排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)资料.doc

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排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）

说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word版的，记得下载MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。

一、排列数公式：

推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步进行：
第一步，排第一位： 有 n 种选法；
第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法；
第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法；
┋
第m步，排第m位： 有（n-m+1）种选法；
┋
最后一步，排最后一位：有 1 种选法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。

二、组合数公式：

推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：
第一步，取第一个： 有 n 种取法；
第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法；
第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法；
┋
第m步，取第m个： 有（n-m+1）种取法；
┋
最后一步，取最后一个：有 1 种取法。
上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。

证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题分解为两个步骤：
第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题；
第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列。

根据乘法原理， 即：

组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。根据上述公式，
C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。
这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。 

三、重复组合数公式：
重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m次所得的组合。
重复组合数公式： （m可小于、大于、等于n,n≥1）
推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：
n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当　　　　于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！
于是答案就是：
四、不全相异的全排列
　　　在不全相异的n个物体中，假设有n1个物体是相同的，n2个五题是相同的，……，nk个物体是相同的。n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。那么，这些物体的全排列数是n!/(n1!n2!…nk!)。
　　　可以想成：n个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一种物体有n1!种，第二种物体有n2!种，以此类推。
例：有3个红球，2个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。
答：一共有10种，
aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa。
五、排列恒等式的证明：
①
证明：右边=
左边=右边

②

证明：右边=
③

左边=右边

证明：右边=

左边=右边
④

证明：右边=
⑤
右边=左边

证明：右边=

⑥

证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+…（n+1-1）n!
=2!-1!+3!-2!+4!-3!…(n+1)!-n!
=(n+1)!-1！
=右边
六、组合恒等式的证明
互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种
根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素
分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素
首先明弄清组合的两个性质公式：

①

证明：
②

证明：右边=
③

证明：
右边=
=左边
⑤

证明：根据组合性质，左边各式可写成：

左右两边相加即得：

⑥

证明：
用数学归纳法证明。
1）当n=1时，所以等式成立。
2）假设n=k时，（k≥1，k∈N*）时等式成立。
即：
当n=k+1时，

∴等式也成立
由1)、2)得，等式对n∈N*都成立。
也可用二项式定理证明（略）

⑦

证明：用归纳法同上（略）
也可利用上述结论证明（略）
本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下：
设
由（1+1）n可得：a+b=2n=2×2n-1
由（1-1）n可得a-b=0
∴a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理)

⑧

证明：
由可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看③的证明）
左边

注：同时利用了⑥的结论。

The 闆嗚 Geng plait Chuai Ma 愮珯⑨

Tie up the indigo 悜鐭 F

The Lu х墿鍒嗚r≤min{m,n}

The 鍑 Hong Chuai 閫氱煡
用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。

鏉 $The 爜 Heng ﹀彿 观察左边的每一项，发现均是分别从m个不同素和n个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。其所有组合数当然等于右边。

The Cong ㈠崟鍓嶇 Jiang 鏃 Duo 棿

The Yue 氬埗鐗╂祦

The 鍥炴敹鐗╂祦⑩

Does the 鐗╄祫 Qian spoil Chen?

Gan sentence the 細鎬 Hui Hai 鍝 ?
还是用偷懒法：根据第⑨的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n即得些结论。
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