2020-2021广州中考数学-二次函数-综合题.doc

2020-2021广州中考数学 二次函数 综合题一、二次函数1如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）3；（2）yx23；（3）M的坐标为（3，6）或（，2）【解析】【分析】（1）把C（0，3）代入直线yx+m中解答即可；（2）把y0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可【详解】（1）将C（0，3）代入yx+m，可得：m3；（2）将y0代入yx3得：x3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，3）、（3，0）代入yax2+b中，可得：，解得：，所以二次函数的解析式为：yx23；（3）存在，分以下两种情况：若M在B上方，设MC交x轴于点D，则ODC45+1560，ODOCtan30，设DC为ykx3，代入（，0），可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；若M在B下方，设MC交x轴于点E，则OEC45-1530，OEOCtan603，设EC为ykx3，代入（3，0）可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M2（，2）综上所述M的坐标为（3，6）或（，2）【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键2已知，抛物线yax2+ax+b（a0）与直线y2x+m有一个公共点M（1，0），且ab（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求DMN的面积与a的关系式；（3）a1时，直线y2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围【答案】（1）b=2a，顶点D的坐标为（，）；（2）；（3） 2t【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据ab，判断a0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围【详解】解：（1）抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），a+a+b=0，即b=-2a，y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+）2-，抛物线顶点D的坐标为（-，-）；（2）直线y=2x+m经过点M（1，0），0=21+m，解得m=-2，y=2x-2，则，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=-2，N点坐标为（-2，-6），ab，即a-2a，a0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，抛物线对称轴为，E（-，-3），M（1，0），N（-2，-6），设DMN的面积为S，S=SDEN+SDEM=|（ -2）-1|-（-3）|=a，（3）当a=-1时，抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+）2+，由，-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，G（-1，2），点G、H关于原点对称，H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，=1-4（t-2）=0，t=，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2t【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大3如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求的值【答案】（1）A（，0）、B（3，0）（2）存在SPBC最大值为 （3）或时，BDM为直角三角形【解析】【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由SPBC = SPOC+ SBOPSBOC得到PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：BMD=90时；BDM=90时，讨论即可求得m的值【详解】解：（1）令y=0，则，m0，解得：，A（，0）、B（3，0）（2）存在理由如下：设抛物线C1的表达式为（），把C（0，）代入可得，1的表达式为：，即设P（p，）， SPBC = SPOC+ SBOPSBOC=0，当时,SPBC最大值为（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），BD2=，BM2=，DM2=MBD90, 讨论BMD=90和BDM=90两种情况：当BMD=90时，BM2+ DM2= BD2，即=，解得：,(舍去)当BDM=90时，BD2+ DM2= BM2，即=，解得：，(舍去) 综上所述，或时，BDM为直角三角形4（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值试题解析：（1）由题知点在抛物线上所以，解得，所以所以，当时，答：，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）当x=2或x=10时，所以可以通过（3）令，即，可得，解得答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用5抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。（）当时，求点A，点E的坐标； （）若顶点E在直线上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；（）若，当满足值最小时，求b的值。【答案】（），；（）；（）.【解析】【分析】（）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；（）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；（）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上，此时值最小，从而求出b的值.【详解】解：（）把点和代入函数，有。解得（）由，得点E在直线上，当时，点A是最高点此时，（）：抛物线经过点，有E关于x轴的对称点为设过点A，P的直线为.把代入，得把点代入.得，即解得，。舍去.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题6已知抛物线上有两点M(m+1，a)、N(m，b).(1)当a1，m1时，求抛物线的解析式；(2)用含a、m的代数式表示b和c；(3)当a0时，抛物线满足，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）b=-am，c=-am；（3）【解析】【分析】（1）根据题意得到M(2，1)、N(1，b)，代入抛物线解析式即可求出b、c；（2）将点M(m+1，a)、N(m，b)代入抛物线，可得，化简即可得出；（3）把，代入可得，把，代入可得，然后根据m的取值范围可得a的取值范围.【详解】解：(1)a1，m1，M(2，1)、N(1，b)由题意，得，解，得 (2) 点M(m+1，a)、N(m，b)在抛物线上得， 把代入，得 (3)把，代入得，把，代入得， ，当时，随m的增大而增大 即【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出，是解题关键.7已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A、B，求O AB的面积【答案】（1）y=x22x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A、B的坐标由于OAB不规则，可用面积割补法求出OAB的面积【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，5）代入得：a=1，该函数的解析式为：y=（x+1）2+4=x22x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，x22x+3=0，解得：x1=3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A（2，4），B（5，5），SOAB=（2+5）92455=15【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.8如图，抛物线的图象过点.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为【解析】【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等又因为M在x轴上方，故有由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点 可设交点式 把点代入得：抛物线解析式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小如图1，连接PB、BC点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称当C、P、B在同一直线上时，最小最小设直线BC解析式为把点B代入得：，解得：直线BC：点使的周长最小，最小值为（3）存在满足条件的点M，使得SPAMSPAC当以PA为底时，两三角形等高点C和点M到直线PA距离相等M在x轴上方，设直线AP解析式为 解得：直线直线CM解析式为：解得：（即点C），点M坐标为【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单9如图，抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x+3；（2）点P的坐标为（1，4）或（2，3）；（3）存在，（，）或（，），见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2）过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把APC分成两个APQ与CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积（3）通过三角形函数计算可得DAO=ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似，则有两种情况，AOM=CAB=45，即OM为y=-x，若AOM=CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M【详解】（1）把A（3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式yax2+bx+c得，解得，所以抛物线的函数表达式为yx22x+3（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，A（3，0），C（0，3），直线AC解析式为yx+3，设P点坐标为（x，x22x+3），则Q点坐标为（x，x+3），PQx22x+3（x+3）x23xSPAC，解得：x11，x22当x1时，P点坐标为（1，4），当x2时，P点坐标为（2，3），综上所述：若PAC面积为3，点P的坐标为（1，4）或（2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，D为抛物线yx22x+3的顶点，D点坐标为（1，4），又A（3，0），直线AC为y2x+4，AF2，DF4，tanPAB2，B（1，0），C（0，3）tanABC3，BC，sinABC，直线BC解析式为y3x+3AC4，AEACsinABC，BE，CE，tanACB，tanACBtanPAB2，ACBPAB，使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2当AOMCAB45时，ABCOMA，即OM为yx，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（，）若AOMCBA，即OMBC，直线BC解析式为y3x+3直线OM为y3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与ABC相似的点M，其坐标为（，）或（，）【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax3a（a0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E（1）当a=1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设DEO=，4560，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围【答案】（1）（1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关理由见解析；（3）a1；（4）n=m1（m1）【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于N两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=1时，抛物线的解析式为y=x22x+3，顶点D(1，4)，C(0，3)，直线CD的解析式为y=x+3，E（3，0），OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关理由：y=ax2+2ax3a，C(0，3a)，D(1，4a)，直线CD的解析式为y=ax3a，当y=0时，x=3，E（3，0），OE=3，OE的长与a值无关(3)当=45时，OC=OE=3，3a=3，a=1，当=60时，在RtOCE中，OC=OE=3，3a=3，a=，4560，a的取值范围为a1(4)如图，作PM对称轴于M，PNAB于NPD=PE，PMD=PNE=90，DPE=MPN=90，DPM=EPN，DPMEPN，PM=PN，PM=EN，D(1，4a)，E(3，0)，EN=4+n=3m，n=m1，当顶点D在x轴上时，P(1，2)，此时m的值1，抛物线的顶点在第二象限，m1n=m1(m1)故答案为：(1)(1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)a1；(4)n=m1（m1）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。11在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。（1）求函数y=x+2的图像上所有“中国结”的坐标；（2）求函数y=（k0，k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k为常数）的图像与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（1，1）；当k=1时，对应“中国结”为（1，1），（1,1）；（3）6个.【解析】试题分析：（1）因为x是整数，x0时，x是一个无理数，所以x0时，x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可（2）首先判断出当k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；然后判断出当k1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可（3）首先令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=0，则（k1）x+k（k2）x+（k1）=0，求出x1、x2的值是多少；然后根据x1、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可试题解析：（1）x是整数，x0时，x是一个无理数，x0时，x+2不是整数，x=0，y=2，即函数y=x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）（2）当k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；当k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1，1）当k1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：（1，k）、（1，k）、（k，1）、（k，1），这与函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）；k=1时，函数y=（k0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（1、1）（3）令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=0，则（k1）x+k（k2）x+（k1）=0，整理，可得x1x2+2x2+1=0，x2（x1+2）=1，x1、x2都是整数，或或当时，k=；当时，k=k1，无解；综上，可得k=，x1=3，x2=1，y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=()23+2x2+2（）24+1x+（）2=x2x+当x=2时，y=x2x+=（2）2（2）+=当x=1时，y=x2x+=（1）2（1）+=1当x=0时，y=，另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：（2，0）、（1、0）、（0，0）综上，可得若二次函数y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（3，0）、（2，0）、（1，0）（1，1）、（0，0）、（1，0）考点：反比例函数综合题12如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）y=-x2+2x（0x4)，当x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：AGEECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明ABEENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求解最值问题【详解】（1）如图，在AB上取AG=EC，四边形ABCD是正方形，AB=BC，有AG=EC ，BG=BE ，又B=90，AGE=135，又BCD=90，CP平分DCN，ECF=135，BAEAEB=90，AEBFEC=90，BAE=FEC，在AGE和ECF中， ,AGEECF，AE=EF；(2)由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，BAE=NEF，B=ENF=90，ABEENF，FN=BE=x，SECF= (BC-BE)FN，即y= x(4-x），y=- x2+2x（0x4)，当x=2，y最大值=2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键13如图所示抛物线过点，点，且（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为35两部分，求点的坐标.【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）【解析】【分析】（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；（2）CD+AE=AD+DC，则当A、D、C三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小，即可求解；（3）SPCB：SPCA=EB（yC-yP）：AE（yC-yP）=BE：AE，即可求解【详解】（1）OB=OC，点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；对称轴为：直线（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=CD，取点A（-1，1），则AD=AE，故：CD+AE=AD+DC，则当A、D、C三点共线时，CD+AE=AD+DC最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+AD+DC=+1+AC=+1+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又SPCB：SPCA=EB（yC-yP）：AE（yC-yP）=BE：AE，则BE：AE，=3：5或5：3，则AE=或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3联立并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A点来求最小值，是本题的难点14如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为求抛物线的解析式点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动设运动时间为t秒，求t为何值时，PBE的面积最大并求出最大值过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标【答案】；当时，PBE的面积最大，最大值为；点N的横坐标为：4或或【解析】【分析】点B、C在直线为上，则B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，因此抛物线解析式：；先求出点P到BC的高h为，于是，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，所以解得（舍去），解得，（舍去），解得（舍去），【详解】解：点B、C在直线为上，B（n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，抛物线解析式：；由题意，得，由知，点P到BC的高h为，当时，PBE的面积最大，最大值为；由知，BC所在直线为：，点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H设，则、，易证PQN为等腰直角三角形，即，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，；，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，解得，点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键15已知抛物线的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点点G是否在直线l上，请说明理由；在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1） D（，4）（2） P（0，）或（0，）（3）详见解析【解析】【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解（3）设直线l的解析式为y=kx+b（k0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出OEF和HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出OFE=HBD，然后求出EGBD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M【详解】解：（1）在中，令y=0，则，整理得，4x212x7=0，解得x1=，x2=A（，0），B（，0）在中，令x=0，则y=C（0，），顶点D（，4）（2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P设点P的坐标为（0，y），A（，0），C（0，），OA=，OC=，OP=y，若OA和OA是对应边，则AOPAOC，y=OC=，此时点P（0，）若OA和OC是对应边，则POAAOC，即解得y=，此时点P（0，）综上所述，符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）（3）设直线l的解析式为y=kx+b（k0），直线l经过点E（，0）和点F（0，），解得，直线l的解析式为B（，0），D（，4），线段BD的中点G的坐标为（，2）当x=时，点G在直线l上在抛物线上存在符合条件的点M设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0），E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，4），OE=，OF=，HD=4，HB=2，OEF=HDB，OEFHDBOFE=HBDOEF+OFE=90，OEF+HBD=90EGB=180（OEF+HBD）=18090=90，直线l是线段BD的垂直平分线点D关于直线l的对称点就是点B点M就是直线DE与抛物线的交点设直线DE的解析式为y=mx+n，D（，4），E（，0），解得直线DE的解析式为联立，解得，符合条件的点M有两个，是（，4）或（，）