2008年浙江省高考数学【理】（含解析版）.pdf

2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科）数学（理科）本试题卷分第卷和第卷两部分。全卷共本试题卷分第卷和第卷两部分。全卷共 4 页，第卷页，第卷 1 至至 2 页，第卷页，第卷 3 至至 4页。满分页。满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。第卷（共第卷（共 50 分）分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+（B）如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）=P（A）（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：knkknnppCkP)1()(球的表面积公式 S=4 2R其中 R 表示球的半径 求的体积公式 V=334R其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。（1）已知是实数，是春虚数，则=aiia1a （A）1 （B）-1 （C）（D）-22（2）已知 U=R，A=,B=,则（A 0|xx1|xxACBBCAuu （A）（B）0|（C）（D）1|10|或（3）已知，b 都是实数，那么“”是“b”的 a22ba a（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）在的展开式中，含的项的系数是)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx4x （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274 （5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线)20)(232cos(，xxy21y的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （6）已知是等比数列，则=na41252aa，13221nnaaaaaa（A）16（）（B）16（）n 41n 21（C）（）（D）（）332n 41332n 21（7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率12222byax是 （A）3 （B）5 （C）（D）35（8）若则=,5sin2cosaaatan （A）（B）2 （C）（D）21212（9）已知，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则ac0)()(cbca的最大值是 c （A）1 （B）2 （C）（D）222（10）如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，使得ABP 的aa面积为定值，则动点 P 的轨迹是 （A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线 2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科）数学（理科）第卷（共第卷（共 100 分）分）注意事项：1黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。2在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二填空题：本大题共二填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分。分。（11）已知0，若平面内三点 A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则aa2a3aa=_。（12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于 A、B 两点 21FF、192522yx1F 若，则=_。1222BFAFAB（13）在 ABC 中，角A、B、C 所 对 的 边 分 别 为、b、c，若a，则_。CaAcbcoscos3Acos（14）如 图，已 知 球 O 点 面 上 四 点 A、B、C、D，DA平 面 ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球 O 点体积等于_。3（15）已 知 t 为 常 数，函 数在 区 间 0，3上 的 最 大 值 为 2，则txxy22t=_。（16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_（用数字作答)。（17）若，且当时，恒有，则以,b 为坐标点 P（，0,0ba1,0,0yxyx1byaxaab）所形成的平面区域的面积等于_。三解答题：本大题共三解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题 14 分）如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。903（）求证：AE/平面 DCF；（）当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为？60 （19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概52率是。97 （）若袋中共有 10 个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。E（）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于。并指出袋107中哪种颜色的球个数最少。（20）（本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（）和到直线距离相等的点的轨83,2185y迹。是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在上）的动点；A、B 在上，轴（如图）。xMBMA,（）求曲线 C 的方程；（）求出直线的方程，使得为常数。QAQB2（21）（本题 15 分）已知是实数，函数。a)()(axxx（）求函数的单调区间；)(x（）设为在区间上的最小值。)(ag)(x2,0（i）写出的表达式；)(ag（ii）求的取值范围，使得。a2)(6ag（22）（本 题14 分）已 知 数 列，记 na0na01a)(12121Nnaaannn nnaaaS21)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT求证：当时，Nn（）；1nnaa（）；2 nSn（）。3nT2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分分，满分 50 分分 1A2D3D4A5C 6C7D8B9C10B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分分，满分 28 分分 11121314 1511640171 1283392三、解答题三、解答题 18本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分力满分 14 分分 方法一：（）证明：过点作交于，连结，EEGCFCFGDG可得四边形为矩形，BCGE又为矩形，ABCD所以，从而四边形为平行四边形，ADEGADGE故 AEDG因为平面，平面，AE DCFDG DCF所以平面 AEDCF（）解：过点作交的延长线于，连结 BBHEFFEHAH由平面平面，得 ABCD BEFCABBC平面，AB BEFC从而 AHEF所以为二面角的平面角 AHBAEFC在中，因为，所以，RtEFG3EGAD2EF 60CFE1FG 又因为，所以，CEEF4CF 从而 3BECG于是 3 3sin2BHBEBEH因为，tanABBHAHB所以当为时，二面角的大小为 AB92AEFC60方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系CCBCF，CDxyz Cxyz设，ABaBEbCFc，则，(0 0 0)C，(3 0)Aa，(3 0 0)B，(30)Eb，(00)Fc，（）证明：，(0)AEba，(3 0 0)CB ，(00)BEb，所以，从而，0CB CE 0CB BE CBAECBBE所以平面 CB ABE因为平面，CB DCF所以平面平面 ABEDCF故平面 AEDCF（）解：因为，(30)EFcb ，(30)CEb，所以，从而 0EF CE|2EF 23()03()2b cbcb，解得 34bc，所以，(33 0)E，(0 4 0)F，DABEFCHGDABEFCyzx设与平面垂直，(1)nyz，AEF则，0n AE 0n EF 解得 3 3(13)na，又因为平面，BA BEFC(0 0)BAa，所以，2|3 31|cos|2|427BA nan BABAnaa ，得到 92a 所以当为时，二面角的大小为 AB92AEFC6019本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力满分学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力满分 14 分分（）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件 A，设袋中白球的个数为，则x，2102107()19xCP AC 得到 5x 故白球有 5 个（ii）随机变量的取值为 0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 P 112 512 512 112的数学期望 155130123121212122E （）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，ny25yn所以，故 2yn21yn112yn记“从袋中任意摸出两个球，至少有 1 个黑球”为事件 B，则 23()551yP Bn 231755210所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于 25n5n故袋中红球个数最少 20本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分解题能力满分 15 分分（）解：设为上的点，则()N xy，C，2213|28NPxy到直线的距离为 N58y 58y由题设得 22135288xyy化简，得曲线的方程为 C21()2yxx（）解法一：设，直线，则 22xxMx，:l ykxk，从而()B xkxk，2|1|1|QBkx在中，因为 RtQMA，222|(1)14xQMx 2222(1)2|1xxkMAk所以.222222(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk，2|1|2|2 1xkxQAk 222|2(1)112|QBkkxQAkxkABOQyxlM当时，2k 2|5 5|QBQA从而所求直线 方程为 l220 xy解法二：设，直线，则，从而 22xxMx，:l ykxk()B xkxk，2|1|1|QBkx过垂直于 的直线 Q(10)，l11:(1)lyxk 因为，所以，|QAMH2|1|2|2 1xkxQAk 222|2(1)112|QBkkxQAkxk当时，2k 2|5 5|QBQA从而所求直线 方程为 l220 xy21本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力满分分析问题和解决问题的能力满分 15 分分（）解：函数的定义域为，0)，（）3()22xaxafxxxx0 x 若，则，0a()0fx有单调递增区间()f x0)，若，令，得，0a()0fx3ax 当时，03ax()0fx当时，3ax()0fx有单调递减区间，单调递增区间()f x03a，3a，（）解：（i）若，在上单调递增，0a()f x0 2，所以()(0)0g af若，在上单调递减，在上单调递增，06a()f x03a，23a，所以 2()333aaag af 若，在上单调递减，6a()f x0 2，所以()(2)2(2)g afa综上所述，002()06332(2)6aaag aaaa，（ii）令 6()2g a若，无解 0a若，解得 06a36a 若，解得 6a623 2a故的取值范围为 a323 2a22本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力满分 14 分（）证明：用数学归纳法证明 当时，因为是方程的正根，所以 1n 2a210 xx 12aa假设当时，*()nk kN1kkaa因为 221kkaa222211(1)(1)kkkkaaaa ，2121()(1)kkkkaaaa所以 12kkaa即当时，也成立 1nk1nnaa根据和，可知对任何都成立 1nnaa*nNABOQyxlMHl1（）证明：由，（），22111kkkaaa 121kn，2n得 22231()(1)nnaaaana因为，所以 10a 21nnSna 由及得，1nnaa2211121nnnaaa 1na 所以 2nSn（）证明：由，得 221112kkkkaaaa 111(2 313)12kkkaknnaa，所以，23421(3)(1)(1)(1)2nnnaaaaaa于是，2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa故当时，3n2111 1322nnT 又因为，123TTT所以 3nT