2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理-突破提升)附详细答案.doc

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)附详细答案一、二次函数1已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PDy轴交直线AC于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MAMC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由【答案】（1）y=x24x+3；（2）；（3）点P（1，0）或（2，1）；（4）M（2，3）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）APD是直角时，点P与点B重合，求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MAMC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可试题解析：解：（1）抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）令x=0，则y=3，点C（0，3），则直线AC的解析式为y=x+3，设点P（x，x24x+3）PDy轴，点D（x，x+3），PD=（x+3）（x24x+3）=x2+3x=（x）2+a=10，当x=时，线段PD的长度有最大值；（3）APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1）A（3，0），点P为在抛物线顶点时，PAD=45+45=90，此时，点P（2，1）综上所述：点P（1，0）或（2，1）时，APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MA=MB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得：，直线BC的解析式为y=3x+3抛物线y=x24x+3的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=32+3=3，点M（2，3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，3），使|MAMC|最大点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键2如图，已知抛物线yx2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使ANM的周长最小若存在，请求出M点的坐标和ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x+3；yx+1；（2）当x时，APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）在对称轴上存在一点M（1，2），使ANM的周长最小，ANM周长的最小值为3【解析】【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PEy轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQy轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，x22x+3）（2x1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出SAPCx2x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出ANM周长的最小值即可得出结论【详解】（1）将A（1，0），C（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的函数关系式为yx22x+3；设直线AC的函数关系式为ymx+n（m0），将A（1，0），C（2，3）代入ymx+n，得：，解得：，直线AC的函数关系式为yx+1（2）过点P作PEy轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQy轴交x轴于点Q，如图1所示设点P的坐标为（x，x22x+3）（2x1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，x+1），PEx22x+3，EFx+1，EFPEEFx22x+3（x+1）x2x+2点C的坐标为（2，3），点Q的坐标为（2，0），AQ1（2）3，SAPCAQPFx2x+3（x+）2+ 0，当x时，APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（， ）（3）当x0时，yx22x+33，点N的坐标为（0，3）yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1点C的坐标为（2，3），点C，N关于抛物线的对称轴对称令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示点C，N关于抛物线的对称轴对称，MNCM，AM+MNAM+MCAC，此时ANM周长取最小值当x1时，yx+12，此时点M的坐标为（1，2）点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，3），点N的坐标为（0，3），AC 3，AN ，CANMAM+MN+ANAC+AN3+在对称轴上存在一点M（1，2），使ANM的周长最小，ANM周长的最小值为3+【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出SAPCx2x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置3如图，已知抛物线y=x2bxc与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段PQ=AB时，求tanCED的值；当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x22x3（2）直线BC的函数表达式为y=x3（3）P1（1，2），P2（1，）【解析】【分析】已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标已知了AOC和BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式【详解】（1）抛物线的对称轴为直线x=1，1b=-2抛物线与y轴交于点C（0，-3），c=-3，抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；（2）抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2-2x-3=0x1=-1，x2=3A点在B点左侧，A（-1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则，直线BC的函数表达式为y=x-3；（3）AB=4，PQ=AB，PQ=3PQy轴PQx轴，则由抛物线的对称性可得PM=，对称轴是直线x=1，P到y轴的距离是，点P的横坐标为，P（，）F（0，），FC=3-OF=3-=PQ垂直平分CE于点F，CE=2FC=点D在直线BC上，当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DGCE于点G，DG=1，CG=1，GE=CE-CG=-1=在RtEGD中，tanCED=P1（1-，-2），P2（1-，-）设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CGGE，即1=（OC-OG）（2-a），1=1（2-a），a=1，CE=2，OF=OE+EF=2F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1+或1-点P在第三象限P1（1-，-2），当CD为斜边时，DECE，OE=2，CE=1，OF=2.5，P和F的纵坐标为：-，把y=-，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，点P在第三象限P2（1-，-）综上所述：满足条件为P1（1-，-2），P2（1-，-）【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx3（a0）与x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBK：SPBQ=5：2，求K点坐标【答案】（1）y=x2x3（2）运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是（3）K1（1，），K2（3，）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒利用三角形的面积公式列出SPBQ与t的函数关系式SPBQ=（t1）2+利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x3由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2m3）如图2，过点K作KEy轴，交BC于点E结合已知条件和（2）中的结果求得SCBK=则根据图形得到：SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m），把相关线段的长度代入推知：m2+3m=易求得K1（1，），K2（3，）解：（1）把点A（2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx3（a0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y=x2x3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=tPB=63t由题意得，点C的坐标为（0，3）在RtBOC中，BC=5如图1，过点Q作QHAB于点HQHCO，BHQBOC，即，HQ=tSPBQ=PBHQ=（63t）t=t2+t=（t1）2+当PBQ存在时，0t2当t=1时，SPBQ最大=答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k0）把B（4，0），C（0，3）代入，得，解得，直线BC的解析式为y=x3点K在抛物线上设点K的坐标为（m，m2m3）如图2，过点K作KEy轴，交BC于点E则点E的坐标为（m，m3）EK=m3（m2m3）=m2+m当PBQ的面积最大时，SCBK：SPBQ=5：2，SPBQ=SCBK=SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m）=4EK=2（m2+m）=m2+3m即：m2+3m=解得 m1=1，m2=3K1（1，），K2（3，）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围5在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过点，对称轴为直线，点关于直线的对称点为点.过点作直线轴，交轴于点.（）求该抛物线的解析式及对称轴；（）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标；（）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（）抛物线的解析式为;抛物线的对称轴为直线;（）点坐标为;（）存在，点坐标为或，理由见解析【解析】【分析】（）将点代入二次函数的解析式，即可求出a，再根据对称轴的公式即可求解.（）先求出B点胡坐标，要求胡最小值，只需找到B关于轴的对称点，则直线A与y轴的交点就是点P，根据待定系数法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P点的坐标.（）设点Q的坐标，并求出AOQ面积，从而得到AOQ面积，根据Q点胡不同位置进行分类，用m及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（）经过点，解得，抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线.（）点，对称轴为，点关于对称轴的对称点点坐标为.作点关于轴的对称点，得，设直线AB1的解析式为，把点，点代入得，解得，.直线与轴的交点即为点.令得，点坐标为.（），轴，又，.设点坐标为，如图情况一，作，交延长线于点，化简整理得，解得，.如图情况二，作，交延长线于点，交轴于点，化简整理得，解得，点坐标为或，抛物线上存在点，使得.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.6如图，直线l：y3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线yax22ax+a+4（a0）经过点B，交x轴正半轴于点C（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A，连接CA、BA，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA以每秒3个单位的速度运动到A，再沿线段AC以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）yx2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S，S的最大值是，此时动点M的坐标是（，）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是秒【解析】【分析】（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据ABM的面积为SS四边形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.（3）首先证明OHAOAB，再结合AH+ACHC即可计算出t的最小值.【详解】（1）将x0代入y3x+3，得y3，点B的坐标为（0，3），抛物线yax22ax+a+4（a0）经过点B，3a+4，得a1，抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）将y0代入yx2+2x+3，得x11，x23，点C的坐标为（3，0），点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，0m3，点M的坐标为（m，m2+2m+3），将y0代入y3x+3，得x1，点A的坐标（1，0），ABM的面积为S，SS四边形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB，化简，得S，当m时，S取得最大值，此时S，此时点M的坐标为（，），即S与m的函数表达式是S，S的最大值是，此时动点M的坐标是（，）；（3）如右图所示，取点H的坐标为（0，），连接HA、OA，HOAAOB，OHAOAB，即，AH+ACHC，t，即点M在整个运动过程中用时最少是秒【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.7如图，在平面直角坐标系中有抛物线ya（x2）22和ya（xh）2，抛物线ya（x2）22经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线ya（x2）22上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线ya（xh）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线ya（xh）2于点D（不与点D重合），连接PD，设点P的横坐标为m：（1）直接写出a的值；直接写出抛物线ya（x2）22的函数表达式的一般式；（2）当抛物线ya（xh）2经过原点时，设PDD与OAB重叠部分图形周长为L：求的值；直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值【答案】（1）；y2x；（2）1；L；（3）h【解析】【分析】（1）将x0，y0代入ya（x2）22中计算即可；y2x；（2）将（0，0）代入ya（xh）2中，可求得a，yx2，待定系数法求OB、AB的解析式，由点P的横坐标为m，即可表示出相应线段求解；（3）以点O、A、D、D为顶点的四边形是菱形，DDOA，可知点D的纵坐标为2，再由ADOA4即可求出h的值【详解】解：（1）将x0，y0代入ya（x2）22中，得：0a（02）22，解得：a；y2x；（2）抛物线ya（xh）2经过原点，a；yx2，A（4，0），B（2，2），易得：直线OB解析式为：yx，直线AB解析式为：yx4如图1，如图1，当0m2时，LOE+EF+OF，当2m4时，如图2，设PD交x轴于G，交AB于H，PD交x轴于E，交AB于F，则，DDEG，即：EGPDPEDD，得：EG（2m）（2mm2）2mEG2mm2，EF4mLEG+EF+FH+GHEG+EF+PG；（3）如图3，OADD为菱形ADAODD4，PD2，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法8如图，直线y-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线yax2+bx3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DEx轴于点E，连接AD，DC设点D的横坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若EADOBC，请直接写出此时点D的坐标【答案】(1)yx2+x3；(2)SADC=(m+3)2+；ADC的面积最大值为；此时D(3，)；(3)满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，根据SADCSADF+SDFC求出解析式，再求最值；（3）当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】解：(1)在yx3中，当y0时，x6，即点A的坐标为：(6，0)，将A(6，0)，B(2，0)代入yax2+bx3得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2+x3；(2)设点D的坐标为：(m，m2+m3)，则点F的坐标为：(m，m3)，设DE与AC的交点为点F.DFm3(m2+m3)m2m，SADCSADF+SDFCDFAE+DFOEDFOA(m2m)6m2m(m+3)2+，a0，抛物线开口向下，当m3时，SADC存在最大值，又当m3时，m2+m3，存在点D(3，)，使得ADC的面积最大，最大值为；(3)当点D与点C关于对称轴对称时，D(4，3)，根据对称性此时EADABC作点D(4，3)关于x轴的对称点D(4，3)，直线AD的解析式为yx+9，由，解得或，此时直线AD与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(4，3)或(8，21) 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题.9如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P（1）当抛物线F经过点C时，求它的解析式；（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1x2-2，比较y1与y2的大小.【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）根据抛物线F：y=x2-2mx+m2-2过点C（-1，-2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得yP的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小.【详解】(1) 抛物线F经过点C（1，2），. m1=m2=-1. 抛物线F的解析式是. (2)当x=-2时，=. 当m=-2时，的最小值为2. 此时抛物线F的表达式是. 当时，y随x的增大而减小. 2，.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题10已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A、B，求O AB的面积【答案】（1）y=x22x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A、B的坐标由于OAB不规则，可用面积割补法求出OAB的面积【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，5）代入得：a=1，该函数的解析式为：y=（x+1）2+4=x22x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，x22x+3=0，解得：x1=3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A（2，4），B（5，5），SOAB=（2+5）92455=15【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.11某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y；（2）W;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【解析】【分析】（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60x90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；（2）当40x60时，当60x90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40x60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+21060-5400=3600，当60x90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3652+39065-9000=3675，于是得到结论【详解】解：（1）当40x60时，设y与x之间的函数关系式为ykx+b，将（40，140），（60，120）代入得，解得：，y与x之间的函数关系式为yx+180；当60x90时，设y与x之间的函数关系式为ymx+n，将（90，30），（60，120）代入得，解得：，y3x+300；综上所述，y；（2）当40x60时，W（x30）y（x30）（x+180）x2+210x5400，当60x90时，W（x30）（3x+300）3x2+390x9000，综上所述，W；（3）当40x60时，Wx2+210x5400，10，对称轴x105，当40x60时，W随x的增大而增大，当x60时，W最大602+2106054003600，当60x90时，W3x2+390x9000，30，对称轴x65，60x90，当x65时，W最大3652+3906590003675，36753600，当x65时，W最大3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键12如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.若点P的横坐标为，求DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；直尺在平移过程中，DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）点D（ ）；PQD面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DEy轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出SDPQ=-2x2+6x+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出SDPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，抛物线的表达式为y=-x2+2x+3（2）（I）当点P的横坐标为-时，点Q的横坐标为，此时点P的坐标为（-，），点Q的坐标为（，-）设直线PQ的表达式为y=mx+n，将P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：，解得：，直线PQ的表达式为y=-x+如图，过点D作DEy轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+），DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，SDPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8-20，当x=时，DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），DE=-x2+2x+3-2（t+1）x+t2+4t+3=-x2+2（t+2）x-t2-4t，SDPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2x-（t+2）2+8-20，当x=t+2时，DPQ的面积取最大值，最大值为8假设成立，即直尺在平移过程中，DPQ面积有最大值，面积的最大值为8点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出SDPQ=-2x2+6x+；（II）利用三角形的面积公式找出SDPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t13如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)【解析】【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标；（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,），过点P作PD/y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3） 设点M的坐标为（m,），则点N的坐标为（m,），进而可得出MN，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线，解得：，抛物线的解析式为当时，解得：，点的坐标为，点的坐标为（2） 当时，点的坐标为设直线的解析式为将、代入，解得：，直线的解析式为假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ，当时，的面积最大， 最大面积是 16 ，存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 （3） 设点的坐标为，则点的坐标为，又，当时， 有，解得：，点的坐标为或；当或时， 有，解得：，点的坐标为，或，综上所述：点的坐标为，、或，【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题