2011年浙江省高考数学【理】（含解析版）.pdf

20112011 年浙江省高考数学试卷和答案（理科）年浙江省高考数学试卷和答案（理科）一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1、（2011浙江）设函数 f（x）=，若 f（a）=4，则实数 a=（），02，0 A、4 或2 B、4 或 2 C、2 或 4 D、2 或 2 2、（2011浙江）把复数 z 的共轭复数记作，i 为虚数单位若 z=1+i，则（1+z）=（）A、3i B、3+i C、1+3i D、3 3、（2011浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A、B、C、D、4、（2011浙江）下列命题中错误的是（）A、如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B、如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C、如果平面 平面，平面 平面，=l，那么 l平面 D、如果平面 平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 5、（2011浙江）设实数 x、y 满足不等式组，若 x、y 为整数，则 3x+4y 的最小值是（）+2502+70 0，0 A、14 B、16 C、17 D、19 6、（2011浙江）若 0a，0，cos（+）=，cos（）=，则 cos（+）=（）2241342332 A、B、3333 C、D、539697、（2011浙江）若 a、b 为实数，则“0ab1”是“a”或“b”的（）11 A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 8、（2011浙江）已知椭圆的离心率 e=，则 k 的值为（）2+8+29=112 A、4 或 B、4 54 C、4 或 D、54549、（2011浙江）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A、B、1525 C、D、354510、（2011浙江）设 a，b，c 为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合 S=x|f（x）=0，xR，T=x|g（x）=0，xR若S，T分别为集合 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A、S=1 且T=0 B、S=1 且T=1 C、S=2 且T=2 D、S=2 且T=3 二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 28 分）11、（2011浙江）若函数 f（x）=x2|x+a|为偶函数，则实数 a=_ 12、（2011浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是_ 13、（2011浙江）若二项式（x）n（a0）的展开式中 x 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，则 a 的值是_ 14、（2011浙江）若平面向量，满足|=1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则 和 的夹12角 的范围是_ 15、（2011浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为 P，且三个公司是否让其面试是相互独立的记 X 为该毕业生得到面试23的公司个数若 P（X=0）=，则随机变量 X 的数学期望 E（X）=_ 11216、（2011浙江）设 x，y 为实数，若 4x2+y2+xy=1，则 2x+y 的最大值是_ 17、（2011浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为_ 三、解答题（共 5 小题，满分 72 分）18、（2011浙江）在ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别为 a，b，c已知 sinA+sinC=psinB（pR）且 ac=b2 14（）当 p=，b=1 时，求 a，c 的值；54（）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围 19、（2011浙江）已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a1为 a（aR）设数列的前 n 项和为 Sn，且，成等111214比数列（）求数列an的通项公式及 Sn；（）记 An=+，Bn=+，当 a2 时，试比较 An与 Bn的大小 1112131111212120、（2011浙江）如图，在三棱锥 PABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 AMC 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由 21、（2011浙江）已知抛物线 C1：x2=y，圆 C2：x2+（y4）2=1 的圆心为点 M（）求点 M 到抛物线 C1的准线的距离；（）已知点 P 是抛物线 C1上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线 C1于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 l 垂足于 AB，求直线 l 的方程 22、（2011浙江）设函数 f（x）=（xa）2lnx，aR（）若 x=e 为 y=f（x）的极值点，求实数 a；（）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 x（0，3a，恒有 f（x）4e2成立 注：e 为自然对数的底数 答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1、（2011浙江）设函数 f（x）=，若 f（a）=4，则实数 a=（），02，0 A、4 或2 B、4 或 2 C、2 或 4 D、2 或 2 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。专题：计算题。分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分 a0 与 a0 两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于 a 的方程，解方程即可求出满足条件 的 a 值 解答：解：当 a0 时 若 f（a）=4，则a=4，解得 a=4 当 a0 时 若 f（a）=4，则 a2=4，解得 a=2 或 a=2（舍去）故实数 a=4 或 a=2 故选 B 点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者 2、（2011浙江）把复数 z 的共轭复数记作，i 为虚数单位若 z=1+i，则（1+z）=（）A、3i B、3+i C、1+3i D、3 考点：复数代数形式的混合运算。专题：计算题。分析：求出，然后代入（1+z），利用复数的运算法则展开化简为：a+bi（a，bR）的形式，即可得到答案 解答：解：复数 z=1+i，i 为虚数单位，=1i，则（1+z）=（2+i）（1i）=3i 故选 A 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数，考查计算能力，是基础题，常考题型 3、（2011浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A、B、C、D、考点：由三视图还原实物图。分析：根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案 解答：解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形 故该几何体下部分是一个四棱柱 故选 D 点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为 N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台 4、（2011浙江）下列命题中错误的是（）A、如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B、如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C、如果平面 平面，平面 平面，=l，那么 l平面 D、如果平面 平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面 考点：平面与平面垂直的性质。专题：常规题型。分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答时：A 注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B 反证法即可获得解答；C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可 解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面 内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在、内作异于 l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与 l 平行，又两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的故此命题错误 故选 D 点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用值得同学们体会和反思 5、（2011浙江）设实数 x、y 满足不等式组，若 x、y 为整数，则 3x+4y 的最小值是（）+2502+70 0，0 A、14 B、16 C、17 D、19 考点：简单线性规划。专题：计算题。分析：本题考察的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分+2502+70 0，0析平面区域里各个整点，然后将其代入 3x+4y 中，求出 3x+4y 的最小值 解答：解：依题意作出可行性区域如图，目标函数 z=3x+4y 在点（4，1）处取到最小值 z=16 +2502+70 0，0故选 B 点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解 6、（2011浙江）若 0a，0，cos（+）=，cos（）=，则 cos（+）=（）2241342332 A、B、3333 C、D、53969考点：三角函数的恒等变换及化简求值。专题：计算题。分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin（+）和 sin（）的值，进而利用 cos（+）=cos（+）44224（）通过余弦的两角和公式求得答案 42解答：解：0a，0，22+，44344422sin（+）=，sin（）=41192234211363cos（+）=cos（+）（）=cos（+）cos（）+sin（+）sin（）=2442442442539故选 C 点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值关键是根据 cos（+）=cos（+）（），巧妙利用2442两角和公式进行求解 7、（2011浙江）若 a、b 为实数，则“0ab1”是“a”或“b”的（）11 A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式。专题：计算题。分析：因为“0ab1”“a”或“b”“a”或“b”不能推出“0ab1”，所以“0ab1”是“a”或“b”111111的充分而不必要条件 解答：解：a、b 为实数，0ab1，“0a”或“0b”11“0ab1”“a”或“b”11“a”或“b”不能推出“0ab1”，11所以“0ab1”是“a”或“b”的充分而不必要条件 11故选 A 点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意基本不等式的合理运用 8、（2011浙江）已知椭圆的离心率 e=，则 k 的值为（）2+8+29=112 A、4 或 B、4 54 C、4 或 D、5454考点：椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合。专题：计算题。分析：分椭圆的焦点在 x 轴时和椭圆的焦点在 y 轴时两种情况进行讨论，分别表示出椭圆的离心率求得 k 解答：解：当椭圆的焦点在 x 轴时，a2=k+8，b2=9 c2=k1，由 e=求得 k=4，12当椭圆的焦点在 y 轴时，b2=k+8，a2=9 c2=1k，=，求得 k=191454故选 C 点评：本题主要考查了椭圆的简单性质本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 1+k 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上故必须进行讨论 9、（2011浙江）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A、B、1525 C、D、3545考点：等可能事件的概率。专题：计算题。分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把 5 本书随机的摆到一个书架上，共有 A55种结果，满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，共有 C21A22A33种结果，得到概率 解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把 5 本书随机的摆到一个书架上，共有 A55=120 种结果，下分类研究同类数不相邻的排法种数 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有 42221=32 种可能；假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有 41211=8 种可能；假设第一本是物理书，则有 14211=8 种可能 同一科目的书都不相邻的概率 P=，48120=25故选 B 点评：本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题是浙江卷理科的一道选择题目，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现 10、（2011浙江）设 a，b，c 为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）记集合 S=x|f（x）=0，xR，T=x|g（x）=0，xR若S，T分别为集合 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A、S=1 且T=0 B、S=1 且T=1 C、S=2 且T=2 D、S=2 且T=3 考点：集合的包含关系判断及应用。专题：计算题。分析：通过给 a，b，c 赋特值，得到 A，B，C 三个选项有正确的可能，故本题可以通过排除法得到答案 解答：解：f（x）=（x+a）（x2+bx+c），当 f（x）=0 时至少有一个根 x=a 当 b24c=0 时，f（x）=0 还有一根只要 b2a，f（x）=0 就有 2 个根；当 b=2a，f（x）=0 是一个根 =2当 b24c0 时，f（x）=0 只有一个根；当 b24c0 时，f（x）=0 只有二个根或三个根 当 a=b=c=0 时S=1，T=0 当 a0，b=0，c0 时，S=1 且T=1 当 a=c=1，b=2 时，有S=2 且T=2 故选 D 点评：本题考查解决选择题时，常通过举特例，利用排除法将一定不正确的选项排除，从而选出正确选项，排除法是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法，合理恰当的运用，可以提高解题的速度 二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 28 分）11、（2011浙江）若函数 f（x）=x2|x+a|为偶函数，则实数 a=0 考点：偶函数。专题：计算题。分析：根据 f（x）为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出 a 的值 解答：解：f（x）为偶函数 f（x）=f（x）恒成立 即 x2|x+a|=x2|xa|恒成立 即|x+a|=|xa|恒成立 所以 a=0 故答案为：0 点评：本题考查偶函数的定义：f（x）=f（x）对于定义域内的 x 恒成立 12、（2011浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是5 考点：程序框图。专题：图表型。分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出 k值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果 解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈 k=3 a=43b=34 第二圈 k=4 a=44b=44 第三圈 k=5 a=45b=54 此时 ab，退出循环，k 值为 5 故答案为：5 点评：对于流程图处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 13、（2011浙江）若二项式（x）n（a0）的展开式中 x 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，则 a 的值是2 考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 1，0 求出 A，B；列出方程求出 a 解答：解：展开式的通项为 +1=（）32令得 r=32=1223所以 A=（）223223令得 32=0 =23所以 B=（）2323B=4A （）2323=4（）223223解得 a=2 故答案为：2 点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题 14、（2011浙江）若平面向量，满足|=1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则 和 的夹12角 的范围是30，150 考点：数量积表示两个向量的夹角。专题：计算题。分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角 解答：解：|sin=1214sin=，12|=1，|1，sin，120，30，150，故答案为：30，150，或，6，56点评：本题考查两个向量的夹角，考查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简单的综合题目 15、（2011浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为 P，且三个公司是否让其面试是相互独立的记 X 为该毕业生得到面试23的公司个数若 P（X=0）=，则随机变量 X 的数学期望 E（X）=11253考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。专题：计算题。分析：根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到 X 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望 解答：解：由题意知 X 为该毕业生得到面试的公司个数，则 X 的可能取值是 0，1，2，3，P（X=0）=，112，13（1）2=112p=，12p（x=1）=+=231212+131212131212412P（X=2）=，231212+231212+131212512p（x=3）=1=，112412512212EX=，1 412+2 512+3 21253故答案为：53点评：本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基础题目 16、（2011浙江）设 x，y 为实数，若 4x2+y2+xy=1，则 2x+y 的最大值是 2105考点：基本不等式。专题：计算题；转化思想。分析：设 t=2x+y，将已知等式用 t 表示，整理成关于 x 的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于 0，求出 t 的范围，求出 2x+y 的最大值 解答：解：4x2+y2+xy=1（2x+y）23xy=1 令 t=2x+y 则 y=t2x t23（t2x）x=1 即 6x23tx+t21=0=9t224（t21）=15t2+240 解得 2105 21052x+y 的最大值是 2105故答案为 2105点评：本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定 17、（2011浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为 33考点：椭圆的简单性质。专题：计算题。分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率可得 解答：解：2c=2 2133c2=a2，e=33故答案为：33点评：本题主要考查了椭圆的简单性质求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a，求 c，再求比二是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含 e 的方程，解方程即可 三、解答题（共 5 小题，满分 72 分）18、（2011浙江）在ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别为 a，b，c已知 sinA+sinC=psinB（pR）且 ac=b2 14（）当 p=，b=1 时，求 a，c 的值；54（）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围 考点：解三角形。专题：计算题。分析：（）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得 a 和 c 的值（）先利用余弦定理求得 a，b 和 c 的关系，把题设等式代入表示出 p2，进而利用 cosB 的范围确定 p2的范围，进而确定 pd 范围 解答：（）解：由题设并利用正弦定理得 +=54=14故可知 a，c 为方程 x2x+=0 的两根，5414进而求得 a=1，c=或 a=，b=1 1414（）解：由余弦定理得 b2=a2+c22accosB=（a+c）22ac2accosB=p2b2b2cosB，12122即 p2=+cosB，3212因为 0cosB1，所以 p2（，2），由题设知 p0，所以p 32622点评：本题主要考查了解三角形问题学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用 19、（2011浙江）已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a1为 a（aR）设数列的前 n 项和为 Sn，且，成等111214比数列（）求数列an的通项公式及 Sn；（）记 An=+，Bn=+，当 a2 时，试比较 An与 Bn的大小 11121311112121考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。专题：计算题；证明题。分析：（）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 d，则数列的通项公式和前 n 项的和可得（）利用（）的 an和 Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理 An与 Bn，最后对 a0 和 a0 两种情况分情况进行比较 解答：解：（）设等差数列an的公差为 d，由（）2=，121114得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为 d0，所以 d=a1=a 所以 an=na，Sn=（+1）2（）解：=（）1211+1An=+=（1）111213121+1=2n1a，所以 21Bn=+=（1）111212111（12）112212当 n2 时，2n=Cn0+Cn1+Cnnn+1，即 11 1+112所以，当 a0 时，AnBn；当 a0 时，AnBn 点评：本题主要考查了等差数列的性质涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用 20、（2011浙江）如图，在三棱锥 PABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 AMC 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由 考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。分析：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标（I）我们易求出，的坐标，要证明 APBC，即证明=0；（II）要求满足条件使得二面角 AMC 为直二面角的点 M，即求平面 BMC 和平面 APC 的法向量互相垂直，由此求出M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出 AM 的长 解答：解：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，则 O（0，0，0），A（0，3，0），B（4，2，0），C（4，2，0），P（0，0，4）（I）则=（0，3，4），=（8，0，0）由此可得=0 即 APBC（II）设=，1，则=（0，3，4）=+=+=（4，2，4）+（0，3，4）=（4，5，0），=（8，0，0）设平面 BMC 的法向量=（a，b，c）则 =0=0 4（2+3）+（44）=08=0令 b=1，则=（0，1，）2+344平面 APC 的法向量=（x，y，z）则 =0=0即 3+4=04+5=0令 x=5 则=（5，4，3）由=0 得 43=0 2+344解得=25故 AM=3 综上所述，存在点 M 符合题意，此时 AM=3 点评：本题考查的知识点是线线垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，其中建立空间坐标系，求出相关向量，然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等 0 是解答本题的关键 21、（2011浙江）已知抛物线 C1：x2=y，圆 C2：x2+（y4）2=1 的圆心为点 M（）求点 M 到抛物线 C1的准线的距离；（）已知点 P 是抛物线 C1上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线 C1于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 l 垂足于 AB，求直线 l 的方程 考点：圆与圆锥曲线的综合。专题：综合题。分析：（I）由题意抛物线 C1：x2=y，可以知道其准线方程为，有圆 C2：x2+（y4）2=1 的方程可以知道圆心=14坐标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离；（II）由于已知点 P 是抛物线 C1上一点（异于原点），所以可以设出点 P 的坐标，利用过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线 C1于 A，B 两点，也可以设出点 A，B 的坐标，再设出过 P 的圆 C2的切线方程，利用交与抛物线 C2两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的 MPAB，得到方程进而求解 解答：解：（I）由题意画出简图为：由于抛物线 C1：x2=y，利用抛物线的标准方程易知其准线方程为：y=，14利用圆 C2：x2+（y4）2=1 的方程得起圆心 M（0，4），利用点到直线的距离公式可以得到距离为 174（II）设点 P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；由题意得：x00，x21，x1x2，设过点 P 的圆 c2的切线方程为：yx02=k（xx0）即 y=kxkx0+x02 则，即（x021）k2+2x0（4x02）k+（x024）21=0，0+4021+2=1设 PA，PB 的斜率为 k1，k2（k1k2），则 k1，k2应该为上述方程的两个根，；1+2=202（024）02112=（024）21021代入得：x2kx+kx0 x02=0 则 x1，x2应为此方程的两个根，故 x1=k1x0，x2=k2x0 kAB=x1+x2=k1+k22x0=20（024）02120，=0240由于 MPAB，kABKMP=1 02=235故 P（235，235）直线的方程为：=3115115+4 点评：此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程 22、（2011浙江）设函数 f（x）=（xa）2lnx，aR（）若 x=e 为 y=f（x）的极值点，求实数 a；（）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 x（0，3a，恒有 f（x）4e2成立 注：e 为自然对数的底数 考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。专题：计算题。分析：（I）利用极值点处的导数值为 0，求出导函数，将 x=e 代入等于 0，求出 a，再将 a 的值代入检验（II）对 a 分类讨论，求出 f（x）的最大值，令最大值小于 4e2，解不等式求出 a 的范围 解答：解：（I）求导得 f（x）=2（xa）lnx+=（xa）（2lnx+1），（）2因为 x=e 是 f（x）的极值点，所以 f（e）=0 解得 a=e 或 a=3e 经检验，符合题意，所以 a=e，或 a=3e（II）当 03a1 时，对于任意的实数 x（0，3a，恒有 f（x）04e2成立，即 0a符合题意 13当 3a1 时即 a时，由知，x（0，1时，不等式恒成立，故下研究函数在（1，3a上的最大值，13首先有 f（3a）=（3aa）2ln3a=4a2ln3a 此值随着 a 的增大而增大，故应有 4a2ln3a4e2即 a2ln3ae2，故参数的取值范围是 0a或 a且 a2ln3ae2，1313点评：本题考查函数的极值点的导数值为 0、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值