2014年高考文科数学陕西卷试题与答案.doc

2014年高考陕西文科数学陕西卷
一、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求（本大题共10分，每小题5分，共50分）.
1.设集合，，则 （ ）

2.函数的最小正周期是 （ ）

输入N

是
开始

输出
结束
否
3.已知复数，则的值为 （ ）

4.根据右边框图，对大于的正整数，
输出的数列的通项公式是 （ ）

5.将边长为的正方形以其一边所在直
线旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面
积是 （ ）

6.从正方形四个顶点及其中心这个点中任取个点，则这个点的距离小于正方形的边长的概率为 （ ）

7.下列函数中，满足“”的单调递增函数是 （ ）

8.原命题为“若，则是递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 （ ）
真，真，真 假，假，真 真，真，假 假，假，假
9.某公司位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的工资增加元，则这为位员工下月工资的均值和方差分别为 ( )

10如图，修建一条公路需要一段
环湖弯曲路段与两条直道平滑
连接（相切）.已知环湖弯曲路
段为某三次函数图像的一部
分，则该函数的解析式为 （ ）

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，共25分）
11.抛物线的准线方程为 .
12.已知，，则 .
13.设，向量，，若，则 .
14.已知，，若，，，则的表达式为 .
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按做作的第一题评分）
A.（不等式选做题）设，且，
，则的最小值为 .
B.（几何证明选做题）如图，中，，
以为直径的半圆交于点，若，则 .
C.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 .
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤（本大题共6小题，共75分）.
16.（本小题满分12分）
的内角所对底边分别是.
（Ⅰ）若成等差数列，证明：；
（Ⅱ）若成等比数列，且，求的值.
17.（本小题满分12分）
左视图
四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱于点.
（Ⅰ）求四面体的体积；
主视图
（Ⅱ）证明：四边形是矩形.

俯视图

18. （本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上，且，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）用表示，并求的最大值.
19. （本小题满分12分）
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（Ⅰ）若每辆车的赔付金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.
20. （本小题满分13分）
已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与
椭圆交于了两点，与以，
为直径的圆交于两点，且满
足，求直线的方程.
21. （本小题满分14分）
设函数.
（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
（Ⅱ）讨论函数零点的个数；
（Ⅲ）若对任意，恒成立，求取值范围.

第一部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2014年陕西，文1，5分】已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】，，，故选D．
【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
（2）【2014年陕西，文2，5分】函数的最小正周期是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】根据复合三角函数的周期公式得，，故选B．
【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．
（3）【2014年陕西，文3，5分】已知复数，则的值为（ ）
（A）5 （B） （C）3 （D）
【答案】A
【解析】由，得，故选A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．
（4）【2014年陕西，文4，5分】根据右边框图，对大于2的整数，求出的数列的通项公式是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】，，，是，的等比数列，故选C．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．
（5）【2014年陕西，文5，5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧
面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：，故选C．
【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．
（6）【2014年陕西，文6，5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这两个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为，故选B．
【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．
（7）【2014年陕西，文7，5分】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】对于A：，，，不满足，故A错；
对于B：，，，满足，且在上是单调增函数，故B正确，
对于C：，，，不满足，故C错；
对于D：，，，满足，但在上是
单调减函数，故D错．故选B．
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．
（8）【2014年陕西，文8，5分】原命题为“若，，则为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假
【答案】A
【解析】，， 为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若，，则不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题，故选A．
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．
（9）【2014年陕西，文9，5分】某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
（A）， （B）， （C）， （D），
【答案】D
【解析】由题意知，则，
方差，故选D．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．
（10）【2014年陕西，文10，5分】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两
条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则
该函数的解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，以下研究四个选项中函数在两点处的切线．
A选项：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故A对；
B选项，，将0代入，此时导数为，不为，故B错；
C选项，，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错；
D选项，，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故D错，
故选A．
【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．
第二部分（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）【2014年陕西，文11，5分】抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】∵，∴，开口向右，∴准线方程是．
【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．
（12）【2014年陕西卷理科第12，5分】已知，，则______．
【答案】
【解析】由，得，再由，得．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
（13）【2014年陕西，文13，5分】设，向量，若，则_______．
【答案】
【解析】，，，∴．
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
（14）【2014年陕西，文14，5分】已知，若，则的表达式为_______．
【答案】
【解析】由题意知：，，，
，故．
【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．
考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分．
（15A）【2014年陕西，文15A，5分】（不等式选做题）设且则的 最小值为_______．
【答案】
【解析】由柯西不等式得，，∵，，∴，
∴的最小值为．
【点评】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．
（15B）【2014年陕西，文15B，5分】（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若，则_______．
【答案】3
【解析】由题意，∵以为直径的半圆分别交、于点、，∴，
∵，∴，∴，∵，，∴．
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
（15C）【2014年陕西，文15C，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线 的距离是_______．
【答案】1
【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式，，可得点即；直线，即，即，故点到直线的距离为．
【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）【2014年陕西，文16，12分】的内角所对的边分别为．
（1）若成等差数列，证明；
（2）若成等比数列，且，求的最小值．
解：（1）∵成等差数列，∴，利用正弦定理化简得：，
∵，∴．
（2）∵成等比数列，∴，将代入得：，即，由余弦定理得：
．
【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
（17）【2014年陕西，文17，12分】四面体及其三视图如图所
示，平行于棱的平面分别交四面体的棱
于点．
（1）求四面体的体积；
（2）证明：四边形是矩形．
解：（1）由题意，，，，，
，平面，四面体的体积．
（2）平面，平面平面，平面平面=，，
，．同理，，，四边形是平行四边形，
平面，，，四边形是矩形．
【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
（18）【2014年陕西，文18，12分】在直角坐标系中，已知点．点在三边围成的区域（含边界）上，且．
（1）若，求；
（2）用表示，并求的最大值．
解：（1）∵，，，又，，
∴．
（2）∵，∴，∴，，
∴，令，由图知，当直线过点时，取得最大值1，
故的最大值为1．
【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合
的解题思想方法，是中档题．
（19）【2014年陕西，文19，12分】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占
20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解：（1）设表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：
，，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000
元和4000元，所以其概率为．
（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，
而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额
为4000元的频率为，由频率估计概率得．
【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题．
（20）【2014年陕西，文20，13分】已知椭圆，经过点，离心率为，左右焦点分别为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于、两
点，且满足，求直线的方程．
解：（1）由题意可得，解得，，．椭圆的方程为．
（2）由题意可得以为直径的圆的方程为．∴圆心到直线的距离，由，可得
．（*）∴．
设，，联立，化为，可得，．
∴．由，得，
解得满足（*）．因此直线的方程为．
【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
（21）【2014年陕西，文21，14分】设函数，．
（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．
解：（1）当时，，∴∴当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数∴时，取得极小值．
（2）∵函数（），令，得；
设，∴；
当时，，在上是增函数，当时，，在上是
减函数；∴是的极值点，且是极大值点，∴是的最大值点，
∴的最大值为；又，结合的图象，如图；可知：
①当时，函数无零点；②当时，函数有且只有一个零点；
③当时，函数有两个零点；④当时，函数有且只有一个零点；
综上，当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；
当时，函数有两个零点．
（3）对任意，恒成立，等价于恒成立；
设，∴在上单调递减；
∵在上恒成立，∴，∴；
对于，仅在时成立；∴的取值范围是．
【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．