2014年高考文科数学陕西卷试题与答案.doc

2014年高考陕西文科数学陕西卷一、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求（本大题共10分，每小题5分，共50分）.1.设集合，则 （ ） 2.函数的最小正周期是 （ ） 输入N是开始输出结束否3.已知复数，则的值为 （ ） 4.根据右边框图，对大于的正整数，输出的数列的通项公式是 （ ） 5.将边长为的正方形以其一边所在直线旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 （ ） 6.从正方形四个顶点及其中心这个点中任取个点，则这个点的距离小于正方形的边长的概率为 （ ） 7.下列函数中，满足“”的单调递增函数是 （ ） 8.原命题为“若，则是递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 （ ）真，真，真 假，假，真 真，真，假 假，假，假9.某公司位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的工资增加元，则这为位员工下月工资的均值和方差分别为 ( ) 10如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 （ ） 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，共25分）11.抛物线的准线方程为 .12.已知，则 .13.设，向量，若，则 .14.已知，若，则的表达式为 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按做作的第一题评分）A.（不等式选做题）设，且，则的最小值为 .B.（几何证明选做题）如图，中，以为直径的半圆交于点，若，则 .C.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 .三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤（本大题共6小题，共75分）.16.（本小题满分12分）的内角所对底边分别是.（）若成等差数列，证明：；（）若成等比数列，且，求的值.17.（本小题满分12分）左视图四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱于点.（）求四面体的体积；主视图（）证明：四边形是矩形. 俯视图18. （本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且，.（）若，求；（）用表示，并求的最大值.19. （本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（）若每辆车的赔付金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.20. （本小题满分13分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.（）求椭圆的方程；（）若直线与椭圆交于了两点，与以，为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.21. （本小题满分14分）设函数.（）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（）讨论函数零点的个数；（）若对任意，恒成立，求取值范围.第一部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年陕西，文1，5分】已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】，故选D【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键（2）【2014年陕西，文2，5分】函数的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】根据复合三角函数的周期公式得，故选B【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题（3）【2014年陕西，文3，5分】已知复数，则的值为（ ）（A）5 （B） （C）3 （D）【答案】A【解析】由，得，故选A【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题（4）【2014年陕西，文4，5分】根据右边框图，对大于2的整数，求出的数列的通项公式是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，是，的等比数列，故选C【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键（5）【2014年陕西，文5，5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：，故选C【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力（6）【2014年陕西，文6，5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这两个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，所求概率为，故选B【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键（7）【2014年陕西，文7，5分】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】对于A：，不满足，故A错；对于B：，满足，且在上是单调增函数，故B正确，对于C：，不满足，故C错；对于D：，满足，但在上是单调减函数，故D错故选B【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题（8）【2014年陕西，文8，5分】原命题为“若，则为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） （A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假【答案】A【解析】， 为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若，则不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，命题的逆命题，逆否命题都是真命题，故选A【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键（9）【2014年陕西，文9，5分】某公司位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】D【解析】由题意知，则， 方差，故选D【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式（10）【2014年陕西，文10，5分】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，以下研究四个选项中函数在两点处的切线A选项：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故A对；B选项，将0代入，此时导数为，不为，故B错；C选项，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错；D选项，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故D错，故选A【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一第二部分（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）【2014年陕西，文11，5分】抛物线的准线方程为_【答案】【解析】，开口向右，准线方程是【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误（12）【2014年陕西卷理科第12，5分】已知，则_【答案】【解析】由，得，再由，得【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题（13）【2014年陕西，文13，5分】设，向量，若，则_【答案】【解析】，【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题（14）【2014年陕西，文14，5分】已知，若，则的表达式为_【答案】【解析】由题意知：， ，故【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分（15A）【2014年陕西，文15A，5分】（不等式选做题）设且则的 最小值为_【答案】【解析】由柯西不等式得，的最小值为【点评】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题（15B）【2014年陕西，文15B，5分】（几何证明选做题）如图，中，以为直径的半圆分别交于点，若，则_【答案】3【解析】由题意，以为直径的半圆分别交、于点、，【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题（15C）【2014年陕西，文15C，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线 的距离是_【答案】1【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式，可得点即；直线，即，即，故点到直线的距离为【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题 三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16）【2014年陕西，文16，12分】的内角所对的边分别为（1）若成等差数列，证明；（2）若成等比数列，且，求的最小值解：（1）成等差数列，利用正弦定理化简得：， （2）成等比数列，将代入得：，即，由余弦定理得：【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键（17）【2014年陕西，文17，12分】四面体及其三视图如图所示，平行于棱的平面分别交四面体的棱于点（1）求四面体的体积；（2）证明：四边形是矩形解：（1）由题意， ，平面，四面体的体积（2）平面，平面平面，平面平面=，同理，四边形是平行四边形，平面，四边形是矩形【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题（18）【2014年陕西，文18，12分】在直角坐标系中，已知点点在三边围成的区域（含边界）上，且（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值解：（1），又，（2），令，由图知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题（19）【2014年陕西，文19，12分】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率解：（1）设表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得： ，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题（20）【2014年陕西，文20，13分】已知椭圆，经过点，离心率为，左右焦点分别为， （1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于、两点，且满足，求直线的方程解：（1）由题意可得，解得，椭圆的方程为（2）由题意可得以为直径的圆的方程为圆心到直线的距离，由，可得（*）设，联立，化为，可得，由，得，解得满足（*）因此直线的方程为【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题（21）【2014年陕西，文21，14分】设函数， （1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意，恒成立，求的取值范围解：（1）当时，当时，在上是减函数；当时，在上是增函数时，取得极小值（2）函数（），令，得；设，；当时，在上是增函数，当时，在上是减函数；是的极值点，且是极大值点，是的最大值点，的最大值为；又，结合的图象，如图；可知：当时，函数无零点；当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有且只有一个零点；综上，当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点（3）对任意，恒成立，等价于恒成立；设，在上单调递减；在上恒成立，；对于，仅在时成立；的取值范围是【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题