2020-2021广州中考数学-二次函数-综合题.doc

2020-2021广州中考数学 二次函数 综合题

一、二次函数
1．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）﹣3；（2）yx2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【解析】
【分析】
（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；
（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：
m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：
x＝3，
所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：
，
解得：，
所以二次函数的解析式为：yx2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，
则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30°，
设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M1（3，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，
则∠OEC＝45°-15°＝30°，
∴OE＝OC•tan60°＝3，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，
联立两个方程可得：，
解得：，
所以M2（，﹣2）．
综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．

2．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）；（3） 2≤t＜．
【解析】
【分析】
（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，
∴抛物线顶点D的坐标为（-，-）；
（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=-2，
∴N点坐标为（-2，-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为，
∴E（-，-3），
∵M（1，0），N（-2，-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=|（ -2）-1|•|--（-3）|=−−a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，
由，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．

【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

3．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC最大值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．

4．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
所以，解得，所以
所以，当时，
答：，拱顶D到地面OA的距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，所以可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯的水平距离最小是
考点：二次函数的实际应用．

5．抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。
（Ⅰ）当时，求点A，点E的坐标；
（Ⅱ）若顶点E在直线上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若，当满足值最小时，求b的值。
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；
（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时值最小，从而求出b的值.
【详解】
解：（Ⅰ）把点和代入函数，
有。解得

（Ⅱ）由，得
∵点E在直线上，

当时，点A是最高点此时，
（Ⅲ）：抛物线经过点，有

∴E关于x轴的对称点为
设过点A，P的直线为.把代入，得
把点代入.
得，即
解得，。
舍去.

【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

6．已知抛物线上有两点M(m+1，a)、N(m，b).
(1)当a＝－1，m＝1时，求抛物线的解析式；
(2)用含a、m的代数式表示b和c；
(3)当a＜0时，抛物线满足，，，
求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）b=-am，c=-am；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到M(2，－1)、N(1，b)，代入抛物线解析式即可求出b、c；
（2）将点M(m+1，a)、N(m，b)代入抛物线，可得，化简即可得出；
（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根据m的取值范围可得a的取值范围.
【详解】
解：(1)∵a＝－1，m＝1，∴M(2，－1)、N(1，b)
由题意，得，解，得
(2) ∵点M(m+1，a)、N(m，b)在抛物线上

①－②得，，∴
把代入②，得
(3)把，代入得
，
把，代入得，
，
，当时，随m的增大而增大

即
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出，是解题关键.

7．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

8．如图，抛物线的图象过点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为
【解析】
【分析】
（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量．
（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标．
（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点
∴可设交点式
把点代入得：

∴抛物线解析式为
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称

∵当C、P、B在同一直线上时，最小

最小
设直线BC解析式为
把点B代入得：，解得：
∴直线BC：

∴点使的周长最小，最小值为．
（3）存在满足条件的点M，使得．
∵S△PAM＝S△PAC
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方

，设直线AP解析式为
解得：
∴直线
∴直线CM解析式为：

解得：（即点C），
∴点M坐标为

【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．

9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．
（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M．
【详解】
（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得
，
解得，
所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），
∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
∴S△PAC＝，
∴，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），
当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，

∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，
∴D点坐标为（﹣1，4），
又∵A（﹣3，0），
∴直线AC为y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，
∵B（1，0），C（0，3）
∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∵AC＝4，
∴AE＝AC•sin∠ABC＝＝，BE＝，
∴CE＝，
∴tan∠ACB＝，
∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，
∴∠ACB＝∠PAB，
∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，
即OM为y＝﹣x，
设OM与AD的交点M（x，y）
依题意得：，
解得，
即M点为（，）．
Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，
∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则
依题意得：，
解得，
即M点为（，），
综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（，）或（，）．
【点睛】
本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．
【解析】
【分析】
(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；
(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；
(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.
【详解】
解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
(2)结论：OE的长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE的长与a值无关．
(3)当β=45°时，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣，
∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣≤a≤﹣1．
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m＜1．
∴n=﹣m﹣1(m＜1)．
故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。

11．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
（1）求函数y=x+2的图像上所有“中国结”的坐标；
（2）求函数y=（k≠0，k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y=（k为常数）的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个.
【解析】
试题分析：（1）因为x是整数，x≠0时，x是一个无理数，所以x≠0时，x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可．
（2）首先判断出当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可．
（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根据x1、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
试题解析：（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，
∴x≠0时，x+2不是整数，
∴x=0，y=2，
即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．
（2）①当k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，1）、（﹣1、﹣1）；
②当k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，﹣1）、（﹣1，1）．
③当k≠±1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：
（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，
综上可得，k=1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；
k=﹣1时，函数y=（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．
（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，
则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，
∴
∴，
整理，可得
x1x2+2x2+1=0，
∴x2（x1+2）=﹣1，
∵x1、x2都是整数，
∴或
∴或
①当时，
∵，
∴k=；
②当时，
∵，
∴k=k﹣1，无解；
综上，可得
k=，x1=﹣3，x2=1，
y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k
=[()2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣
=﹣x2﹣x+
①当x=﹣2时，
y=﹣x2﹣x+=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+
=
②当x=﹣1时，
y=﹣x2﹣x+
=﹣×（﹣1）2﹣×（﹣1）+
=1
③当x=0时，y=，
另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：
（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．
综上，可得
若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，
该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．
考点：反比例函数综合题

12．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.

【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②当x=2,y最大值=2.
【解析】
【分析】
（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：△AGE≌△ECF，则可证得：AE=EF；
（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明△ABE≌△ENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题．
【详解】
（1）如图，在AB上取AG=EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ，
又∵∠B=90°，
∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，
∴∠ECF=135°，
∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AGE和△ECF中，
,
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF；

(2)①∵由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，
∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，
∴△ABE≌△ENF，
∴FN=BE=x，
∴S△ECF= (BC-BE)·FN，
即y= x(4-x），
∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，
②，
当x=2，y最大值=2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．

13．如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.

【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）
【解析】
【分析】
（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；
（2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解；
（3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解．
【详解】
（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点．

14．如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】①；②当时，△PBE的面积最大，最大值为；③点N的横坐标为：4或或．
【解析】
【分析】
①点B、C在直线为上，则B（﹣n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，，因此抛物线解析式：；
②先求出点P到BC的高h为，于是，当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．
【详解】
解：①∵点B、C在直线为上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴，，
∴抛物线解析式：；
②由题意，得，
，，
由①知，，
∴点P到BC的高h为，
∴，
当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，
∴点A到直线BC的距离，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设，则、，
易证△PQN为等腰直角三角形，即，
∴，
Ⅰ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
Ⅱ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
Ⅲ．，
∴，
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．

15．已知抛物线的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1） D（，﹣4）
（2） P（0，）或（0，）
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．
②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点．再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
【详解】
解：（1）在中，令y=0，则，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，
解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．
在中，令x=0，则y=．∴C（0，）．
∵，∴顶点D（，﹣4）．
（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P．
设点P的坐标为（0，y），
∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此时点P（0，）．
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，∴，即．
解得y=，此时点P（0，）．
综上所述，符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）．
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过点E（，0）和点F（0，），
∴，解得，
∴直线l的解析式为．
∵B（，0），D（，﹣4），
∴，∴线段BD的中点G的坐标为（，﹣2）．
当x=时，，∴点G在直线l上．
②在抛物线上存在符合条件的点M．

设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0），
∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．
∵，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°．
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）
=180°﹣90°=90°，
∴直线l是线段BD的垂直平分线．
∴点D关于直线l的对称点就是点B．
∴点M就是直线DE与抛物线的交点．
设直线DE的解析式为y=mx+n，
∵D（，﹣4），E（，0），
∴，解得．
∴直线DE的解析式为．
联立，解得，．
∴符合条件的点M有两个，是（，﹣4）或（，）．