初三数学考前辅导_基础知识归纳.doc

初三数学考前辅导
——基础知识归纳梳理 2014.6
⑵

（为正整数）
一、 基本公式：
⑴同底数幂的乘法法则：
幂的乘方法则：（m、n都为正整数）
积的乘方：
同底数幂的除法： （a≠0）
⑶平方差公式： 完全平方公式：
二、 科学记数法的形式：，其中≤＜10，为正整数 ； 1亿=108
例如：15876保留两个有效数字是1.6×104，不能写成16000
三、 注意的运用.
例如：⑴（x≥2）
⑵
⑶
四、 同类项：如3a2b与－2a2b； 同类二次根式：如①与
②若最简二次根式 最简二次根式：
如是最简二次根式，而则不是
五、 无限不循环小数叫无理数.
从形式上看有以下三类无理数：⑴含π的数：如π＋2，π；
⑵开不尽方根：如；⑶无限不循环小数如1.212112….
例：写一个0～1之间的无理数
六、 ⑴二次根式的有关计算.例：
⑵最简分式：当分子、分母没有公因式时为最简分式：如等
注意：分式运算的结果应为最简分式或整式.
七、一元二次方程：
⑴如.
⑵根的判别式为△＝
例：x2－2x＋2＝0 因为△＜0
所以不存在 x1＋x2，x1·x2
⑶求根公式：
⑷根与系数的关系：
八、⑴解分式方程一定要检验；
⑵解应用题时，设：答时注意写完整，单位名称不漏写，统一单位。
九、解不等式时，若两边同时乘以或除以同一个负数，不等式方向一定要改变.
例⑴由
解：由①得 －x＜4 ∴x＞－4
由②得 2－2x≥3x ∴x≤

例⑵解不等式组
∴原不等式的解集为－4＜x≤
注：若又要求整数解，请务必注意看清要求，得整数解为－3，－2，－1，0
十、平面直角坐标系及函数
⒈P（x，y）关于x轴对称P1（x，－y）(即x不变)；到x轴的距离为
P（x，y）关于y轴对称P2（－x，y）(即y不变)； 到y轴的距离为
P（x，y）关于原点对称P3（－x，－y）(即x，y都变)；到原点的距离为
注：有些求线段和、差的最值常常是利用点的对称来解决.
例：⑴已知A（－1，3），B(2,1)在x轴上求一点,
①P1使AP1+BP1最小；
②P2使最大
⑵已知C(3,3),D(-,-1)在x轴上求一点,
①Q1使最大； ②Q2使CQ2+DQ2最小；
解：⑴如图①B（2，1）关于x轴对称B＇(2,-1),直线AB＇与x轴交点
即为所求AP1+BP1最小点P1（,0）； ②直线AB与x轴交点即为P2（）
⑵如图①D关于x轴对称点D＇（）直线CD＇与x轴的交点即为所Q1（）；
②直线CD与x轴的交点Q2（）（先求直线的解析式，再求交点）

⒉一次函数：形如的函数，其图象为一直线；
⑴正比例函数为一次函数的特例，其图象为一条过原点的直线；
⑵时，经过一、三象限，；时，经过二、四象限，
⒊反比例函数：形如的函数，其图象为双曲线.时，图象在一、三象限，在每个象限内，；时，图象在二、四象限，在每个象限内，；
⒋ 二次函数：图象为抛物线。
⑴一般式：;
顶点式：顶点为（-h,k）可设y=a(x+h)+k;
交点式：与x轴交点为.
⑵的顶点为对称轴为直线
⑶ 例：①
顶点（1，－2）；对称轴：直线x＝1；当x＝1时，y最小＝－2；
当x<1时，
②
顶点；对称轴：直线
当（↑表示增大或上升,↓表式减小或下降）
十一、统计与概率
⒈为了了解我校九年级900名学生期中考试情况，从中抽取了100名学生的数学成绩进行
统计，其中样本为我校九年级100名学生期中考试的数学成绩，样本容量为100
⒉求平均数、众数、中位数时，若原题有单位名称，勿漏写单位名称
⒊方差 ；标准差
4.概率P=;可以用概率估计物体的个数m=n×P;
当实验的次数足够大时事件A发生频率近似等于概率。
注：求方差、概率、频率不要求近似计算时，应用准确值填入.
十二、命题改写时注意写法
如：“对顶角相等”的题设为两个角为对顶角，结论为这两个角相等.
它的逆命题为相等的两个角为对顶角
十三、解直角三角形
⑴

⑵

30°
45°
60°
sinα

cosα

tanα

1

⑶ 坡角α：斜坡与水平面的夹角
十四、
⑴
⑵

⑶说明：对角线垂直的任意四边形面积都等于对角线乘积的一半.
十五、
⑴ ⑵

十六、⑴直线与圆的位置关系 ⑵圆与圆的位置关系：两圆半径

⑴
十七、三角形的内心：内切圆圆心 外心：外接圆圆心
三条角平分线的交点 三边中垂线的交点

如图⑴，

十八、如图，PA，PB分别切⊙O于A、B，直线OP交⊙O于D、E，交弦AB于C，则
①由切线长定理得PA=PB,∠3=∠4；
②由等腰三角形三线合一性质得PC⊥AB,AC=BC；
③由切线性质得OA⊥AP,OB⊥BP；
④由垂径定理得=,=；
⑤连AD、BD得D为△ABP内心；
⑥∠1＝∠2＝∠3＝∠4；∠5＝∠6＝∠7＝∠8；

十九、①线段 ②射线 ③直线 ④角 ⑤平行线 ⑥等腰三角形 ⑦等边三角形 ⑧平行四边形 ⑨矩形 ⑩菱形 ⑾正方形 ⑿等腰梯形 ⒀圆中，轴对称图形有①②③④⑤⑥⑦⑨⑩⑾⑿⒀；
中心对称图形有①③⑤⑧⑨⑩⑾⒀ (注意正n边形的对称性)
二十、
1、圆心角的度数与它所对弧的度数关系是_________________________________.
2、在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系是____________________________________.
3、垂径定理是________________________________________________________________.
4、圆周角定理是______________________________________________________________.
5、圆周角定理的推论是________________________________________________________.
7、切线的判定定理是__________________________________________________.
8、切线的性质定理是_______________________________________.
9、切线长定理是_______________________________________________________________.
10、如果两圆的半径分别为R、r,圆心距为d,那么两圆外离___________;两圆外切_ __
_______________;两圆相交___________________________;两圆内切__________________________;两圆内含_________________________________.
11、C圆=_______;S圆=________;L弧=__________;S扇形=______________;
S扇形=______________;S圆锥侧=_________________;S圆锥全=____________________.
二十一、
1、多边形内角和定理：边形的内角和等于．
2、多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于．
3、边形共有条对角线．平行四边形的性质 (1)平行四边形的邻角互补，对角相等．
(2)平行四边形的对边平行且相等．
(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．
两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．
(4)平行四边形的对角线互相平分．
(5)中心对称图形，若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线二等分四边形的面积．
平行四边形的判定 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
1、如图1，．
2、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图2，．

图1

矩形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质．
(2)矩形的四个角都是直角．
(3)矩形的对角线相等．
(4)矩形既是轴对称图形又是中心对称图形．
矩形的判定 (1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
菱形的性质：(1)具有平行四边形的一切性质．
(2)菱形的四条边都相等．
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
(4)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形．
菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
菱形的判定 ：(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．
(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．
正方形的性质
(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
(2)正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
(3)正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
(4)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．，有4条对称轴．
正方形的判定
(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：
①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．
(2)判定正方形的一般顺序：
①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．
平行线等分线段定理：
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等
定理的作用：
①可以证明同一条直线上的线段相等．②可以得到成比例线段．
常见的两个应用
1、经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰．
2、经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．
这两个应用可简记为：“中点”+“平行线”“全等△”、“平行线”+“角平分线”“等腰△”；
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相等。
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
①位置关系：可以证明两条直线平行．②数量关系：可以证明线段的倍分关系．
相似形定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原
三角形相似．
定理的基本图形：

三角形相似的判定方法：
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法：
7、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两
个直角三角形相似．
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
注意：三角形相似的判定方法是将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例” ．
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
相似多边形：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)．
相似多边形的性质：
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
正边形的计算：
定理：正边形的半径和边心距把正边形分成2个全等的直角三角形(如图)．
说明：由于这些直角三角形的斜边都是正边形的半径R，一条直角边是正边形的边心距，另一条直角边是正边形的边长的一半，一个锐角是正边形中心角的一半，即，另一个锐角为一个内角的一半，即或，所以，根据上面定理就可以把正边形的有关计算归结为解直角三角形问题．

正边形的若干关系：
；；
；；
；．
说明：
(1)上述公式是在上面定理的基础上，运用解直角三角形的方法得到的．
(2)通过上述六个公式可以看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了．例如知道：①圆的半径和边数；②圆的半径和边心距；③边长和边心距，就可以确定正多边形的其它元素．特别的，如果正边形的边数确定，那么已知它的边长，周长，半径，边心距，面积中的任意一项都可以求出其它的各项．
注意考试方法：
（1）仔细读题，不放过每一个字，解答要扣题;
（2）实际问题，想象情境，构建直角三角形等；
（3）注意方程思想，有直角运动，可借助直角三角板等工具操作试试.
（4）折叠剪纸问题可动手操作验证
（5）翻折问题，折痕两旁的部分成轴对称且全等，可连接已知点和它的落点的线段，作此线段的垂直平分线确定折痕；
（6）注意统一单位，结果要符合要求；
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