排列组合公式及恒等式推导、证明(word版)资料.doc

精品文档排列组合公式及恒等式推导、证明（word版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word还是pps附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word版的，记得下载MathType公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： 推导：把n个不同的元素任选m个排次序或n个全排序，按计数原理分步进行：第一步，排第一位： 有 n 种选法；第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法；第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； 第m步，排第m位： 有（n-m+1）种选法； 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式：推导：把n个不同的元素任选m个不排序，按计数原理分步进行：第一步，取第一个： 有 n 种取法；第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法；第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； 第m步，取第m个： 有（n-m+1）种取法； 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m个，就有m!种排排法，选n个就有n!种排法。故取m个的取法应当除以m!,取n个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题；第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列。根据乘法原理， 即：组合公式也适用于全组合的情况，即求C(n,n)的问题。根据上述公式， C(n,n)=n!/n!(n-n)!=n!/n!0!=1。这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。 三、重复组合数公式：重复组合定义:从n个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m次所得的组合。重复组合数公式： （m可小于、大于、等于n,n1）推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：n个不同的元素看作是n个格子，其间一共有（n-1）块相同的隔板，用m个相同的小球代表取m次；则原问题可以简化为将m个不加区别的小球放进n个格子里面，问有多少种放法；这相当于m个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1）！种排法，再由于m个小球和（n-1）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！于是答案就是：四、不全相异的全排列在不全相异的n个物体中，假设有n1个物体是相同的，n2个五题是相同的，nk个物体是相同的。n个物体中不相同的物体种类数一共有k种。那么，这些物体的全排列数是n!/(n1!n2!nk!)。可以想成：n个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一种物体有n1!种，第二种物体有n2!种，以此类推。 例：有3个红球，2个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。答：一共有10种， aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa。 五、排列恒等式的证明： 证明：右边= 左边=右边 证明：右边= 左边=右边 证明：右边= 左边=右边 证明：右边= 右边=左边证明：右边= 证明：左边=(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+（n+1-1）n! =2!-1!+3!-2!+4!-3!(n+1)!-n! =(n+1)!-1！ =右边 六、组合恒等式的证明互补性质：取出有多少种，剩下就有多少种根据分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素分类计数原理:要么含有新加元素要么不含新加元素 首先明弄清组合的两个性质公式：证明： 证明：右边= 证明：右边= =左边证明：根据组合性质，左边各式可写成： 左右两边相加即得： 证明： 用数学归纳法证明。 1）当n=1时，所以等式成立。 2）假设n=k时，（k1，kN*）时等式成立。 即： 当n=k+1时， 等式也成立 由1)、2)得，等式对nN*都成立。 也可用二项式定理证明（略） 证明：用归纳法同上（略） 也可利用上述结论证明（略） 本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下： 设 由（1+1）n可得：a+b=2n=22n-1 由（1-1）n可得a-b=0 a=b=2n-1 (不懂的去学学二项式定理) 证明： 由可得:（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看的证明） 左边 注：同时利用了的结论。 The 闆嗚 Geng plait Chuai Ma 愮珯Tie up the indigo 悜鐭 FThe Lu 墿鍒嗚rminm,nThe 鍑 Hong Chuai 閫氱煡 用二项式定理证明太麻烦了。能偷懒就不要太勤快了。鏉 $The 爜 Heng 彿 观察左边的每一项，发现均是分别从m个不同素和n个不同元素中取r 个元素的一个组合，其各项之和就是所有取法，即所有组合数。其所有组合数当然等于右边。The Cong 崟鍓嶇 Jiang 鏃 Duo 棿The Yue 氬埗鐗祦The 鍥炴敹鐗祦Does the 鐗祫 Qian spoil Chen?Gan sentence the 細鎬 Hui Hai 鍝 ?还是用偷懒法：根据第的结论并结合组合的互补性质，若r=m=n即得些结论。精品文档