2020-2021天津中考数学二次函数综合题汇编.doc

2020-2021天津中考数学二次函数综合题汇编

一、二次函数
1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；
（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．
【解析】
试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+．∵a=﹣1＜0，∴当x=时，线段PD的长度有最大值；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．
综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M（2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．

点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．

2．如图，已知抛物线经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）.
（2）.
（3）①.
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线经过A（－3，0），B（1，0），
∴可设抛物线交点式为.
又∵抛物线经过C（0，3），∴.
∴抛物线的解析式为：，即.
（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小.
∵点A、点B关于对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点.

∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.
∴△PBC的周长最小是：.
（3）①∵抛物线顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，）
∴.
∴.
∴S与m的函数关系式为.
②，
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.

3．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．
【解析】
【分析】
已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
【详解】
（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−＝1
∴b=-2
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x2-2x-3=0．
∴x1=-1，x2=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
（3）①∵AB=4，PQ=AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM=，
∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是，
∴点P的横坐标为−，
∴P（−，−）
∴F（0，−），
∴FC=3-OF=3-=
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），
过点D作DG⊥CE于点G，

∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=-1=．
在Rt△EGD中，tan∠CED=．
②P1（1-，-2），P2（1-，-）．
设OE=a，则GE=2-a，
当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2，
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1+或1-
∵点P在第三象限．
∴P1（1-，-2），
当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1，
∴OF=2.5，
∴P和F的纵坐标为：-，
把y=-，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，
∵点P在第三象限．
∴P2（1-，-）．
综上所述：满足条件为P1（1-，-2），P2（1-，-）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=x2﹣x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴，即，
∴HQ=t．
∴S△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．

∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．
∴S△CBK=．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）
=×4•EK
=2（﹣m2+m）
=﹣m2+3m．
即：﹣m2+3m=．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

5．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝，S的最大值是，此时动点M的坐标是（，）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是秒．
【解析】
【分析】
（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;
（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.
（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.
【详解】
（1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴3＝a+4，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点C的坐标为（3，0），
∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，
∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，
∴点A的坐标（1，0），
∵△ABM的面积为S，
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，
化简，得
S＝＝，
∴当m＝时，S取得最大值，此时S＝，此时点M的坐标为（，），
即S与m的函数表达式是S＝，S的最大值是，此时动点M的坐标是（，）；
（3）如右图所示，取点H的坐标为（0，），连接HA′、OA′，
∵∠HOA′＝∠A′OB，，，
∴△OHA′∽△OA′B，
∴，
即，
∵A′H+A′C≥HC＝，
∴t≥，
即点M在整个运动过程中用时最少是秒．

【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.

6．如图，直线y＝-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面积最大值为；此时D(﹣3，﹣)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
【解析】
【分析】
（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.
【详解】
解：(1)在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，
即点A的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；
(2)设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，
设DE与AC的交点为点F.
∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC
＝DF•AE+•DF•OE
＝DF•OA
＝×(﹣m2﹣m)×6
＝﹣m2﹣m
＝﹣(m+3)2+，
∵a＝﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，
又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，
∴存在点D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面积最大，最大值为；
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，
直线AD′的解析式为y＝x+9，
由，解得或，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，
综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.

7．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x，y＝﹣x+2；（2）详见解析；（3）E（）；（4）符合条件的点F的坐标（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【解析】
【分析】
（1）将B（2，0）代入设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，求得a，将B（2，0）代入y＝kx+2，求得k；
（2）分别求出AB2、BC2、AC2，根据勾股定理逆定理即可证明；
（3）作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．根据对称与三角形全等，求得A'（3，1），然后求出A'C解析式，与抛物线解析式联立，求得点E坐标；
（4）设F（1，m），分三种情况讨论：①当BF＝BD时，，②当DF＝BD时，，③当BF＝DF时，，m＝1，然后代入即可．
【详解】
（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，
将B（2，0）代入，
0＝a（2﹣1）2﹣1，
∴a＝1，
抛物线解析式：y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
将B（2，0）代入y＝kx+2，
0＝2k+2，
k＝﹣1，
∴直线BC的解析式：y＝﹣x+2；
（2）联立，
解得，，
∴C（﹣1，3），
∵A（1，﹣1），B（2，0），
∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，
AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，
BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，
∴点A与A'关于直线BC对称，
AB＝A'B，
可知△AFB≌△A'HB（AAS），
∵A（1，﹣1），B（2，0）
∴AG＝1，BG＝OG＝1，
∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，
∴A'（3，1），
∵C（﹣1，3），
∴直线A'C：，
联立：，
解得或，
∴E（，）；
（4）∵抛物线的对称轴：直线x＝1，
∴设F（1，m），
直线BC的解析式：y＝﹣x+2；
∴D（0，2）
∵B（2，0），
∴BD＝
，
，
①当BF＝BD时，，
m＝±，
∴F坐标（1，）或（1，﹣）
②当DF＝BD时，，
m＝2±，
∴F坐标（1，2+）或（1，2﹣）
③当BF＝DF时，，
m＝1，
F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意．
综上，符合条件的点F的坐标（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．
【点睛】
考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；
【解析】
【分析】
（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；
（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；
【详解】
解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；
（2）当函数经过点A时，a＝0，
∵图形M与线段AB恰有两个公共点，
∴y＝a要在AB线段的上方，
∴a＞﹣3
∴﹣3＜a≤0；
【点睛】
本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．

9．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。
【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。
（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。
（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。
【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴直线BC的解析式为。
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴抛物线的解析式。
（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。
∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。
∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。
∴。
∴MN的最大值是。
（3）当MN取得最大值时，N。
∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。
∴。
由勾股定理可得，。
设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。
如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，
∴EH=。
∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：
或。
当时，与联立，得
，解得或。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。
当时，与联立，得
，解得或。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－4）。
综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

10．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
【详解】
（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PF，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．

11．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是。
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a= ；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a 与m之间的关系式是 ；
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含k的代数式表示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，B3，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足条件的正方形边长。
【答案】（1）－1；（2）（3）3，6，9
【解析】
解：（1）－1；。
（2）∵过原点的抛物线顶点在直线上，∴。
∵b≠0，∴。
（3）由（2）知，顶点在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12）的抛物线为：，即。
对于顶点在在直线上的一点Am（m，m）（m为正整数，且m≤n），依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），
若点Dm在某一抛物线上，则
，化简，得。
∵m，n为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。
∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。
（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有，即。
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，。
（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标代入，
化简即可用含k的代数式表示b。
由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。
（3）将依题意，作的正方形AmBmCmDm边长为m，点Dm坐标为（2 m，m），将（2 m，m）代入抛物线求出m，n的关系，即可求解。

12．如图1，抛物线经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
（2）如图2，直线经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为（），连接并延长，交抛物线于点，交直线l于点，，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），顶点为：；（2）的值为﹣3；（3）存在，点的横坐标为：或．
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法将、代入中，即可求得和的值和抛物线解析式，再利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点的坐标；
（2）根据抛物线绕点旋转，可求得新抛物线的解析式，再将代入中，即可求得直线解析式，根据对称性可得点坐标，过点作轴交直线于，过作轴交直线于，由，即可得，再证明∽，即可得，建立方程求解即可；
（3）连接，易证是，，可得，在轴下方过点作，在上截取，过点作轴于，连接交抛物线于点，点即为所求的点；通过建立方程组求解即可．
【详解】
（1）将、代入中，得
解得
∴抛物线解析式为：，
配方，得：，∴顶点为：；
（2）∵抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
∴新抛物线的顶点为：，二次项系数为：
∴新抛物线的解析式为：
将代入中，得，解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
由抛物线与抛物线关于原点对称，可得点、V关于原点对称，
∴
如图2，过点作轴交直线于，过作轴交直线于，
则，，
∴，，
∵
∴，
∵轴，轴
∴
∴∽
∴，即
∴
解得：，，
∵
∴的值为：﹣3；
（3）由（2）知：，
∴，，，
如图3，连接，在中，∵，，
∴
∴是直角三角形，，
∴，
∵
∴，
在轴下方过点作，在上截取，
过点作轴于，连接交抛物线于点，点即为所求的点；
∵，
∴
∵
∴
∴，设直线解析式为，
则，解得
∴直线解析式为，
解方程组，得，，
∴点的横坐标为：或．

【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．

13．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
所以，解得，所以
所以，当时，
答：，拱顶D到地面OA的距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，所以可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯的水平距离最小是
考点：二次函数的实际应用．

14．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0)．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为(，)．

【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(，﹣)．
【解析】
【分析】
(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；
(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；
(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标．
【详解】
(1)函数表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：
如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，
∴S△OME＝S△OBM，
∴S四边形OMAD＝S△OBM；
(3)设点P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，
解得：m＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，

由(2)知：点N是PQ的中点，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：，
解得：，
所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，
直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，
同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，
联立①②并解得：x＝﹣，即点Q(﹣，)，
∵点N是PQ的中点，
由中点公式得：点N(，﹣)．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．

15．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中