当t4，如图，当4t7时，如图，（4）或或考点：四边形综合题.14已知，以为边在外作等腰，其中.（1）如图，若，求的度数.（2）如图，.若，的长为_.若改变的大小，但，的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120；（2）2；2【解析】试题分析：（1）根据SAS，可首先证明AECABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出BFC的度数；（2）如图2，在ABC外作等边BAE，连接CE，利用旋转法证明EACBAD，可证EBC=90，EC=BD=6，因为BC=4，在RtBCE中，由勾股定理求BE即可；过点B作BEAH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明EACBAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出结论试题解析：解：（1）AE=AB，AD=AC，EAB=DAC=60，EAC=EAB+BAC，DAB=DAC+BAC，EAC=DAB，在AEC和ABD中AECABD（SAS），AEC=ABD，BFC=BEF+EBF=AEB+ABE，BFC=AEB+ABE=120，故答案为120；（2）如图2，以AB为边在ABC外作正三角形ABE，连接CE由（1）可知EACBADEC=BDEC=BD=6，BAE=60，ABC=30，EBC=90在RTEBC中，EC=6，BC=4，EB=2AB=BE=2若改变，的大小，但+=90，ABC的面积不变化，以下证明：如图2，作AHBC交BC于H，过点B作BEAH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC并取BE的中点K，连接AKAHBC于H，AHC=90BEAH，EBC=90EBC=90，BE=2AH，EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2K为BE的中点，BE=2AH，BK=AHBKAH，四边形AKBH为平行四边形又EBC=90，四边形AKBH为矩形ABE=ACD，AKB=90AK是BE的垂直平分线AB=AEAB=AE，AC=AD，ABE=ACD，EAB=DAC，EAB+EAD=DAC+EAD，即EAC=BAD，在EAC与BAD中EACBADEC=BD=6在RTBCE中，BE=2，AH=BE=，SABC=BCAH=2考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质15数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形ABC与EFD，将EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H我们可以证明BCQACD，从而易得BQ=AD，BQAD小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是 拓展延伸：根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由【答案】成立；分类讨论思想；正方形.【解析】试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQ=AD，BQAD；利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想，拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法，首先得出四边形MNPT是平行四边形进而得出它是菱形，再求出一个内角是90，即可得出答案试题解析：(1)、成立，理由：如图乙：由题意可得：FDE=QDC=ABC=BAC=45， 则DC=QC，AC=BC，在ADC和BQC中 ， ADCBQC（SAS）， AD=BQ，DAC=QBC，延长AD交BQ于点F， 则ADC=BDF， BFD=ACD=90， ADBQ；(2)、小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；拓展延伸：四边形MNPT是正方形，理由：取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T， MNAD，TPAD， MNTP，四边形MNPT是平行四边形， NPBQ，BQ=AD， NP=MN， 平行四边形MNPT是菱形，又ADBQ，NPBQ，MNAD， MNP=90， 四边形MNPT是正方形考点： 几何变换综合题