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2020-2021备战中考数学 二次函数 综合题附详细答案

一、二次函数
1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【解析】
【分析】
（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．

【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（，﹣）；（3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；
（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组，求解即可得出点Q的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），
∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），
∵x12+x22﹣x1x2＝13，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，
∴m2+3（m+1）＝13，
即m2+3m﹣10＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣5．
∵OA＜OB，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接BE、OE．

∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，
∴BE＝CD＝CE．
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC，
又∵BE＝CE，OE＝OE，
∴△OBE≌△OCE（SSS），
∴∠BOE＝∠COE，
∴点E在第四象限的角平分线上，
设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，
得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝，
∵点E在第四象限，
∴E点坐标为（，﹣）；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．

∵S△ACQ＝2S△AOC，
∴S△ACF＝2S△AOC，
∴AF＝2OA＝2，
∴F（1，0）．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．
∵AC∥FQ，
∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，
将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，
∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．
联立，
解得，，
∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．

3．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】
（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO3，∴OB＝3OA＝3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，解得：，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；

②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴，∴MP＝3ME．
∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．
综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP＝3ME．

4．在平面直角坐标系中，有两点、，若满足：当时，，；当时，，，则称点为点的“友好点”.
（1）点的“友好点”的坐标是_______.
（2）点是直线上的一点，点是点的“友好点”.
①当点与点重合时，求点的坐标.
②当点与点不重合时，求线段的长度随着的增大而减小时，的取值范围.
【答案】（1）；（2）①点的坐标是或；②当或时，的长度随着的增大而减小；
【解析】
【分析】
（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线上，得到；①当点和点重合，得．解出即可，②当点A和点B不重合， 且．所以对a分情况讨论，1°、当或时，，所以当a≤时，的长度随着的增大而减小，即取．2°当时，，当时，的长度随着的增大而减小，即取． 综上，当或时，的长度随着的增大而减小．
【详解】
（1）点，4＞1，根据“友好点”定义，得到点的“友好点”的坐标是
（2）点是直线上的一点，
．
，根据友好点的定义，点的坐标为，
①当点和点重合，．
解得或．
当时，；当时，，
点的坐标是或．
②当点A和点B不重合，且．
当或时，．
当a≤时，的长度随着的增大而减小，
取．
当时， ．
当时，的长度随着的增大而减小，
取．
综上，当或时，的长度随着的增大而减小．
【点睛】
本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB的长用a进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论

5．已知抛物线.
（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；
（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；
（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零，再判断出物线与x轴总有交点．
（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m的取值范围，即可得到结果．
（3）根据抛物线y=-x2+（5-m）x+6-m，求出与y轴的交点M的坐标，再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=-x的对称点的坐标，列方程可得结论．
【详解】
（1）证明：∵
∴抛物线与x轴总有交点.
（2）解：由（1），根据求根公式可知，
方程的两根为：
即
由题意，有

(3)解：令 x = 0， y =
∴ M（0，）
由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（，0），
它们关于直线的对称点分别为（0 ， 1）和（0， ），
由题意，可得：

【点睛】
本题考查对抛物线与x轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．

6．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。
【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。
（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。
（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。
【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴直线BC的解析式为。
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴抛物线的解析式。
（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。
∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。
∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。
∴。
∴MN的最大值是。
（3）当MN取得最大值时，N。
∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。
∴。
由勾股定理可得，。
设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。
如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=。
∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：
或。
当时，与联立，得
，解得或。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。
当时，与联立，得
，解得或。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－4）。
综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

7．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=x2﹣x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴，即，
∴HQ=t．
∴S△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．

∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．
∴S△CBK=．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）
=×4•EK
=2（﹣m2+m）
=﹣m2+3m．
即：﹣m2+3m=．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

10．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a=，A（﹣，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，0）或（，﹣4）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．
令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴点A的坐标为（﹣，0），B（，0），∴抛物线的对称轴为x=．
（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．
当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．
当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．
当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，∴直线AC的解析式为．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴点N的坐标为（，0），∴AN==．
将与y=kx+1联立解得：x=，∴点M的横坐标为．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．

11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．
【解析】
【分析】
（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．
【详解】
（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，
∴，
∴
∵点M在抛物线上
∴，
∴ ，
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴ 解得： ，
∴直线AM：
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：，
∴，
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴，
∴
解得：
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．

12．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为（1，﹣）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得
∴抛物线解析式为：y=x2−x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
∴y=-x
则P点坐标为（1，-）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-a-1）
由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，a−1）
把M代入y=x2−x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

13．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析： （1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=